15/09/2019

Matemática, Engenharia e Arte: Texto paradidático de Cálculo Integral para cursos de engenharia


Ninguém escapa. Acontece com todos que estudam Engenharia. Num dado momento, você está tentando decifrar uma expressão como esta:
$$
\frac{\partial ^2F}{\partial x \ \partial y}
$$
e se pergunta: Existe alguma aplicação prática e concreta para entender estas funções? Como entende estas superfícies de uma forma que vá além das análises das propriedade algébricas das funções que as definem? Como estas funções vão se relacionar com os estudos de Resistência dos Materiais, do Concreto Armado ou outros tópicos de Engenharia?

Os exemplos a seguir estão intimamente relacionados com conceitos de Resistência dos Materiais, do Concreto Armado ou com as concepções funcionais e artísticas da Arquitetura. Não importa que tipo de engenharia você estude, certamente você já viu por aí.

Oca, Ibirapuera, 1954. Foto de German Lorca.

O Pavilhão Lucas Nogueira Garcez, popularmente conhecido como Oca, é um pavilhão de exposições localizado no Parque do Ibirapuera, na cidade de São Paulo, Brasil. Foi projetado por Oscar Niemeyer em 1951, para compor o conjunto arquitetônico original do Parque do Ibirapuera, construído para comemorar o IV Centenário da Cidade de São Paulo, que se deu em 1954.

Arcos romanos

Uma das grandes conquistas da humanidade foi a técnica da construção de arcos para vencer os vãos. Na travessia de rios, construções de templos e aquedutos, os romanos elevaram esta técnica ao nível da arte.

As vantagens do arco sobre uma laje plana chega a ser intuitivas. Coloque uma folha de papel sobre dois apoios e observe o maior vão $L_1$ que você consegue sem que a folha se curve formando uma catenária. Se as extremidades forem apenas contidas lateralmente, você obterá um arco e certamente, $L_2$ será maior que $L_1$.

Arcos gerados por uma folha de papel em dois apoios

Agora, compare o esquema acima com o arco romano de Cabanes em Valência na Espanha, construído no século II.

Arco romano de Cabanes em Valência, Espanha

Observe que uma pedra mais saliente no meio do arco. É a Pedra-Chave estabilizando o conjunto, que é a grande mágica dos romanos, a última pera a ser colocada, e que devidamente ajustada, comprimia todas as outras entre si. Quando a gravidade força naturalmente à flexão como nas lajes, acaba aumentando as reações que resistem a tal deformação. Simplesmente genial!

Estruturas e forças atuantes nos arcos romanos

Construir com pedra não é coisa simples. O fato é que pedras (rochas) têm grande resistência à compressão e péssima resistência a tração. O que os romanos faziam era fazer todas as peras do arco trabalharem a compressão estabilizando o arco para a retirada do escoramento.

As ilustrações abaixo esquematizam as forças de ação e reação que você certamente já viu em Mecânica ou Resistência dos Materiais.

Forças atuantes nos arcos romanos

As incríveis propriedades resistivas das estruturas em arcos também podem ser vistas em feixes de molas de caminhão ou outras máquinas.

Feixe de molas



Os índios do Xingu e a Etnomatemática

A Arquitetura, a Engenharia e a Matemática são indissociáveis e todas carregam uma boa dose de experimentalismo e intuição. Outra característica é que são artes que resultam do anúncio de conhecimentos ao longo dos tempos.

Construção de ocas Xingu e construção de Brasília

É impossível não se espantar com as semelhanças das imagens acima. À esquerda os índios Xingu com técnicas milenares de construção de ocas; e à direita, Brasília, com toda a arte de Oscar Niemeyer e o cálculo refinado do engenheiro Moreira Cardoso.

Os irmãos Vilas-Boas entraram em contato com esses índios somente no final dos anos 40 e Brasília foi construída no final dos anos 50, e eles jamais tinham se conhecido antes.

Duas civilizações construindo com a mesma finalidade, usando técnicas tão semelhantes, mostra claramente que a inteligência e a criatividade são inatas e independem de raças ou etnias. São movidas principalmente pelas necessidades e os resultados diferem principalmente pelos recursos tecnológicos de cada grupo.

É interessante realçar outro aspecto: Se os métodos são semelhantes, é claro que as matemáticas envolvidas também o são. E os indígenas, como faziam Matemática? Como transmitiam estas técnicas, Geometrias e Matemáticas?

Ocas Xingu sendo construídas por crianças

A imagem acima mostra claramente que as crianças também fazem este trabalho. A Matemática, assim como as técnicas, são transmitidas de geração em geração. A ciência que estuda isso é a Etnomatemática e um dos maiores especialistas desta ciência é o brasileiro Ubiratan D'Ambrósio.


E o concreto?

O concreto pode ser entendido como uma rocha artificial com a vantagem de podermos dar-lhe qualquer forma, numa peça única, mas o concreto também é descontínuo como qualquer rocha e os arquitetos continuam tendo que obedecer às Leis da Física, mas, sem dúvida, a tecnologia do concreto armado deu para os artistas uma liberdade nunca vista. Oscar Niemeyer soube aproveitar-se disto como poucos, por isso, Niemeyer é o pioneiro e mereceu todas as homenagens que recebeu.

No ano de 2008 ocorreram vário eventos em comemoração ao centenário do Arquiteto que mais têm obras pela Europa, EUA, Israel, África e principalmente no Brasil. Niemeyer é um dos expoentes da Arquitetura Modernista.

Desde a sede da ONU em Nova Iorque, do prédio da Editora Mondadori em Milão, da sede do Partido Comunista Francês em Paris, da Sede do Governo do Congo na África até vários hotéis em Tel-Aviv e a Universidade de Haifa em Israel, Niemeyer deixou sua marca.

Oscar Niemeyer Filho nasceu no Rio de Janeiro e formou-se na Universidade do Brasil em 1935. Trabalhou com o conceituado arquiteto suíço Le Corbusier, que na verdade se chamava Charles-Edouard Jenneret, que dedicou todo seu talento à criação de uma nova e radical forma de expressão arquitetônica, que ficou conhecida como Modernista. São várias as características desta arquitetura da primeira metade do século XX, mas com certeza, a ruptura com as formas retangulares e a liberdade das curvas.

A magnífica fábrica de biscoitos da Duchen, construída em 1950 e que lamentavelmente foi demolida, composta por curvas sinuosas em um prédio industrial e que lembrava uma espinha de peixe, não deixam dúvidas sobre o autor. A demolição da fábrica é uma desatenção com o nosso patrimônio arquitetônico, que poderia ter sido transformado em um fantástico Centro Cultural.

Fábrica de biscoitos da Duchen

Niemeyer também projetou o Planetário, para o Parque Ibirapuera em São Paulo. Veja um esboço e a construção da parte externa logo abaixo. Por fora é um paraboloide e por dentro é uma esfera para as projeções da abóboda celeste. As curvas começa a tomar liberdade em três dimensões com a eficiência de um arco romano.

Construção do planetário, por Niemeyer

A tecnologia foi dominada, e paraboloides e cilindros parabólicos passaram a integrar a arquitetura. Algumas construções eram perfeitamente funcionais, como por exemplo o planetário e a concha acústica do estádio do Pacaembú, que infelizmente foi demolida para da lugar a mais arquibancadas. Outras obras, de gostos duvidosos, foram projetadas na tentativa de explorar novas formas, principalmente dos cilindros parabólicos.

Concha acústica do Pacaembú, década de 60

Os paraboloides também serviram aos interesses religiosos e do Estado. Observe as cúpulas dos temples da Igreja de Port Lyautey no Marrocos do arquiteto Laforgue (esquerda) e o mosteiro beneditino em Vanves na França (direita), projetado por Dom Bellot.

Cilincros parabólicos na Igreja de Port Lyautey no mosteiro beneditino em Vanves

Os prédios do Congresso Nacional são paraboloides circulares:

Paraboloides circulares no Congresso Nacional

Niemeyer com sua incrível capacidade de explorar formas curvas, usou um paraboloide hiperbólico na construção do pavilhão do Ibirapuera, em 1954, no aniversário de São Paulo. Veja abaixo o paraboloide hiperbólico e três superfícies cilíndricas.

Paraboloide hiperbólico no pavilhão do Ibirapuera

Esse tipo de construção tem uma funcionalidade incrível. Em um cilindro parabólico comum, o ar quente sobe e se acumula na parte mais alta da estrutura, enquanto neste formato hiperbólico, como uma sela, o ar quente continua a subir pelas faces dianteira e traseira.

A forma hiperbólica também foi explorada no projeto da Catedral de Brasília com efeito plástico impressionante. Desta vez foi aplicado um hiperboloide circular.

Croqui de Niemeyer da Catedral de Brasília

Catedral de Brasília ao pôr do Sol

O projeto da Catedral de Brasília foi feito por Lúcio Costa e Niemeyer, mas os cálculos estruturais foram feitos pelo engenheiro recifense Joaquim Maria Moreira Cardozo (1897-1979) de origem humilde que superou com seu brilhantismo qualquer descompasso de formação que porventura tenha tido em relação aos profissionais proeminentes da área à época, em geral advindos de classes sociais mais abastadas e graduados em renomadas escolas no exterior. Conhecido por sua personalidade introspectiva e uma ligação atávica com as ciências, Joaquim Cardozo foi um elo definitivo na cadeia de fatores que levaram a obra de Niemeyer ao patamar de reconhecimento que possui em especial no que tange àquele período.

A seguir, duas frases de Joaquim Cardozo sobre a função do engenheiro na construção das concepções do arquiteto.

Congresso Nacional

"Procuramos adaptar ao desenho fornecido pelo arquiteto um paraboloide de revolução cuja geratriz fosse curva parabólica de quinto grau, com contato de segunda ordem ao longo de uma linha paralela à linha de contorno da esplanada. A equação obtida trouxe, porém, dificuldades ao próprio uso das equações da casca em regime de membrana. A forma final adotada para a superfície média foi a de uma zona de elipsoide de revolução possuindo um tronco de cone tangente segundo uma circunferência de determinada cota".

Anéis de aço da cúpula invertida da Câmara dos Deputados

“Uma solução que preserva a forma plástica sob todos os seus aspectos, quaisquer que sejam as dificuldades possíveis, porque ele tem, como eu, a certeza de que para se transformar em uma obra de arte, a arquitetura deve, antes de mais nada, ser bela e marcada de um espírito criador."

Superfícies de revolução, cones e cilindros

Uma superfície de revolução é uma superfície no espaço euclidiano obtida através da rotação de uma curva em torno de um eixo.

Considere um ponto $P$ de coordenadas $(x,y)$  sobre uma curva. Se rotacionarmos esse ponto em torno do eixo $y$, de tal forma que o ponto $P$ passe para a posição $P'$, fica claro que as coordenadas do ponto na posição $P'$ não serão as mesmas da posição $P$. Aliás, percebe-se o surgimento de um novo eixo e a necessidade de expressar as coordenadas de $P'$ em 3 dimensões   $P' =(x', y', z' )$.

O problema é: Como determinar as novas coordenadas do ponto na posição $P'$?

Novas coordenadas de um ponto P após uma rotação.png

A primeira observação é que a coordenada $y$, no eixo de rotação, não se altera. Isto é  $y' = y$.

A segunda observação é que o ponto $P'$ gera uma projeção $P''$ no plano  $xz$, deixando mais clara a natureza de uma coordenada nova $z$ e a modificação ocorrida com a coordenada $x$ que passou para $x'$. 

Podemos relacioná-las observando um triângulo retângulo com catetos $x'$ e $z$ e uma hipotenusa que tem a medida da coordenada original em $x$. Assim:
$$
x^2 = (x') ^2 + z^2
$$
Temos assim as transformações para uma rotação do plano $xy$ em torno do eixo $y$.
  • Se $y=f(x) \rightarrow$ girando em $y \rightarrow y=y$: $x^2 = (x')^2 + z^2$, onde $z$ é o novo eixo.
  • Se $y=f(x) \rightarrow$ girando em $x \rightarrow x=x$: $y^2 = (y')^2 + z^2$, onde $z$ é o novo eixo.

Se a curva se assenta sobre o plano $zx$ a revolução será assim definida:
  • Se $z=f(x) \rightarrow$ girando em $z \rightarrow z=z$: $x^2 = (x')^2 + y^2$, onde $y$ é o novo eixo.
  • Se $z=f(x) \rightarrow$ girando em $x \rightarrow x=x$: $z^2 = (z')^2 + y^2$, onde $y$ é o novo eixo.
Vejam que a coordenada no eixo de rotação não se altera. Na prática, ao final da transformação, desprezamos as notações $x'$, $y'$ e $z'$ e usamos apenas $x$, $y$ e $z$.


Exemplo 1:

Considere a parábola $\displaystyle z =- \frac{x^2}{5}+2$. Determinar a equação do paraboloide gerado pela revolução da parábola em torno do eixo $z$.
Determinando a equação do paraboloide pela revolução da parábola em torno do eixo z

Determinemos a equação do paraboloide gerado pela revolução da parábola. Como $z=z$, basta fazermos a substituição de $x^2$ por $(x')^2+y^2$.

Assim:
$$
z = \frac{(x')^2 + y^2}{5}+4
$$
Ou ainda:
$$
z = \frac{(x')^2}{5}+\frac{y^2}{4}+4
$$
Na prática, escrevemos apenas:
$$
z = \frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{5}+4
$$
definindo o paraboloide.


Exemplo 2:

Dada uma circunferência no plano$xy$, definida peça equação $x^2+y^2=4$, determinar a equação das esferas resultantes em torno: a) do eixo $y$ e b) do eixo dos $x$.

Esfera gerada pela rotação de uma circunferência, gerando um novo eixo z

A perfeita simetria da circunferência sugere que as duas revoluções resultarão na mesma superfície.

a) De fato, para a rotação em $y \rightarrow y = y$: $x^2=(x')^2+z^2$, na circunferência $((x')^2+z^2)+y^2=4$, resulta em $x^2+y^2+z^2=4$.

b) E para a rotação em $x \rightarrow x=x$: $y^2=(y')^2+z^2$, na circunferência $x^2+((y')^2+z^2)=4$, resulta também em $x^2+y^2+z^2=4$.

Exemplo 3:

Encontrar a equação do hiperboloide da revolução da hipérbole $\displaystyle \frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$, em torno do eixo $y$.
Hiperboloide gerado pela rotação de uma hipérbole


Exemplo 4:

Encontrar a equação do elipsoide de revolução da elipse $\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ em torno do eixo $y$.

Elipsoide gerado pela rotação de uma elipse


Este material foi cedido ao blog gentilmente pelo amigo e professor Alexandre Sant'Anna, Engenheiro pela FAAP e Mestre e Doutor em Engenharia, Mecânica dos Solos, Mineração, Otimização em Transportes e Economia Mineral pela USP.

Links para este artigo:


Referências:

  • Texto paradidático de Cálculo Integral para cursos de Engenharia - Sant'Anna & Edson Matar

Veja mais:

COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: Matemática, Engenharia e Arte: Texto paradidático de Cálculo Integral para cursos de engenharia. Publicado por Kleber Kilhian em 15/09/2019. URL: . Leia os Termos de uso.


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