Pitágoras pode ser entendido como um caso particular da Lei dos Cossenos, quando o ângulo do vértice analisado é 90°. Sendo assim, é muito interessante e curioso o fato de que podemos demonstrar a Lei dos Cossenos utilizando o próprio Teorema de Pitágoras.
Para tal, adotaremos demonstrações em essência iguais paras duas situações que seguem: em um triângulo genérico obtusângulo e em em um retângulo.
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A Lei dos Cossenos é uma relação trigonométrica que relaciona os lados e ângulos de um triângulo qualquer e produz as seguintes relações:
\begin{cases}BC^2 = AC^2 + AB^2 - 2 \cdot AC \cdot AB \cdot \cos(\alpha)\\
\ \\
AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\beta)\\
\ \\
AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\gamma)\\
\end{cases}
Utilizando um triângulo obtusângulo
Consideremos o triângulo obtusângulo $AOB$ abaixo.
![Demonstração da Lei dos Cossenos através do Teorema de Pitágoras no triângulo obtusângulo Demonstração da Lei dos Cossenos através do Teorema de Pitágoras no triângulo obtusângulo](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjW4a1MWPO9c_lR4yCECO4g_Xr7S6JxbxfQGLMfVBHClkqs_qW_6qPYHI2u5Hynt9NyadcWpVGKThkW1bjnUvK7xkegw90bjZBGi5isHZI9KURbg0rngtO8pZFo9AVsTPaUvgpshWUUq5A/s1600/Lei+dos+Cossenos+atrav%25C3%25A9s+do+Teorema+de+Pit%25C3%25A1goras+-+Tri%25C3%25A2ngulo+obtus%25C3%25A2ngulo.png)
Tomamos o ângulo $\alpha$, do triângulo $AOC$, temos:
$$\text{sen}(\alpha) = \frac{AC}{OA} \Longrightarrow AC = OA \cdot \text{sen}(\alpha)
$$
e
$$
\cos(\alpha) = \frac{OC}{OA} \Longrightarrow OC=OA \cdot \cos(\alpha)
$$
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo $ABC$, temos:
$$AB^2 = AC^2 + CB^2\\
\ \\
AB^2 = AC^2 + \left(OB - OC \right)^2\\
\ \\
AB^2 = AC^2 + OB^2 - 2\cdot OB \cdot OC + OC^2\\
$$
Fazendo as substituições na relação acima, obtemos:
$$AB^2 = \left(OA \cdot \text{sen}(\alpha)\right)^2 + \left( OA \cdot \cos(\alpha)\right)^2 - 2 \cdot \left(OA \cdot \cos(\alpha)\right) \cdot OB + OB^2\\
\ \\
AB^2 = OA^2 \cdot \text{sen}^2(\alpha) + OA^2 \cos^2(\alpha) - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\alpha) + OB^2\\
\ \\
AB^2 = \left(\text{sen}^2(\alpha) + \cos^2(\alpha)\right) \cdot OA^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\alpha) + OB^2
$$
Lembrando a Relação Fundamental da Trigonometria, onde $\text{sen}^2(\alpha)+\cos^2(\alpha) = 1$, e aplicando na relação acima, obtemos:
$$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\alpha)
$$
Utilizando um triângulo retângulo
Consideremos o triângulo retângulo $ACB$ abaixo:
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Lembrando das operações de adição e subtração de arcos, podemos mostrar o que pode ser visualizado de maneira intuitiva na figura acima:
$$\text{sen}(\beta) = \text{sen}(180°-\beta)\\
\ \\
\text{sen}(\beta) = \text{sen}(180°) \cdot \cos(\alpha) - \text{sen}(\alpha) \cdot \cos(180°)\\
\ \\
\text{sen}(\beta) = (0) \cdot \cos(\alpha) - \text{sen}(\alpha) \cdot (-1)\\
\ \\
\text{sen}(\beta) = \text{sen}(\alpha)
$$
Assim:
$$
\text{sen}(180°-\alpha) = \frac{AC}{OA}\\
\ \\
AC = OA \cdot \text{sen}(180°-\alpha)\\
\ \\
AC = OA \cdot \text{sen}(\alpha)
$$
e
$$
\cos(\beta) = \cos(180°-\alpha)\\
\ \\
\cos(180°-\alpha) = \cos(180°-\alpha)\cdot \cos(\alpha) + \text{sen}(180°)\cdot \text{sen}(\alpha)\\
\ \\
\cos(180°-\alpha) = (-1)\cdot \cos(\alpha) + (0) \cdot \text{sen}(\alpha)\\
\ \\
\cos(180°-\alpha) = -\cos(\alpha)
$$
Assim:
$$
\cos(180°-\alpha) = \frac{CO}{OA}\\
\ \\
CO = OA \cdot \cos(180°-\alpha)\\
\ \\
CO = -OA \cdot \cos(\alpha)
$$
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo $ABC$, obtemos:
$$
AB^2 = AC^2 + CB^2\\
\ \\
AB^2 = AC^2 + (CO + OB)^2\\
\ \\
AB^2 = AC^2 + CO^2 + 2 \cdot CO \cdot OB + OB^2\\
\ \\
AB^2 = \left(OA \cdot \text{sen}(\alpha) \right)^2 + \left(-OA \cdot \cos(\alpha) \right)^2 + 2\cdot \left(-OA\cdot \cos(\alpha)\right) \cdot OB + OB^2\\
\ \\
AB^2 = OA^2 \cdot \text{sen}(\alpha) + OA^2 \cdot \cos^2(\alpha) - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\alpha) + OB^2\\
\ \\
AB^2 = \left(\text{sen}^2(\alpha) + \cos^2(\alpha)\right) \cdot OA^2 - 2\cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\alpha) + OB^2
$$
Lembrando a Relação Fundamental da Trigonometria, onde $\text{sen}^2(\alpha)+\cos^2(\alpha) = 1$, e aplicando na relação acima, obtemos:
$$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2\cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\alpha)
$$
Exemplo 1:
Calcular o valor do lado $x$ no triângulo abaixo utilizando a Lei dos Cossenos.
![Demonstração da Lei dos Cossenos através do Teorema de Pitágoras - Exercício 1 Demonstração da Lei dos Cossenos através do Teorema de Pitágoras - Exercício 1](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEie8zkekadQjQ8NiVlown19l5sZ4-4l5HlnLpQgpYrcsRpnqkjecFW5l0ovhEskf7EGiK3z4FobN6k5gMKBZY9uyp0Vw1ZEYfnE5mFmmyxAT0Y0FEVVotdZIQlHFQmEpd50DTdsFNHgams/s1600/Lei+dos+Cossenos+atrav%25C3%25A9s+do+Teorema+de+Pit%25C3%25A1goras+Exerc%25C3%25ADcio+1.png)
$$
BC^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos(30^\circ)\\
\ \\
BC^2 = 9 + 16 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\\
\ \\
BC^2 = 25 - 12\sqrt{3}\\
\ \\
BC \approx 2,05
$$
Exemplo 2:
Calcular o valor do lado $x$ no triângulo abaixo utilizando a Lei dos Cossenos.![Demonstração da Lei dos Cossenos através do Teorema de Pitágoras - Exercício 2 Demonstração da Lei dos Cossenos através do Teorema de Pitágoras - Exercício 2](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEihpxRewYssucA18JomV0yk5ryjvwhxS0Pvq4ekomXzJsjyNdDL3F5KnnH5YZ9QtksIJhVxomPtYR68emVPsVm-BNtmVq7bJQ1I_bOnb_LXKFTD-KS_QiSswPkFHKhi2TrqNPSYBxjK7Ps/s1600/Lei+dos+Cossenos+atrav%25C3%25A9s+do+Teorema+de+Pit%25C3%25A1goras+Exerc%25C3%25ADcio+2.png)
$$
(4\sqrt{2})^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(60^\circ)\\
\ \\
16 \cdot 2 = 6^2 + BC^2 - 2 \cdot 6 \cdot BC \cdot \frac{1}{2}\\
\ \\
32 = 36 + BC^2 - 6 \cdot BC\\
\ \\
BC^2 - 6BC - 4 = 0
$$
Aplicamos a fórmula de Bháskara para resolver a equação quadrática:
$$BC = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
\ \\
BC = \frac{6 \pm \sqrt{36+16}}{2}\\
\ \\
BC = \frac{6 \pm \sqrt{52}}{2}\\
\ \\
BC = \frac{6 \pm 2\sqrt{13}}{2}\\
\ \\
BC = 3 \pm \sqrt{13}
$$
Consideramos apenas a raiz positiva, assim, $BC = 3 + \sqrt{13} \approx 6,6$.
Este artigo foi elaborado por Giulliano G. Ferrari, estudante de Engenharia e apaixonado por Matemática.
Este artigo foi elaborado por Giulliano G. Ferrari, estudante de Engenharia e apaixonado por Matemática.
Links para este artigo:
- http://bit.ly/Lei-Cossenos-Pitagoras
- https://www.obaricentrodamente.com/2019/09/demonstracao-da-lei-dos-cossenos-atraves-de-pitagoras.html
Não entendi porque o termo c na equação do exemplo 2 é -4. O correto não seria +4? (36-32)
ResponderExcluirNa verdade, é 32 - 36.
ExcluirNa parte:
ResponderExcluir"Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos:"
Na terceira linha, não seria:
AB2=AC2+OB2−2⋅OB⋅OC+OC2
Ao invés de
AB2=AC2+OB2−2⋅OB⋅OC+OB2 ?
Olá amigo. Agradeço pela leitura atenta e por relatar. Já está corrigido. Um abraço.
ExcluirQ assim sejam voso trabalho q Deus abençoe você
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