02/09/2019

Demonstração da Lei dos Cossenos através do Teorema de Pitágoras


Pitágoras pode ser entendido como um caso particular da Lei dos Cossenos, quando o ângulo do vértice analisado é 90°. Sendo assim, é muito interessante e curioso o fato de que podemos demonstrar a Lei dos Cossenos utilizando o próprio Teorema de Pitágoras.

Para tal, adotaremos demonstrações em essência iguais paras duas situações que seguem: em um triângulo genérico obtusângulo e em em um retângulo.


Demonstração da Lei dos Cossenos através do Teorema de Pitágoras

A Lei dos Cossenos é uma relação trigonométrica que relaciona os lados e ângulos de um triângulo qualquer e produz as seguintes relações:
\begin{cases}
BC^2 = AC^2 + AB^2 - 2 \cdot AC \cdot AB \cdot \cos(\alpha)\\
\ \\
AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\beta)\\
\ \\
AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\gamma)\\
\end{cases}

Utilizando um triângulo obtusângulo

Consideremos o triângulo obtusângulo $AOB$ abaixo.

Demonstração da Lei dos Cossenos através do Teorema de Pitágoras no triângulo obtusângulo

Tomamos o ângulo $\alpha$, do triângulo $AOC$, temos:
$$
\text{sen}(\alpha) = \frac{AC}{OA} \Longrightarrow AC = OA \cdot \text{sen}(\alpha)
$$
e
$$
\cos(\alpha) = \frac{OC}{OA} \Longrightarrow OC=OA \cdot \cos(\alpha)
$$
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo $ABC$, temos:
$$
AB^2 = AC^2 + CB^2\\
\ \\
AB^2 = AC^2 + \left(OB - OC \right)^2\\
\ \\
AB^2 = AC^2 + OB^2 - 2\cdot OB \cdot OC + OB^2\\
$$
Fazendo as substituições na relação acima, obtemos:
$$
AB^2 = \left(OA \cdot \text{sen}(\alpha)\right)^2 + \left( OA \cdot \cos(\alpha)\right)^2 - 2 \cdot \left(OA \cdot \cos(\alpha)\right) \cdot OB + OB^2\\
\ \\
AB^2 = OA^2 \cdot \text{sen}^2(\alpha) + OA^2 \cos^2(\alpha) - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\alpha) + OB^2\\
\ \\
AB^2 = \left(\text{sen}^2(\alpha) + \cos^2(\alpha)\right) \cdot OA^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\alpha) + OB^2
$$
Lembrando a Relação Fundamental da Trigonometria, onde $\text{sen}^2(\alpha)+\cos^2(\alpha) = 1$, e aplicando na relação acima, obtemos:
$$
AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\alpha)
$$

Utilizando um triângulo retângulo

Consideremos o triângulo retângulo $ACB$ abaixo:

Demonstração da Lei dos Cossenos através do Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo

Lembrando das operações de adição e subtração de arcos, podemos mostrar o que pode ser visualizado de maneira intuitiva na figura acima:
$$
\text{sen}(\beta) = \text{sen}(180°-\beta)\\
\ \\
\text{sen}(\beta) = \text{sen}(180°) \cdot \cos(\alpha) - \text{sen}(\alpha) \cdot \cos(180°)\\
\ \\
\text{sen}(\beta) = (0) \cdot \cos(\alpha) - \text{sen}(\alpha) \cdot (-1)\\
\ \\
\text{sen}(\beta) = \text{sen}(\alpha)
$$
Assim:
$$
\text{sen}(180°-\alpha) = \frac{AC}{OA}\\
\ \\
AC = OA \cdot \text{sen}(180°-\alpha)\\
\ \\
AC = OA \cdot \text{sen}(\alpha)
$$
e
$$
\cos(\beta) = \cos(180°-\alpha)\\
\ \\
\cos(180°-\alpha) = \cos(180°-\alpha)\cdot \cos(\alpha) + \text{sen}(180°)\cdot \text{sen}(\alpha)\\
\ \\
\cos(180°-\alpha) = (-1)\cdot \cos(\alpha) + (0) \cdot \text{sen}(\alpha)\\
\ \\
\cos(180°-\alpha) = -\cos(\alpha)
$$
Assim:
$$
\cos(180°-\alpha) = \frac{CO}{OA}\\
\ \\
CO = OA \cdot \cos(180°-\alpha)\\
\ \\
CO = -OA \cdot \cos(\alpha)
$$
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo $ABC$, obtemos:
$$
AB^2 = AC^2 + CB^2\\
\ \\
AB^2 = AC^2 + (CO + OB)^2\\
\ \\
AB^2 = AC^2 + CO^2 + 2 \cdot CO \cdot OB + OB^2\\
\ \\
AB^2 = \left(OA \cdot \text{sen}(\alpha) \right)^2 + \left(-OA \cdot \cos(\alpha) \right)^2 + 2\cdot \left(-OA\cdot \cos(\alpha)\right) \cdot OB + OB^2\\
\ \\
AB^2 = OA^2 \cdot \text{sen}(\alpha) + OA^2 \cdot \cos^2(\alpha) - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\alpha) + OB^2\\
\ \\
AB^2 = \left(\text{sen}^2(\alpha) + \cos^2(\alpha)\right) \cdot OA^2 - 2\cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\alpha) + OB^2
$$
Lembrando a Relação Fundamental da Trigonometria, onde $\text{sen}^2(\alpha)+\cos^2(\alpha) = 1$, e aplicando na relação acima, obtemos:
$$
AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2\cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\alpha)
$$

Exemplo 1:

Calcular o valor do lado $x$ no triângulo abaixo utilizando a Lei dos Cossenos.

Demonstração da Lei dos Cossenos através do Teorema de Pitágoras - Exercício 1

$$
BC^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos(30^\circ)\\
\ \\
BC^2 = 9 + 16 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\\
\ \\
BC^2 = 25 - 12\sqrt{3}\\
\ \\
BC \approx 2,05
$$

Exemplo 2:

Calcular o valor do lado $x$ no triângulo abaixo utilizando a Lei dos Cossenos.


Demonstração da Lei dos Cossenos através do Teorema de Pitágoras - Exercício 2

$$
(4\sqrt{2})^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(60^\circ)\\
\ \\
16 \cdot 2 = 6^2 + BC^2 - 2 \cdot 6 \cdot BC \cdot \frac{1}{2}\\
\ \\
32 = 36 + BC^2 - 6 \cdot BC\\
\ \\
BC^2 - 6BC - 4 = 0
$$
Aplicamos a fórmula de Bháskara para resolver a equação quadrática:
$$
BC = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
\ \\
BC = \frac{6 \pm \sqrt{36+16}}{2}\\
\ \\
BC = \frac{6 \pm \sqrt{52}}{2}\\
\ \\
BC = \frac{6 \pm 2\sqrt{13}}{2}\\
\ \\
BC = 3 \pm \sqrt{13}
$$
Consideramos apenas a raiz positiva, assim, $BC = 3 + \sqrt{13} \approx 6,6$.

Este artigo foi elaborado por Giulliano G. Ferrari, estudante de Engenharia e apaixonado por Matemática.


Links para este artigo:


Veja mais:

COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: Demonstração da Lei dos Cossenos através do Teorema de Pitágoras. Publicado por Kleber Kilhian em 02/09/2019. URL: . Leia os Termos de uso.


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