Podemos inscrever em um cone uma pirâmide de $n$ lados e, assim, obtermos um volume que é a diferença entre o volume do cone e da pirâmide inscrita.
Veremos neste artigo como obter uma fórmula geral que leva em consideração o raio $r$ da base do cone, o número $n$ de lados da pirâmide inscrita e a altura $h$, que é compartilhada pelo cone e pela pirâmide.
Sabemos que para toda pirâmide, vale a fórmula para seu volume:
$$![Fórmula para a diferença entre os volumes do cone e de uma pirâmide inscrita Fórmula para a diferença entre os volumes do cone e de uma pirâmide inscrita](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEherEhCUAdnBw4Ugy4KC_m5dWzomwZoekgkzPwYztRWhNsU7Icw0WLWXB6EkGGCs09-nZcMLgfyKJf7_hj21PijWRyj08oH8dZSmIAjcDW7_Bx2mpye4OFknKZXRX3sQRkOXqfhjBrdXqQ/s1600/F%25C3%25B3rmula+para+a+diferen%25C3%25A7a+entre+os+volumes+do+cone+e+de+uma+pir%25C3%25A2mide+inscrita.png)
Sabemos que para toda pirâmide, vale a fórmula para seu volume:
V_P=\frac{1}{3}A_b \cdot h \tag{1}
$$
O primeiro passo para resolver nosso problema é obter uma fórmula para a área da base da pirâmide de modo que dependa apenas do raio da circunferência à qual está inscrita.
![Pirâmide pentagonal inscrita a um cone Pirâmide pentagonal inscrita a um cone](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiqCGidvHLKEu2VA8HZtqkEDQ0x_B9Ll3bqPwZF0qdQ-4xIAOE_K8gTvxSu03Hz-P_uyZMEplzbvcyHSgf8sXFxXXWJ3sqW6S4tx-juEnR_SrSKmk0V1-0jCm8lBJ5sdITelwcxp5zvY0Q/s1600/Pir%25C3%25A2mide+pentagonal+inscrita+a+um+cone.png)
O polígono que representa a base da pirâmide, está inscrito ao círculo que representa a base do cone. Na figura acima, temos um pentágono, no entanto, poderíamos ter utilizado qualquer outro polígono para a representação.
![Pentágono inscrito em um círculo Pentágono inscrito em um círculo](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi8waMwTSCwqxf16-U0N9igxgSswsEcUBBa_TFnkHBZuXeUAEYvV1IZlx8RqUyHTZ2VIFceKUdtpIFidbpbMyoov13nbueZGnngJoaBSCMaGcUfdu6qqR4cVc6JqbhTFkbcHqcXA8gUuJI/s1600/Pent%25C3%25A1gono+inscrito+em+um+c%25C3%25ADrculo.png)
O ângulo $\alpha$ pode ser obtido pela fórmula:
$$\alpha = \frac{360°}{n} \tag{2}
$$
onde $n$ é o número de lados do polígono.
Como o triângulo $OAB$ é isósceles, o apótema $a$ divide o ângulo $\alpha$ em duas partes iguais, pois é sua bissetriz, e também divide o segmento $AB$ ao meio, de modo que o ângulo $\theta$ será obtido fazendo:
$$\theta = \frac{180°}{n} \tag{3}
$$
Então, do triângulo $OAB$ temos:
![Triângulo retângulo Triângulo retângulo](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEimqUTjRRw3WL64qyqVWXxgb4Ha2FCnIXyhtHvXX_P3kOoAkBVvYhQb8xotYU_FhuIP6aw_hS8ii0OoLq_7jRvqGn8uHTPHhjPgdYBv0Vennz74O591Qq9ikWubNaFZWaNuSVkIq4f_cSE/s1600/Tri%25C3%25A2ngulo+ret%25C3%25A2ngulo.png)
Utilizando um pouco de trigonometria no triângulo $OAC$, obtemos as relações para o lado $\ell$ do polígono e para seu apótema $a$, em função do raio $r$ da base do cone:
$$\cos(\theta) = \frac{a}{r}\\
\ \\
a = r\ \cos(\theta)\\
\ \\
a = r\ \cos\left(\frac{180°}{n}\right) \tag{4}
$$
e
$$
\text{sen}(\theta) = \frac{\ell/2}{r}\\
\ \\
\ell = 2r\ \text{sen}(\theta)\\
\ \\
\ell = 2r\ \text{sen}\left(\frac{180°}{n}\right) \tag{5}
$$
A área de um polígono regular de $n$ lados, pode ser obtida através da fórmula:
$$A_p= p \cdot a \tag{6}
$$
onde $p$ é o semiperímetro do polígono, dado por:
$$p = \frac{n \cdot \ell}{2} \tag{7}
$$
onde $n$ é o número de lados do polígono e $\ell$ é a medida do lado. Então, a fórmula $(6)$ pode ser reescrita como:
$$A = \frac{n \cdot \ell \cdot a}{2} \tag{8}
$$
Aplicando as relações obtidas em $(4)$ e $(5)$ na fórmula acima, obtemos:
$$A = \frac{n}{2} \cdot 2r \ \text{sen}\left(\frac{180°}{n} \right) \cdot r\ \cos \left(\frac{180°}{n}\right)\\
\ \\
A = n\ r^2\ \text{sen}\left(\frac{180°}{n}\right) \ \cos \left(\frac{180°}{n}\right) \tag{9}
$$
Agora, temos uma fórmula para a área da base da pirâmide de $n$ lados inscrita na base do cone, que depende apenas do número de lados da pirâmide e do raio da base do cone.
Assim, o volume da pirâmide inscrita no cone é dado pela fórmula:
$$V_P = \frac{1}{3} A_b \cdot h\\
\ \\
V_P = \frac{1}{3}h\ n\ r^2 \cdot \text{sen}\left(\frac{180°}{n}\right) \cdot \cos \left(\frac{180°}{n}\right) \tag{10}
$$
Já obtivemos informações suficientes para determinarmos uma fórmula que expresse a diferença entre os volumes de um cone e uma pirâmide inscrita.
Lembrando que um cone pode ser considerado uma pirâmide de infinitos lados. A fórmula para seu volume é:
$$V_{cone} = \frac{1}{3} A_b \cdot h = \frac{1}{3} \pi \ r^2 \tag{11}
$$
E se subtraírmos o volume da pirâmide do volume do cone, obtemos:
$$
V = V_{cone} - V_{pirâmide}\\
\ \\
V = \frac{pi \ r^2}{3} - \frac{h\ n\ r^2}{3}\ \text{sen}\left(\frac{180°}{n}\right) \ \cos \left(\frac{180°}{n}\right)\\
\ \\
V = \frac{r^2\ h}{3} \left[ \pi - n\ \text{sen}\left(\frac{180°}{n}\right)\ \cos \left(\frac{180°}{n}\right)\right] \tag{12}
$$
Exemplo 1:
Seja um cone de altura $h=3$ e cuja base possui um raio $r=2$. Considere uma pirâmide de base quadrada inscrita ao cone de lado $\ell$, como mostra a figura abaixo. Calcular a diferença entre seus volumes.
![Pirâmide quadrada inscrita e um cone Pirâmide quadrada inscrita e um cone](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjWMpe5qRtmdiw6G-leedASPmFG_870cZDVOnlGbp4DiBOVuEfHtgdi0mZ44Nv06vaoKL3kgTHz2LJi-lpXjA2SlCHDlz2AcR_LMi878vKeZAQUil8cquSXHP84DU6gwLTRhcHxOLDKIsc/s1600/Pir%25C3%25A2mide+quadrada+inscrite+e+um+cone.png)
Utilizando a fórmula obtida em $(12)$, temos:
$$V = \frac{2^2 \cdot 3}{3} \left[ \pi - 4\ \text{sen}\left(\frac{180°}{4}\right) \cos \left(\frac{180°}{4}\right) \right]\\
\ \\
V = 4 \left[ \pi - 4\ \text{sen}(45°) \cos(45°) \right]\\
\ \\
V = 4 \left[ \pi - 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right]\\
\ \\
V = 4\pi - 8\\
\ \\
V \approx 4,57 \ \text{unidades de volume}
$$
Se usarmos as fórmulas tradicionais para volumes separadamente e depois efetuarmos a subtração, obteremos o mesmo resultado:
$$
V_{cone} =\frac{A_b\cdot h}{3} = \frac{\pi\ r^2 \ 3}{3} = 4\pi
$$
e
$$
V_{pirâmide} = \frac{A_b \cdot h}{3} = \frac{8 \cdot 3}{3} = 8
$$
E a diferença entre os volumes será:
$$
V = 4\pi - 8 \approx 4,57 \ \text{unidades de volume}
$$
►Este artigo foi desenvolvido por Jonatas Fabiano Da Silva Ferreira, Técnico em Eletrotécnica e Pesquisador em Matemática em Canoas, RS. E-mail para contato: klausfavaiva@gmail.com.
Links para este artigo:
- http://bit.ly/Diferenca-volumes-cone-piramide
- https://www.obaricentrodamente.com/2019/07/formula-para-diferenca-entre-os-volumes-do-cone-e-de-uma-piramide-inscrita.html
muito bonito este escrito! bela ideia!
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