29/07/2019

Fórmula para a diferença entre os volumes do cone e de uma pirâmide inscrita


Podemos inscrever em um cone uma pirâmide de $n$ lados e, assim, obtermos um volume que é a diferença entre o volume do cone e da pirâmide inscrita.

Veremos neste artigo como obter uma fórmula geral que leva em consideração o raio $r$ da base do cone, o número $n$ de lados da pirâmide inscrita e a altura $h$, que é compartilhada pelo cone e pela pirâmide.

Fórmula para a diferença entre os volumes do cone e de uma pirâmide inscrita


Sabemos que para toda pirâmide, vale a fórmula para seu volume:
$$
V_P=\frac{1}{3}A_b \cdot h \tag{1}
$$
O primeiro passo para resolver nosso problema é obter uma fórmula para a área da base da pirâmide de modo que dependa apenas do raio da circunferência à qual está inscrita.

Pirâmide pentagonal inscrita a um cone

O polígono que representa a base da pirâmide, está inscrito ao círculo que representa a base do cone. Na figura acima, temos um pentágono, no entanto, poderíamos ter utilizado qualquer outro polígono para a representação.


Pentágono inscrito em um círculo

O ângulo $\alpha$ pode ser obtido pela fórmula:
$$
\alpha = \frac{360°}{n} \tag{2}
$$
onde $n$ é o número de lados do polígono.

Como o triângulo $OAB$ é isósceles, o apótema $a$ divide o ângulo $\alpha$ em duas partes iguais, pois é sua bissetriz, e também divide o segmento $AB$ ao meio, de modo que o ângulo $\theta$ será obtido fazendo:
$$
\theta = \frac{180°}{n} \tag{3}
$$
Então, do triângulo $OAB$ temos:

Triângulo retângulo

Utilizando um pouco de trigonometria no triângulo $OAC$, obtemos as relações para o lado $\ell$ do polígono e para seu apótema $a$, em função do raio $r$ da base do cone:
$$
\cos(\theta) = \frac{a}{r}\\
\ \\
a = r\ \cos(\theta)\\
\ \\
a = r\ \cos\left(\frac{180°}{n}\right) \tag{4}
$$
e
$$
\text{sen}(\theta) = \frac{\ell/2}{r}\\
\ \\
\ell = 2r\ \text{sen}(\theta)\\
\ \\
\ell = 2r\ \text{sen}\left(\frac{180°}{n}\right) \tag{5}
$$
A área de um polígono regular de $n$ lados, pode ser obtida através da fórmula:
$$
A_p= p \cdot a \tag{6}
$$
onde $p$ é o semiperímetro do polígono, dado por:
$$
p = \frac{n \cdot \ell}{2} \tag{7}
$$
onde $n$ é o número de lados do polígono e $\ell$ é a medida do lado. Então, a fórmula $(6)$ pode ser reescrita como:
$$
A = \frac{n \cdot \ell \cdot a}{2} \tag{8}
$$
Aplicando as relações obtidas em $(4)$ e $(5)$ na fórmula acima, obtemos:
$$
A = \frac{n}{2} \cdot 2r \ \text{sen}\left(\frac{180°}{n} \right) \cdot r\ \cos \left(\frac{180°}{n}\right)\\
\ \\
A = n\ r^2\ \text{sen}\left(\frac{180°}{n}\right) \ \cos \left(\frac{180°}{n}\right) \tag{9}
$$
Agora, temos uma fórmula para a área da base da pirâmide de $n$ lados inscrita na base do cone, que depende apenas do número de lados da pirâmide e do raio da base do cone.

Assim, o volume da pirâmide inscrita no cone é dado pela fórmula:
$$
V_P = \frac{1}{3} A_b \cdot h\\
\ \\
V_P = \frac{1}{3}h\ n\ r^2 \cdot \text{sen}\left(\frac{180°}{n}\right) \cdot \cos \left(\frac{180°}{n}\right) \tag{10}
$$
Já obtivemos informações suficientes para determinarmos uma fórmula que expresse a diferença entre os volumes de um cone e uma pirâmide inscrita.

Lembrando que um cone pode ser considerado uma pirâmide de infinitos lados. A fórmula para seu volume é:
$$
V_{cone} = \frac{1}{3} A_b \cdot h = \frac{1}{3} \pi \  r^2 \tag{11}
$$
E se subtraírmos o volume da pirâmide do volume do cone, obtemos:
$$
V = V_{cone} - V_{pirâmide}\\
\ \\
V = \frac{pi \ r^2}{3} - \frac{h\ n\ r^2}{3}\ \text{sen}\left(\frac{180°}{n}\right) \ \cos \left(\frac{180°}{n}\right)\\
\ \\
V = \frac{r^2\ h}{3} \left[ \pi - n\ \text{sen}\left(\frac{180°}{n}\right)\ \cos \left(\frac{180°}{n}\right)\right] \tag{12}
$$

Exemplo 1:

Seja um cone de altura $h=3$ e cuja base possui um raio $r=2$. Considere uma pirâmide de base quadrada inscrita ao cone de lado $\ell$, como mostra a figura abaixo. Calcular a diferença entre seus volumes.

Pirâmide quadrada inscrita e um cone

Utilizando a fórmula obtida em $(12)$, temos:
$$
V = \frac{2^2 \cdot 3}{3} \left[ \pi - 4\ \text{sen}\left(\frac{180°}{4}\right) \cos \left(\frac{180°}{4}\right) \right]\\
\ \\
V = 4 \left[ \pi - 4\ \text{sen}(45°) \cos(45°) \right]\\
\ \\
V = 4 \left[ \pi - 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right]\\
\ \\
V = 4\pi - 8\\
\ \\
V \approx 4,57 \ \text{unidades de volume}
$$

Se usarmos as fórmulas tradicionais para volumes separadamente e depois efetuarmos a subtração, obteremos o mesmo resultado:
$$
V_{cone} =\frac{A_b\cdot h}{3} =  \frac{\pi\ r^2 \ 3}{3} = 4\pi
$$
e
$$
V_{pirâmide} = \frac{A_b \cdot h}{3} = \frac{8 \cdot 3}{3} = 8
$$
E a diferença entre os volumes será:
$$
V = 4\pi - 8 \approx 4,57 \ \text{unidades de volume}
$$

Este artigo foi desenvolvido por Jonatas  Fabiano  Da  Silva  Ferreira, Técnico em Eletrotécnica e Pesquisador em Matemática em Canoas, RS. E-mail para contato: klausfavaiva@gmail.com.

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COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: Fórmula para a diferença entre os volumes do cone e de uma pirâmide inscrita. Publicado por Kleber Kilhian em 29/07/2019. URL: . Leia os Termos de uso.


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