O Teorema de Pitágoras é uma relação matemática que envolve os lados de um triângulo retângulo qualquer.
Por dedfinição, a hipotenusa é o lado do triângulo oposto ao ângulo reto do triangulo e os catetos são os lados adjacentes.
Na geometria euclidiana, o teorema afirma que o quadrado sobre a hipotenusa é igual à soma dos quadrados sobre os outros dois catetos. Matematicamente, podemos escrever:
$$c^2 = a^2 + b^2
$$
![Prova do Teorema de Pitágoras a partir de um quadrado formado por 4 triângulos retângulos Prova do Teorema de Pitágoras a partir de um quadrado formado por 4 triângulos retângulos](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjFwm0kcQYWn4_0AoM6-DiMYQwYrr11eEeMmKHp2k3Bj2GgwQqscZowkGPVhJ2Nn24_BcYujFdts3KY1s3fP8jtyMV-uIAyz5eQ6Bz_JOvwXVc7npHjhgh0JI2mH8hyphenhyphenJa9oh6t2kwCE4AM/s1600/Prova+do+Teorema+de+Pit%25C3%25A1goras+a+partir+de+um+quadrado+formado+por+4+tri%25C3%25A2ngulos+ret%25C3%25A2ngulos.png)
Esta demonstração do Teorema de Pitágoras não inicia a partir de um triângulo retângulo dado, mas sim de quatro triângulos retângulos, cuja hipotenusa vale $c$ e catetos iguais a $a$ e $b$.
Iniciamos construindo quatro triângulos congruentes cujas hipotenusas valem $c$ e catetos iguais a $a$ e $b$ e dispomo-os em ângulos iguais a $0º$, $90º$, $180º$ e $270º$:
![Prova do Teorema de Pitágoras - Triângulos retângulos Prova do Teorema de Pitágoras - Triângulos retângulos](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjwRm8sFymUW1o_JFXnAhM4Wwr5Ljd-5hNGlro89Q-M3FAckoN-KQrjYPlx4cOJmS05T6-p7HUNVi27w0A8W-jKJszl94qWOvEXt_GUMV0XomgkJsbARlpbndsZln6KGYpIKBBLc67q0fg/s1600/Prova+do+Teorema+de+Pit%25C3%25A1goras+-+Tri%25C3%25A2ngulos+ret%25C3%25A2ngulos.png)
Em seguida, fazemos um arranjo entre estes estes triângulos de modo a formar um quadrado, cujos lados iguais a $c$, são as hipotenusas dos triângulos:
![Prova do Teorema de Pitágoras - Quadrado de lado c formado pelos triângulos retângulos Prova do Teorema de Pitágoras - Quadrado de lado c formado pelos triângulos retângulos](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEirNkAUYUEphKJ8_Ps94zwqoTB61wlL5j7y63cOAYLFUFDgIOpz_EAAFg8LK__tr0_HLlrp394-AEYHnS0yz7QX3NojNhKtfGJMJFMHHFECZhg3B2UGzx3VM9AYHJsLxuQrZGCoFEEphGM/s1600/Prova+do+Teorema+de+Pit%25C3%25A1goras+-+Quadrado+formado+por+tri%25C3%25A2ngulos+ret%25C3%25A2ngulos.png)
Construímos um quadrado de lado igual a $c$ e internamente temos outro quadrado de lado igual a $a-b$.
Até o momento temos as seguintes áreas:
- Área de cada triângulo retângulo: $\displaystyle A=\frac{ab}{2}$;
- Área de dos quatro triângulos: $\displaystyle A = \frac{4ab}{2}={2ab}$;
- Área do quadrado interno: $\displaystyle (a-b)^2$;
- Área do quadrado externo: $c^2$.
Voltamos À área do quadrado externo. Temos então que sua área é igual à área dos quatro triângulos mais a área do quadrado interno. Então:
$$c^2 = 2ab + (a-b)^2\\
\ \\
c^2 = 2ab + a^2 - 2ab + b^2\\
\ \\
c^2 = a^2 + b^2
$$
Como $c^2$ é a área de um quadrado sobre a hipotenusa de lado $c$, $b^2$ é a área de um quadrado sobre o lado $b$ e $a^2$ é a área de um quadrado sobre o lado $a$, podemos esboçar a figura:
![Prova do Teorema de Pitágoras - Quadrados sobre os lados de um triângulo retângulo Prova do Teorema de Pitágoras - Quadrados sobre os lados de um triângulo retângulo](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhDbuwRkyVNPSngXl5dsMcLymV5MaPFd84aDGaaFT-JbqVntTMdnCET-oYS3KuVcOgijDpJVqK9uKyK4ogiGM5R0ejB87UZu2ohEGFdxbfBjB2vX8fuMMOT6HieUfo7D760CTphPPXCZcQ/s1600/Prova+do+Teorema+de+Pit%25C3%25A1goras+-+Quadrado+sobre+os+lados.png)
- Veja este belo papel de parede com o Teorema de Pitágoras no blog do Professor Edigley Alexandre.
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