29/03/2015

Prova do Teorema de Pitágoras, baseado nas relações métricas da circunferência

O teorema de Pitágoras é uma relação matemática entre os comprimentos dos lados de qualquer triângulo retângulo. Na geometria euclidiana, o teorema afirma que em qualquer triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos.

Por definição, a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, e os catetos são os dois lados que o formam. O enunciado anterior relaciona comprimentos, mas o teorema também pode ser enunciado como uma relação entre áreas: Em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados cujos lados são os catetos. Matematicamente, podemos escrever:
\begin{equation*}
c^{2}=b^{2}+a^{2}
\end{equation*}
onde $c$ representa o comprimento da hipotenusa, $a$ e $b$ representam os comprimentos dos outros dois lados.

O teorema de Pitágoras leva o nome do matemático grego Pitágoras (570 a.C. – 495 a.C.), que tradicionalmente é creditado pela sua descoberta e demonstração, embora seja frequentemente argumentado que o conhecimento do teorema seja anterior a ele (há muitas evidências de que matemáticos babilônicos conheciam algoritmos para calcular os lados em casos específicos, mas não se sabe se conheciam um algoritmo tão geral quanto o teorema de Pitágoras).

O teorema de Pitágoras é um caso particular da lei dos cossenos, do matemático persa Ghiyath al-Kashi (1380 – 1429), que permite o cálculo do comprimento do terceiro lado de qualquer triângulo, dados os comprimentos de dois lados e a medida de algum dos três ângulos.

Esta demonstração do teorema de Pitágoras, baseia-se nas relações métricas da circunferência.

Prova do Teorema de Pitágoras, baseado nas relações métricas da circunferência

Considere o triângulo $ABC$. Tomando como centro o ponto $B$ e raio igual a hipotenusa $AB$, traçamos uma circunferência.

A seguir prolongamos os catetos $AC$ e $BC$, interceptando a circunferência nos pontos $L$, $D$ e $E$ respectivamente.

Pelo teorema das cordas, temos:
\begin{equation}
AC \cdot CL = DC \cdot CE
\end{equation}
Note que
\begin{equation}
DC = DB + BC = AB + BC
\end{equation}
e
\begin{equation}
CL = AC
\end{equation}
e
\begin{equation}
CE = BE - BC = AB - BC
\end{equation}
Substituindo $(2)$, $(3)$ e $(4)$ em $(1)$, segue que:
\begin{equation}
AC^2 = (AB + BC) \cdot (AB - BC) = AB^2 - BC^2
\end{equation}
Logo:
\begin{equation}
AB^2 = AC^2 + BC^2
\end{equation}

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Referências:

  • Prova do Teorema de Pitágoras (5) no blog Fatos Matemáticos

Veja mais:

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