04/04/2015

Resolução da integral $\int \cos(x) \cos(2x)dx$

Para a resolução desta integral, usaremos a técnica de integração por substituição e usaremos uma identidade trigonométrica que transforma um produto de cossenos em soma.



Seja a integral:
\begin{equation}
\int \cos(2x) \cos(x) dx
\end{equation}
Temos um produto de cossenos e os cálculos são facilitados utilizando a seguinte identidade trigonométrica, que transforma um produto de cossenos em uma soma:
\begin{equation}
\cos(a)\cos(b) = \frac{1}{2} \left[ \cos(a-b) + \cos(a+b) \right]
\end{equation}
Tomando esta identidade, fazemos $a=2x$ e $b=x$. Assim, a integral se transforma:
\begin{equation}
I = \frac{1}{2}\int \left[ \cos(2x-x) + \cos(2x+x)\right ] dx\\
I = \frac{1}{2}\int \left[ \cos(x) + \cos(3x)\right]dx
\end{equation}
Integrando termo a termo:
\begin{equation}
I = \frac{1}{2} \int \cos(x) dx + \frac{1}{2} \int \cos(3x) dx
\end{equation}
A integral de $\cos(x) = \text{sen}(x)$. Assim:
\begin{equation}
I = \frac{1}{2} \text{sen}(x) + \frac{1}{2} \int \cos(3x) dx
\end{equation}
Para o integrando $\cos(3x)$, usamos a substituição $u=3x$. Assim, $du=3dx$ e $\displaystyle dx=\frac{1}{3} du$:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{2} \text{sen}(x) + \frac{1}{2} \frac{1}{3} \int \cos(u) du\\
I = \frac{1}{2} \text{sen}(x) + \frac{1}{6} \int \cos(u) du\\
I = \frac{1}{2} \text{sen}(x) + \frac{1}{6} \text{sen}(u) + C\\
I = \frac{1}{2} \text{sen}(x) + \frac{1}{6} \text{sen}(3x) + C
\end{equation*}
ou
\begin{equation*}
I = \frac{1}{2} \left[\text{sen}(x) + \frac{1}{3} \text{sen}(3x)\right] + C
\end{equation*}
ou ainda:
\begin{equation}
I = \frac{1}{6} \left[ 3~\text{sen}(x) + \text{sen}(3x) \right] + C
\end{equation}

Exemplo $1$:

Vamos determinar a área sob a curva $\cos(x)\cos(2x)$ no intervalo $[0,\pi/2]$.



A integral definida fica:
\begin{equation*}
I = \int_0^{\pi /2} \cos(x)\cos(2x)dx
\end{equation*}
\begin{equation*}
I = \left[\frac{1}{2} \text{sen}(x) +\frac{1}{6} \text{sen}(3x)\right]_0^{\pi/2}\\
I = \left[\frac{1}{2} \text{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)+\frac{1}{6}\text{sen}\left(\frac{3\pi}{2}\right)\right] - \left[\frac{1}{2}\text{sen}(0)+\frac{1}{6}\text{sen}(0)\right]\\
I = \frac{1}{2}\cdot 1 + \frac{1}{6}\cdot(-1)\\
I = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{1}{3} \approx 0,33333
\end{equation*}

Veja mais:

Integral de $\cos^2(x)dx$
Método de integração por substituição
Teste da integral para convergências de séries

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2 comentários:

  1. Caro Kleber, veja minha proposta de resolução. Me pareceu plausível mas a resposta não coincidiu. Por favor, observe pra mim onde está o equívoco.
    (A) \\
    \int cos(x)(cos^2(x)-sen^2(x)) = \underbrace{ \int cos^3(x)}_{(I.a)} - \underbrace{ \int sen^2(x) cos(x)}_{II} dx \\ \\

    (I.a)\, \,\, \int cos^3(x) dx = \int cos(x)cos^2(x)dx \,\,; \\ \int cos(x)(1-sen^2(x))dx = \int cos(x) - \underbrace{\int cos(x)sen^2(x) dx}_{(I.b)} \,; \\
    substituindo tudo na equação (A):
    \,\,\, sen(x) - \frac{1}{3}sen^3(x) - \underbrace{ \int sen^2(x)cos(x)dx}_{II} \\ \\ (II) \,\,f(x)= \frac{1}{3}sen^3(x)\,; \\ \\ F(x) =sen(x)-\frac{1}{3}sen^3(x)-\frac{1}{3}sen^3(x)

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    Respostas
    1. Chacon, apesar do resultado estar diferente, está correto. Apenas uma forma alternativa. Se substituirmos $x$ por $\pi/2$, por exemplo, encontraremos $1/3$ que é o mesmo valor encontrado no exemplo do artigo.

      Eu resolvi pelo método que você usou e obtive o mesmo resultado que você:

      \begin{equation*}
      I= \text{sen}(x) - \frac{2}{3} (\text{sen}^3(x))
      \end{equation*}
      Talvez aqui caiba outra identidade trigonométrica que leve à outra forma. Isso mostra que na matemática, não existe apenas uma forma de chegar a um resultado correto. Os professores devem ficar muito atentos para que não haja injustiças.

      Forte abraço!

      Excluir

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