Demonstração da adição e subtração de arcos

Neste estudo, iremos demonstrar as seguintes relações trigonométricas:

Considere o círculo trigonométrico de raio 1 abaixo:

[Figura 1]

Seja o arco com determinação a e o arco com determinação b. O arco tem determinação (a + b).

Observando as construções geométricas no círculo trigonométrico acima, podemos deduzir que os triângulos OMP, OVS e QTS são retângulos e semelhantes. Então, podemos construir algumas relações:

Os triângulos OVS e OMP são semelhantes, logo:

Substituindo as relações (1), (2), (7) na igualdade acima, obtemos:

Os triângulos QTS e OMP são semelhantes, logo:

Substituindo as relações (3), (4) e (7) na igualdade acima, obtemos:

Agora que já construímos algumas relações principais, vamos às demonstrações:

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cos(a + b) = cos(a)cos(b) – sen(b)sen(a)

Observando o círculo trigonométrico da figura 1, notamos que:

Podemos concluir também que:

Se substituirmos as relações (5) e (8) na igualdade acima, obteremos:

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cos(a – b) = cos(a)cos(b) + sen(b)sen(a)

Da relação (10) temos que:

Se quisermos determinar cos(a – b), podemos escrever a relação acima como:

Mas, se observarmos o círculo trigonométrico da figura 1, deduzimos que:

Então:

Em contrapartida, podemos escrever:

Então teremos:

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Sen(a + b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a)

Sabemos que:

[Veja a demonstração aqui]

Se fizermos θ = (a + b), teremos:

Da mesma forma, temos:

Temos aqui um cosseno da diferença entre dois arcos e é dado pela relação (11), logo:

Mas, observando a relação (12), vemos algumas similaridades coma relação (13) e podemos escrevê-la assim:

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Sen(a – b) = sen(a)cos(b) – sen(b)cos(a)

Da relação (14) temos que:

Se quisermos determinar sen(a – b), podemos escrever a relação acima como:

No entanto:

e

Fazemos:

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Sabemos que a tangente de um ângulo é dada pela divisão entre o seno e o cosseno deste ângulo:

Então, a tangente de (a + b) será dada por:

Manipulando a igualdade acima, vamos dividir o numerador e o denominador do segundo membro por:

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Sabemos que a tangente de um ângulo é dada pela divisão entre o seno e o cosseno deste ângulo:

Então, a tangente de (a – b) será dada por:

Manipulando a igualdade acima, vamos dividir o numerador e o denominador do segundo membro por:

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Veja mais:

Demonstração de sen(a)=cos(pi/2)
Demonstração da Relação Trigonométrica Fundamental
Demonstração de Funções Trigonométricas do Arco Duplo

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