18/04/2010

Demonstração da adição e subtração de arcos

Neste estudo, iremos demonstrar as seguintes relações trigonométricas:

clip_image002

clip_image004

clip_image006

clip_image008

clip_image010

clip_image012

Considere o círculo trigonométrico de raio 1 abaixo:

image [Figura 1]

Seja o arco clip_image014 com determinação a e o arco clip_image016 com determinação b. O arco clip_image018 tem determinação (a + b).

Observando as construções geométricas no círculo trigonométrico acima, podemos deduzir que os triângulos OMP, OVS e QTS são retângulos e semelhantes. Então, podemos construir algumas relações:

clip_image020

clip_image022

clip_image024

clip_image026

clip_image028

clip_image030

clip_image032

Os triângulos OVS e OMP são semelhantes, logo:

clip_image034

clip_image036

Substituindo as relações (1), (2), (7) na igualdade acima, obtemos:

clip_image038

clip_image040

Os triângulos QTS e OMP são semelhantes, logo:

clip_image042

clip_image044

Substituindo as relações (3), (4) e (7) na igualdade acima, obtemos:

clip_image046

clip_image048

Agora que já construímos algumas relações principais, vamos às demonstrações:


cos(a + b) = cos(a)cos(b) – sen(b)sen(a)

Observando o círculo trigonométrico da figura 1, notamos que:

clip_image050

Podemos concluir também que:

clip_image052

Se substituirmos as relações (5) e (8) na igualdade acima, obteremos:

clip_image054


cos(ab) = cos(a)cos(b) + sen(b)sen(a)

Da relação (10) temos que:

clip_image002[1]

Se quisermos determinar cos(a – b), podemos escrever a relação acima como:

clip_image056

Mas, se observarmos o círculo trigonométrico da figura 1, deduzimos que:

clip_image058

Então:

clip_image060

Em contrapartida, podemos escrever:

clip_image062

Então teremos:

clip_image064


Sen(a + b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a)

Sabemos que:

clip_image066

[Veja a demonstração aqui]

Se fizermos θ = (a + b), teremos:

clip_image068

Da mesma forma, temos:

clip_image070

clip_image072

Temos aqui um cosseno da diferença entre dois arcos e é dado pela relação (11), logo:

clip_image074

Mas, observando a relação (12), vemos algumas similaridades coma relação (13) e podemos escrevê-la assim:

clip_image076


Sen(a – b) = sen(a)cos(b) – sen(b)cos(a)

Da relação (14) temos que:

clip_image078

Se quisermos determinar sen(a – b), podemos escrever a relação acima como:

clip_image080

No entanto:

clip_image082

e

clip_image062[1]

Fazemos:

clip_image084


clip_image086

Sabemos que a tangente de um ângulo é dada pela divisão entre o seno e o cosseno deste ângulo:

clip_image088

Então, a tangente de (a + b) será dada por:

clip_image090

clip_image092

Manipulando a igualdade acima, vamos dividir o numerador e o denominador do segundo membro por:

clip_image094

clip_image096

clip_image098

clip_image100


clip_image002[6]

Sabemos que a tangente de um ângulo é dada pela divisão entre o seno e o cosseno deste ângulo:

clip_image088[1]

Então, a tangente de (a – b) será dada por:

clip_image102

clip_image104

Manipulando a igualdade acima, vamos dividir o numerador e o denominador do segundo membro por:

clip_image094[1]

clip_image106

clip_image108

clip_image110


Veja mais:

Demonstração de sen(a)=cos(pi/2)
Demonstração da Relação Trigonométrica Fundamental
Demonstração de Funções Trigonométricas do Arco Duplo

COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: Demonstração da adição e subtração de arcos. Publicado por Kleber Kilhian em 18/04/2010. URL: . Leia os Termos de uso.


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27 comentários:

  1. Belas demonstrações parceiro! Seu blog está cada dia melhor! Meus parabéns!


    MF Matemática: http://www.mfmatematica.blogspot.com

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  2. Obrigado Marcelo! Estas são de uma série de demonstrações trigonométricas que estou preparando.

    Um abraço!!

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  3. gostaria de agradecer ao autor pela dedicação na elaboração deste blog.
    excelente trabalho companheiro. A unica forma que posso contribuir, é notificando a respeito de um erro de digitação no tópico: cosseno da diferença entre dois arcos.

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  4. Olá Hariff, obrigado por avisar sobre o erro. Já o corrigi. Sempre reviso os textos antes de publicar, mas ainda não estou livre de erros.
    Obrigado e um abraço!

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  5. Vim parar aqui procurando essa demonstração e a encontrei aqui! Parabéns! Fiquei encantado com a dedicação com o material! Parabéns mesmo! Belo trabalho!

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  6. Obrigado amigo. Volte sempre. Um abraço!

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  7. Muito bom seu blog, e grande contribuição traz para o meio acadêmico, pois se tivermos um tempinho para passear por aqui, muita coisa bacana encontraremos... Um abraço, valeu pela colaboração com seu trabalho.

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  8. Obrigado pessoal. Desprendo muita dedicação a este blog e fico feliz de saber que meu trabalho está contribuindo positivamente. Grande abraço!

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  9. Nossa cara, parabéns, me ajudou bastante, tive uma base de trigonometria, mas nada igual a isso, muito obrigado. Estava aqui quebrando a cabeça pra tentar entender sozinho essas relações de soma e subtração de arcos.

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  10. parabéns,meu brother,fiquei bastante convecido

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  11. Obrigado meu amigo!

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  12. parabéns...darei minhas aulas pautado nas suas demonstraçoes

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    Respostas
    1. Olá Professor. Obrigado pelo prestígio. Um abraço.

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  13. Anônimo3/7/14 11:29

    Parabéns, demonstrações excelentes!

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  14. N. Gomes4/3/15 22:48

    Parabéns pelo conteúdo, excelente!

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  15. Ótimas demonstrações! Bastante detalhadas, precisas e didáticas. Por favor, continue produzindo trabalhos como esse!

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  16. Ficou muito claro, antes essas fórmulas eram tão abstratas, mas ficou tudo bem claro, além disso, a elaboração das demonstrações, imagens e equações são muito boas, então muito obrigado e parabéns pelo empenho para mostrar a matematica de um modo tão belo para quem a ama.

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  17. Parabéns! Excelente material. Só gostaria de saber se existe uma maneira mais direta de demonstrar essas identidades, sem precisar citar os segmentos?

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    Respostas
    1. Olá Deybron, só conheço este método. Procurei na net, mas só encontrei este.

      Obrigado pelo comentário. Abraços

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  18. parabéns pelo trabalho bem feito, tenho que demonstrar essas formulas amanha e me ajudou bastante !!

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  19. Melhor demonstração sobre o assunto que vi desde que nasci

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  20. Parabéns, tudo bem didático... para quem n tem uma base muito boa ajuda muuuito!!! Deus te abençoe e te retribua essa bondade que vc faz para com a educação nacional!!!

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  21. Muito bom mesmo seu blog. Lí sobre trigonometria.
    Qualidade de graça.
    Deus lhe conserve.
    Nilson.

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  22. Ótima demonstração, ajudou mt
    vlw!!

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  23. Ótima demonstração
    ajudou mt
    vlw!!

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  24. Anônimo6/5/23 04:46

    Grato pelas demonstrações. Me ajudou bastante.

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