Fórmulas de redução são métodos baseados em relações de recorrência que nos permite reduzir a potência do integrando a fim de tornar mais fácil o processo de integração.
A ideia é expressar um integrando que envolva uma potência inteira $n$ de uma função em termos de $n-1$ ou $n-2$. O processo de redução pode ser continuado até obtermos uma função que seja mais facilmente integrável.
Outras fórmulas de redução:
$\color{blue}{\displaystyle \int \text{sen}^n(x)\ dx}$
$\quad $
$\color{blue}{\displaystyle \int \text{cos}^n(x) dx}$
$\color{blue}{\displaystyle \int \text{tg}^n(x)\ dx}$ $\quad $ $\color{blue}{\displaystyle \int \text{cossec}^n(x)\ dx}$
$\color{blue}{\displaystyle \int \text{sec}^n(x)\ dx}$ $\quad $ $\color{blue}{\displaystyle \int \text{cotg}^n(x)\ dx}$
$\color{blue}{\displaystyle \int \text{tg}^n(x)\ dx}$ $\quad $ $\color{blue}{\displaystyle \int \text{cossec}^n(x)\ dx}$
$\color{blue}{\displaystyle \int \text{sec}^n(x)\ dx}$ $\quad $ $\color{blue}{\displaystyle \int \text{cotg}^n(x)\ dx}$
Veremos neste artigo como encontrar uma fórmula de redução para o seno elevado à enésima potência utilizando o método de integração por partes:
$$\int \text{sen}^n(x)\ dx = \\
-\frac{1}{n}\text{sen}^{n-1}(x) \cos(x) + \frac{n-1}{n}\int \text{sen}^{n-2}(x)\ dx
$$
Seja a integral:
$$I = \int \text{sen}^n(x)\ dx
$$
Reescrevemos o integrando como:
$$I = \int \text{sen}^{n-1}(x) \cdot \text{sen}(x)\ dx
$$
Aplicando o método de integração por partes, fazemos $u=\text{sen}^{n-1}$ e $dv=\text{sen}(x)\ dx$. Assim, $du = (n-1)\ \text{sen}^{n-2}(x)\ \cos(x)\ dx$ e $v=-\cos(x)$. Aplicamos os resultados obtidos na fórmula para integração por partes. Lembrando que $\displaystyle \int u\ dv = uv - \int v\ du$. Assim:
$$
I = -\text{sen}^{n-1}(x) \cos(x) + \\
\int \cos(x) (n-1)\ \text{sen}^{n-2}(x) \cos(x)\ dx\\
\ \\
I = -\text{sen}^{n-1}(x) \cos(x) + \\
(n-1)\int \cos^2(x)\ \text{sen}^{n-2}(x)\ dx
$$
I = -\text{sen}^{n-1}(x) \cos(x) + \\
(n-1)\int \left( 1-\text{sen}^2(x) \right)\text{sen}^{n-2}(x)\ dx\\
\ \\
I = -\text{sen}^{n-1}(x) \cos(x) + \\
(n-1)\int \left( \text{sen}^{n-2}(x)-\text{sen}^n(x) \right)\ dx\\
\ \\
I = -\text{sen}^{n-1}(x) \cos(x) + \\
(n-1)\int \text{sen}^{n-2}(x)\ dx - (n-1) \int \text{sen}^n(x)\ dx
$$
I = -\text{sen}^{n-1}(x) \cos(x) + \\
\int \cos(x) (n-1)\ \text{sen}^{n-2}(x) \cos(x)\ dx\\
\ \\
I = -\text{sen}^{n-1}(x) \cos(x) + \\
(n-1)\int \cos^2(x)\ \text{sen}^{n-2}(x)\ dx
$$
Utilizando a relação trigonométrica fundamental, temos que $\cos^2(x) = 1 - \text{sen}^2(x)$. Assim:
$$I = -\text{sen}^{n-1}(x) \cos(x) + \\
(n-1)\int \left( 1-\text{sen}^2(x) \right)\text{sen}^{n-2}(x)\ dx\\
\ \\
I = -\text{sen}^{n-1}(x) \cos(x) + \\
(n-1)\int \left( \text{sen}^{n-2}(x)-\text{sen}^n(x) \right)\ dx\\
\ \\
I = -\text{sen}^{n-1}(x) \cos(x) + \\
(n-1)\int \text{sen}^{n-2}(x)\ dx - (n-1) \int \text{sen}^n(x)\ dx
$$
A segunda integral é a integral original, de modo que podemos substituí-la por $I$:
$$I+(n-1)I = -\text{sen}^{n-1}(x) \cos(x) + \\
(n-1)\int \text{sen}^{n-2}(x)\ dx\\
\ \\
n\ I = -\text{sen}^{n-1}(x) \cos(x) + \\
(n-1)\int \text{sen}^{n-2}(x)\ dx\\
\ \\
\boxed{I = -\frac{1}{n}\text{sen}^{n-1}(x) \cos(x) + \\
\frac{n-1}{n}\int \text{sen}^{n-2}(x)\ dx}
$$
Para $n=1$, teremos:
$$I_1 = \int \text{sen}(x)\ dx\\
\ \\
I_1 = -\cos(x) + C
$$
Para $n=2$, teremos:
$$I_2 = \int \text{sen}^2(x)\ dx\\
\ \\
I_2 = \frac{1}{2}\left( x - \text{sen}(x)\ \cos(x) \right) + C
$$
Para $n=3$, teremos:
$$I_3 = \int \text{sen}^3(x)\ dx\\
\ \\
I_3 = -\frac{1}{3} \text{sen}^2(x)\ \cos(x) + \frac{2}{3}\ I_1\\
\ \\
I_3 = -\frac{1}{3} \text{sen}^2(x)\ \cos(x) - \frac{2}{3} \cos(x)+C
$$
Para $n=4$, teremos:
$$I_4 = \int \text{sen}^4(x)\ dx\\
\ \\
I_4 = -\frac{1}{4} \text{sen}^3(x)\ \cos(x) + \frac{3}{4}\ I_2\\
\ \\
I_4 = \frac{1}{8} \left( 3x-3\ \text{sen}(x)\ \cos(x) \right)-\\
2\ \text{sen}^3(x)\ \cos(x)+C
$$
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