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17/06/2023

Fórmula de redução para a integral senn(x) dx

formula-de-reducao-para-a-integral-de-seno-x-elevado-a-n-enesima-potencia-de-seno-de-x-sen^n(x)-sin^n-formula-reduction
Fórmulas de redução são métodos baseados em relações de recorrência que nos permite reduzir a potência do integrando a fim de tornar mais fácil o processo de integração.

A ideia é expressar um integrando que envolva uma potência inteira n de uma função em termos de n1 ou n2. O processo de redução pode ser continuado até obtermos uma função que seja mais facilmente integrável.


Veremos neste artigo como encontrar uma fórmula de redução para o seno elevado à enésima potência utilizando o método de integração por partes:
senn(x) dx=1nsenn1(x)cos(x)+n1nsenn2(x) dx


Seja a integral:
I=senn(x) dx
Reescrevemos o integrando como:
I=senn1(x)sen(x) dx
Aplicando o método de integração por partes, fazemos u=senn1 e dv=sen(x) dx. Assim, du=(n1) senn2(x) cos(x) dx e v=cos(x). Aplicamos os resultados obtidos na fórmula para integração por partes. Lembrando que u dv=uvv du. Assim:
I=senn1(x)cos(x)+cos(x)(n1) senn2(x)cos(x) dx I=senn1(x)cos(x)+(n1)cos2(x) senn2(x) dx

Utilizando a relação trigonométrica fundamental, temos que cos2(x)=1sen2(x). Assim:
I=senn1(x)cos(x)+(n1)(1sen2(x))senn2(x) dx I=senn1(x)cos(x)+(n1)(senn2(x)senn(x)) dx I=senn1(x)cos(x)+(n1)senn2(x) dx(n1)senn(x) dx
A segunda integral é a integral original, de modo que podemos substituí-la por I:
I+(n1)I=senn1(x)cos(x)+(n1)senn2(x) dx n I=senn1(x)cos(x)+(n1)senn2(x) dx I=1nsenn1(x)cos(x)+n1nsenn2(x) dx

Para n=1, teremos:
I1=sen(x) dx I1=cos(x)+C

Para n=2, teremos:
I2=sen2(x) dx I2=12(xsen(x) cos(x))+C

Para n=3, teremos:
I3=sen3(x) dx I3=13sen2(x) cos(x)+23 I1 I3=13sen2(x) cos(x)23cos(x)+C

Para n=4, teremos:
I4=sen4(x) dx I4=14sen3(x) cos(x)+34 I2 I4=18(3x3 sen(x) cos(x))2 sen3(x) cos(x)+C

Métodos de integração:

COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: Fórmula de redução para a integral senn(x) dx. Publicado por Kleber Kilhian em 17/06/2023. URL: . Leia os Termos de uso.


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