Fórmulas de redução são métodos baseados em relações de recorrência que nos permite reduzir a potência do integrando a fim de tornar mais fácil o processo de integração.
A ideia é expressar um integrando que envolva uma potência inteira n de uma função em termos de n−1 ou n−2. O processo de redução pode ser continuado até obtermos uma função que seja mais facilmente integrável.
Outras fórmulas de redução:
Veremos neste artigo como encontrar uma fórmula de redução para o seno elevado à enésima potência utilizando o método de integração por partes:
∫senn(x) dx=−1nsenn−1(x)cos(x)+n−1n∫senn−2(x) dxSeja a integral:
I=∫senn(x) dxReescrevemos o integrando como:
I=∫senn−1(x)⋅sen(x) dxAplicando o método de integração por partes, fazemos u=senn−1 e dv=sen(x) dx. Assim, du=(n−1) senn−2(x) cos(x) dx e v=−cos(x). Aplicamos os resultados obtidos na fórmula para integração por partes. Lembrando que ∫u dv=uv−∫v du. Assim:
I=−senn−1(x)cos(x)+∫cos(x)(n−1) senn−2(x)cos(x) dx I=−senn−1(x)cos(x)+(n−1)∫cos2(x) senn−2(x) dx
Utilizando a relação trigonométrica fundamental, temos que cos2(x)=1−sen2(x). Assim:
I=−senn−1(x)cos(x)+(n−1)∫(1−sen2(x))senn−2(x) dx I=−senn−1(x)cos(x)+(n−1)∫(senn−2(x)−senn(x)) dx I=−senn−1(x)cos(x)+(n−1)∫senn−2(x) dx−(n−1)∫senn(x) dxA segunda integral é a integral original, de modo que podemos substituí-la por I:
I+(n−1)I=−senn−1(x)cos(x)+(n−1)∫senn−2(x) dx n I=−senn−1(x)cos(x)+(n−1)∫senn−2(x) dx I=−1nsenn−1(x)cos(x)+n−1n∫senn−2(x) dxPara n=1, teremos:
I1=∫sen(x) dx I1=−cos(x)+CPara n=2, teremos:
I2=∫sen2(x) dx I2=12(x−sen(x) cos(x))+CPara n=3, teremos:
I3=∫sen3(x) dx I3=−13sen2(x) cos(x)+23 I1 I3=−13sen2(x) cos(x)−23cos(x)+CPara n=4, teremos:
I4=∫sen4(x) dx I4=−14sen3(x) cos(x)+34 I2 I4=18(3x−3 sen(x) cos(x))−2 sen3(x) cos(x)+C
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