Fórmula de redução para a integral $\displaystyle \int \text{sen}^n(x)\ dx$

Fórmulas de redução são métodos baseados em relações de recorrência que nos permite reduzir a potência do integrando a fim de tornar mais fácil o processo de integração.

A ideia é expressar um integrando que envolva uma potência inteira $n$ de uma função em termos de $n-1$ ou $n-2$. O processo de redução pode ser continuado até obtermos uma função que seja mais facilmente integrável.

Veja também: Fórmulas de redução para as integrais:

• $\displaystyle \int \text{sen}^n(x)\ dx$
• $\displaystyle \int \cos^n(x)\ dx$
• $\displaystyle \int \text{tg}(x)\ dx$

Veremos neste artigo como encontrar uma fórmula de redução para o seno elevado à enésima potência utilizando o método de integração por partes:

$$
\int \text{sen}^n(x)\ dx = \\
-\frac{1}{n}\text{sen}^{n-1}(x) \cos(x) + \frac{n-1}{n}\int \text{sen}^{n-2}(x)\ dx
$$

Seja a integral:

$$
I = \int \text{sen}^n(x)\ dx
$$

Reescrevemos o integrando como:

$$
I = \int \text{sen}^{n-1}(x) \cdot \text{sen}(x)\ dx
$$

Aplicando o método de integração por partes, fazemos $u=\text{sen}^{n-1}$ e $dv=\text{sen}(x)\ dx$. Assim, $du = (n-1)\ \text{sen}^{n-2}(x)\ \cos(x)\ dx$ e $v=-\cos(x)$. Aplicamos os resultados obtidos na fórmula para integração por partes. Lembrando que $\displaystyle \int u\ dv = uv - \int v\ du$. Assim:

$$
I = -\text{sen}^{n-1}(x) \cos(x) + \\
\int \cos(x) (n-1)\ \text{sen}^{n-2}(x) \cos(x)\ dx\\
\ \\
I = -\text{sen}^{n-1}(x) \cos(x) + \\
(n-1)\int \cos^2(x)\ \text{sen}^{n-2}(x)\ dx
$$

Utilizando a relação trigonométrica fundamental, temos que $\cos^2(x) = 1 - \text{sen}^2(x)$. Assim:

$$
I = -\text{sen}^{n-1}(x) \cos(x) + \\
(n-1)\int \left( 1-\text{sen}^2(x) \right)\text{sen}^{n-2}(x)\ dx\\
\ \\
I = -\text{sen}^{n-1}(x) \cos(x) + \\
(n-1)\int \left( \text{sen}^{n-2}(x)-\text{sen}^n(x) \right)\ dx\\
\ \\
I = -\text{sen}^{n-1}(x) \cos(x) + \\
(n-1)\int \text{sen}^{n-2}(x)\ dx - (n-1) \int \text{sen}^n(x)\ dx
$$

A segunda integral é a integral original, de modo que podemos substituí-la por $I$:

$$
I+(n-1)I = -\text{sen}^{n-1}(x) \cos(x) + \\
(n-1)\int \text{sen}^{n-2}(x)\ dx\\
\ \\
n\ I = -\text{sen}^{n-1}(x) \cos(x) + \\
(n-1)\int \text{sen}^{n-2}(x)\ dx\\
\ \\
I = -\frac{1}{n}\text{sen}^{n-1}(x) \cos(x) + \\
\frac{n-1}{n}\int \text{sen}^{n-2}(x)\ dx
$$

Para $n=1$, teremos:

$$
I_1 = \int \text{sen}(x)\ dx\\
\ \\
I_1 = -\cos(x) + C
$$

Para $n=2$, teremos:

$$
I_2 = \int \text{sen}^2(x)\ dx\\
\ \\
I_2 = \frac{1}{2}\left( x - \text{sen}(x)\ \cos(x) \right) + C
$$

Para $n=3$, teremos:

$$
I_3 = \int \text{sen}^3(x)\ dx\\
\ \\
I_3 = -\frac{1}{3} \text{sen}^2(x)\ \cos(x) + \frac{2}{3}\ I_1\\
\ \\
I_3 = -\frac{1}{3} \text{sen}^2(x)\ \cos(x) - \frac{2}{3} \cos(x)+C
$$

Para $n=4$, teremos:

$$
I_4 = \int \text{sen}^4(x)\ dx\\
\ \\
I_4 = -\frac{1}{4} \text{sen}^3(x)\ \cos(x) + \frac{3}{4}\ I_2\\
\ \\
I_4 = \frac{1}{8} \left( 3x-3\ \text{sen}(x)\ \cos(x) \right)-\\
2\ \text{sen}^3(x)\ \cos(x)+C
$$

Métodos de integração:

• Por partes
  
• Tabular
  
• Por substituição
  
• Frações parciais
  
• Substituição trigonométrica
  
• Integrais literais resolvidas