Fórmulas de redução são métodos baseados em relações de recorrência que nos permite reduzir a potência do integrando a fim de tornar mais fácil o processo de integração.
A ideia é expressar um integrando que envolva uma potência inteira $n$ de uma função em termos de $n-1$ ou $n-2$. O processo de redução pode ser continuado até obtermos uma função que seja mais facilmente integrável.
Outras fórmulas de redução para integrais: | |
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$\bullet$ $\displaystyle \int \text{sen}^n(x) dx$ | $\bullet$ $\displaystyle \int \text{sec}^n(x)\ dx$ |
$\bullet$ $\displaystyle \int \text{cos}^n(x)\ dx$ | $\bullet$ $\displaystyle \int \text{cossec}^n(x)\ dx$ |
$\bullet$ $\displaystyle \int \text{tg}^n(x) dx$ |
Veremos neste artigo como encontrar uma fórmula de redução para a secante elevada à enésima potência utilizando o método de integração por partes:
$$\int \text{sec}^n(x)\ dx = \\
\frac{1}{n-1}\text{sec}^{n-2}(x)\ \text{tg}(x) + \frac{n-2}{n-1}\int \text{sec}^{n-2}(x)\ dx
$$
para $n>2$.
Seja a integral:
$$I = \int \text{sec}^n(x)\ dx
$$
Reescrevemos o integrando como:
$$
I = \int \text{sec}^{n-2}(x) \cdot \text{sec}^2(x)\ dx
$$
I = \int \text{sec}^{n-2}(x) \cdot \text{sec}^2(x)\ dx
$$
Utilizamos o método de integração por partes, fazemos:
\begin{cases}
u = \text{sec}^{n-2}(x)\\
\ \\
du = (n-2)\ \text{sec}^{n-3}(x)\ \text{sec}(x)\ \text{tg}(x)\ dx
\end{cases}
$
e
$
\begin{cases}
dv=\text{sec}^2(x)\ dx\\
\ \\
v= \text{tg}(x)
\end{cases}
$
\begin{cases}
dv=\text{sec}^2(x)\ dx\\
\ \\
v= \text{tg}(x)
\end{cases}
$
Aplicamos os resultados na fórmula para integração por partes, lembrando que:
$$\int u\ dv = u\ v - \int v\ du
$$
Assim:
$$
I = \text{sec}^{n-2}(x) \text{tg}(x) \\
-\int \text{tg}(x)\ (n-2)\text{sec}^{n-3}(x)\ \text{sec}(x)\ \text{tg}(x) \ dx\\
\ \\
I = \text{sec}^{n-2}(x) \text{tg}(x) \\
-(n-2)\int \text{sec}^{n-2}(x)\ \text{tg}^2(x) \ dx
$$
I = \text{sec}^{n-2}(x) \text{tg}(x) \\
-(n-2)\int \text{sec}^{n-2}(x) \left( \text{sec}^2(x) -1 \right)\ dx\\
\ \\
I = \text{sec}^{n-2}(x) \text{tg}(x) \\
-(n-2)\int \left( \text{sec}^n (x)-\text{sec}^{n-2}(x) \right)\ dx\\
\ \\
I = \text{sec}^{n-2}(x) \text{tg}(x) \\
-(n-2)\int \text{sec}^{n}(x)\ dx + (n-2) \int \text{sec}^{n-2}(x)\ dx
$$
I = \text{sec}^{n-2}(x) \text{tg}(x) \\
-\int \text{tg}(x)\ (n-2)\text{sec}^{n-3}(x)\ \text{sec}(x)\ \text{tg}(x) \ dx\\
\ \\
I = \text{sec}^{n-2}(x) \text{tg}(x) \\
-(n-2)\int \text{sec}^{n-2}(x)\ \text{tg}^2(x) \ dx
$$
Utilizando a identidade trigonométrica $\text{tg}^2(x) = \text{sec}^2(x)-1$, temos:
$$I = \text{sec}^{n-2}(x) \text{tg}(x) \\
-(n-2)\int \text{sec}^{n-2}(x) \left( \text{sec}^2(x) -1 \right)\ dx\\
\ \\
I = \text{sec}^{n-2}(x) \text{tg}(x) \\
-(n-2)\int \left( \text{sec}^n (x)-\text{sec}^{n-2}(x) \right)\ dx\\
\ \\
I = \text{sec}^{n-2}(x) \text{tg}(x) \\
-(n-2)\int \text{sec}^{n}(x)\ dx + (n-2) \int \text{sec}^{n-2}(x)\ dx
$$
A primeira integral é a integral original, de modo que podemos substituí-la por $I$:
$$I = \text{sec}^{n-2}(x)\ \text{tg}(x) \\
-(n-2)I + (n-2) \int \text{sec}^{n-2}(x)\ dx\\
\ \\
I+(n-2)I = \text{sec}^{n-2}(x) \text{tg}(x) \\
+ (n-2)\int \text{sec}^{n-2}(x)\ dx\\
\ \\
(n-1) I = \text{sec}^{n-2}(x) \text{tg}(x) \\
+(n-2)\int \text{sec}^{n-2}(x)\ dx\\
\ \\
\boxed{I = \frac{1}{n-1}\text{sec}^{n-2}(x) \text{tg}(x) \\
+ \frac{n-2}{n-1}\int \text{sec}^{n-2}(x)\ dx}
$$
$ \bullet$ Para $n=3$, teremos:
$$I_3 = \int \text{sec}^3(x)\ dx\\
\ \\
I_3 = \frac{1}{3-1} \text{sec}^{3-2}(x)\text{tg}(x) +\frac{3-2}{3-1} \int \text{sec}^{3-2}(x)\ dx\\
\ \\
I_3 = \frac{1}{2} \text{sec}(x)\text{tg}(x) + \frac{1}{2} \int \text{sec}(x)\ dx
$$
A integral de $\text{sec}(x)$ é $\ln | \text{sec}(x) + \text{tg}(x)|$. Assim:
$$I_3 = \frac{1}{2} \text{sec}(x)\text{tg}(x) + \frac{1}{2} \ln|\text{sec}(x)+\text{tg}(x)| + C
$$
$\bullet$ Para $n=4$, teremos:
$$I_4 = \int \text{sec}^4(x)\ dx\\
\ \\
I_4 = \frac{1}{4-1}\text{sec}^{4-2}(x)\text{tg}(x) + \frac{4-2}{4-1} \int \text{sec}^{4-2}(x)\ dx\\
\ \\
I_4 = \frac{1}{3} \text{sec}^2(x)\text{tg}(x) + \frac{2}{3} \int \text{sec}^2(x)\ dx
$$
A integral de $\text{sec}^2(x)$ é $\text{tg}(x)$, assim:
$$I_4 = \frac{1}{3}\text{sec}^2(x)\text{tg}(x) + \frac{2}{3} \text{tg}(x)+C
$$
Utilizando a identidade trigonométrica $\text{sec}^2(x) = \text{tg}^2+1$, temos:
$$I_4 = \frac{1}{3}\Big(\text{tg}^2(x) + 1\Big) \text{tg}(x) + \frac{2}{3}\text{tg}(x)+C\\
\ \\
I_4 = \frac{1}{3} \text{tg}^3(x) + \frac{1}{3}\text{tg}(x) + \frac{2}{3}\text{tg}(x)+C\\
\ \\
I_4 = \frac{1}{3} \text{tg}^3(x) + \text{tg}(x) + C
$$
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