Construção de um triângulo equilátero com régua e compasso

Um triângulo equilátero é todo triângulo em que seus lados são iguais. Consequentemente seus três ângulos internos são congruentes e medem  $60°$.

Veremos a seguir duas formas de construir (ou desenhar) um triângulo equilátero utilizando apenas régua e compasso.

A primeira construção será feita a partir de um lado dado do triângulo; a outra construção será a partir de uma circunferência dada, circunscrita ao triângulo.

Construção de um triângulo equilátero a partir de um lado:

Esta construção usa como argumento a propriedade do triângulo equilátero possuir os três lados congruentes, ou seja, possuem o mesmo comprimento. Então o que fazemos é traçar três segmentos  congruentes de modo que suas extremidades sejam coincidentes, duas a duas.

Iniciamos a construção com o segmento $AB$ dado. Com a ponta seca do compasso no ponto $A$ e uma abertura igual a $AB$, descrevemos um arco cujo raio será igual à $AB$. Em seguida, com a ponta seca em $B$ e mesma abertura $AB$, descrevemos um outro arco, que intersecta o primeiro no ponto $C$. Unindo os pontos $AB$, $BC$ e $AC$, obtemos o triângulo equilátero desejado.

Construção de um triângulo equilátero a partir de uma circunferência:

Esta construção usa como argumento a propriedade do triângulo equilátero possuir os três ângulos internos congruentes, ou seja, possuem a mesma medida de $60°$. Então o que fazemos é dividir a circunferência em três arcos congruentes, limitadas pelos pontos $A$, $B$ e $C$.

Iniciamos a construção com uma circunferência dada de centro $O$. Marcamos um ponto qualquer na circunferência, por exemplo $C$. Com raio igual a $OC$, posicionamos a ponta seca do compasso em $C$ e descrevemos um arco, marcando o ponto $D$ na intersecção com a circunferência. Com mesmo raio $OC$, mas agora centrado em $D$, descrevemos um novo arco marcando como $B$ a intersecção com a circunferência. Agora, com raio igual a $BC$ e com a ponta seca do compasso em $C$, descrevemos um arco marcando como $A$ a intersecção com a circunferência. Unindo os pontos $A$, $B$ e $C$, obtemos o triângulo equilátero desejado.

Nesta construção foi considerado que o centro $O$ da circunferência era conhecido. Mas, caso tenhamos uma circunferência mas não o seu centro, podemos encontrá-lo facilmente marcando três pontos quaisquer na circunferência e traçando as mediatrizes. A intersecção destas gera o centro $O$ da circunferência. Veja a construção passo-a-passo no artigo Como encontrar o centro de uma circunferência.

Gosta de desafios matemáticos? Veja este desafio matemático envolvendo triângulos equiláteros no blog do professor Edigley Alexandre.

Links para este artigo:

• http://bit.ly/triangulo-equilatero-compasso
• https://www.obaricentrodamente.com/2018/12/construcao-de-um-triangulo-equilatero-com-regua-e-compasso.html

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