A soma de Gauss

Uma história interessante do jovem Carl Friederich Gauss $(1777-1855)$ quando este tinha apenas $10$ anos é que em uma das aulas de aritmética, o professor pediu aos alunos que calculassem o valor da soma:

\begin{equation*}
S = 1 + 2 + 3 + \cdots + 99 + 100
\end{equation*}

Não levou muito tempo e Gauss escreveu a resposta em sua pequena lousa: $5050$. Seu professor não acreditou no que vira, enquanto seus colegas somavam termo a termo. Mais incrédulo ficou ao fim da aula quando verificou que a única resposta certa fora a de Gauss, que justificou assim seu procedimento:

"A soma de $1$ com $100$, de $2$ com $99$, de $3$ com $98$, e assim por diante, é sempre igual a $101$. Como na soma desejada o número $101$ aparece $50$ vezes, basta multiplicar $101$ por $50$ para obter $5050$".

E isso Gauss fez em pouco tempo e sem dificuldades, um prenúncio das grandes contribuições do gênio que foi.

Consideremos a $P.A.$ finita de razão $r$:

\begin{equation*}
a_1+a_2+a_3+\cdots +a_{N-2}+a_{N-1}+a_N
\end{equation*}

A soma $S_N$ de seus $N$ termos pode ser escrita como:

onde:

• $a_1$ é o primeiro termo;
• $a_N$ é o enésimo termo;
• $N$ é o número de termos;
• $S_N$ é a soma dos $N$ termos.

Logo:
\begin{equation*}
S_N=(a_1+a_N)+(a_1+a_N)+\cdots + (a_1+a_N)
\end{equation*}

Como sempre somamos dois termos da $P.A.$ de $N$ termos, teremos $N/2$ parcela iguais a $(a_1+a_N)$, o que nos leva à fórmula da soma dos termos de uma $P.A.$ finita:

\begin{equation}
S_N=\frac{(a_1+a_N)N}{2}
\end{equation}

Exemplo 1:

Tomemos o problema que o professor passou a Gauss e seus colegas: Encontrar a soma dos números naturais de $1$ a $100$ utilizando a fórmula moderna.

Neste caso, precisamos somar os termos da sequência:

\begin{equation*}
S_N=1+2+3+\cdots +98+99+100
\end{equation*}

Observando a sequência acima, temos que $a_1=1$, $a_N=100$ e $N=100$. Aplicando na fórmula do termo geral obtida em $(1)$, obtemos:

\begin{equation*}
S_N=\frac{(a_1+a_N)N}{2}\\
\ \\
S_N=\frac{(1+100)100}{2}\\
\ \\
S_N=\frac{10100}{2}\\
\ \\
S_N=5050
\end{equation*}

Que é a mesma soma obtida por Gauss.

Exemplo 2:

Calcular a soma dos primeiros $N$ números ímpares $(1, 3, 5, \cdots , 2N-1, \cdots )$, $N \in \mathbb{N^*}$.

\begin{equation*}
S_N=\frac{(a_1+a_N)N}{2}\\
\ \\
S_N=\frac{(1+2N-1)N}{2}\\
\ \\
S_N=\frac{2N^2}{2}\\
\ \\
S_N=N^2
\end{equation*}

Portanto, a soma dos $N$ primeiros números ímpares é igual a $N^2$.

Vamos calcular a soma dos 50 primeiros números ímpares dessa sequência. O primeiro termo é $a_1=1$. Para descobrirmos o quinquagésimo termo da sequência, fazemos: $a_N=2N-1 \Rightarrow a_{50}=2\cdot 50 -1 = 99$. Assim:

\begin{equation*}
S_N=\frac{(a_1+a_N)N}{2}\\
\ \\
S_N=\frac{(1+99)50}{2}\\
\ \\
S_N=2500
\end{equation*}
Ou simplesmente fazemos:
\begin{equation*}
S_N=N^2=50^2=2500
\end{equation*}

Links para este artigo:

http://bit.ly/SomaGauss
https://www.obaricentrodamente.com/2014/05/a-soma-de-gauss.html

Veja mais:

Dirichlet e os Números Primos de uma Progressão Aritmética
Soma dos Termos de uma P.G. Finita
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