Completando Quadrado

Quando estamos estudando equações, surgem em nossa frente as equações de segundo grau, também conhecidas como equações quadráticas. Matematicamente, essas equações são dadas por:

Essas equações levam esse nome por possuir uma incógnita com expoente de grau 2 e podem ser completas ou incompletas.

As equações quadráticas incompletas são mais práticas de serem resolvidas, pois não apresentam o termo da incógnita x ou o termo independente.

A equação quadrática acima não possui o termo independente c, ou seja, c = 0. Para encontrarmos suas raízes, colocamos a incógnita x em evidência:

Daqui segue que:

Outra forma incompleta da equação quadrática:

Neste caso basta isolar a incógnita:

As duas raízes acima são reais se –c/a > 0. Para a equação completa (1), se a equação for um quadrado perfeito, conseguiremos fatorá-la de modo que se apresente como:

O que nos leva a raiz dupla:

Se a equação não for um quadrado perfeito, aplicamos a fórmula resolvente da equação de segundo grau, também conhecida como fórmula de Bháskara:

Vale ressaltar que existe uma lógica por trás da expressão (2). Mas em geral, é um assunto desconhecido para muitos professores, que infelizmente, apenas ensinam os alunos a substituir as constantes a, b e c nesta expressão. Neste post, usaremos um processo chamado Completar Quadrado, transformando o membro da esquerda em um quadrado perfeito.

Vamos considerar a equação quadrática completa:

Dividimos toda a equação pelo coeficiente a, pois a ≠ 0, para obter:

Isolamos o termo independente no lado direito da equação:

Queremos que o membro da esquerda seja um quadrado perfeito. Para isso, devemos completar o quadrado, que se dá somando uma quantidade Q ao membro da esquerda da equação. Consequentemente, também devemos somar o mesmo valor no membro da direita para que a igualdade continue verdadeira.

Da Álgebra Elementar temos que:

ou em forma de palavras podemos dizer que “o quadrado da soma é igual ao quadrado primeiro, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo”.

Comparando as expressões (3) e (4), vemos que o primeiro termo m é igual a x e o segundo termo n é igual b / 2a. Assim, para completar quadrados na expressão (3), o valor assumido por Q deverá ser:

Deste modo, obtemos:

O que nos leva a:

Notem que agora o membro da esquerda é um quadrado perfeito. Mas vejam que interessante: se extrairmos a raiz de ambos os lados da equação, obteremos:

Que é a fórmula para a equação de segundo grau.

Exemplo 1: Complete o quadrado na equação e ache suas raízes.

Etapa 1: Devemos garantir que o coeficiente de x² seja igual a 1, dividindo toda a equação por 2:

Etapa 2: Isolamos o termo independente:

Etapa 3: Devemos adicionar um valor Q em ambos os lados da equação para obtermos um quadrado perfeito no membro da esquerda. Esse número é obtido tomando o quadrado da metade do coeficiente de x.

Etapa 4: Reescrevemos o membro da esquerda como quadrado perfeito:

Podemos encontrar as raízes da equação extraindo a raiz de ambos os lados da equação:

Exemplo 2: Complete quadrado da equação abaixo e ache suas raízes:

Devemos garantir que o coeficiente de x² seja igual a 1, multiplicando toda a equação por 4:

a qual pode ser reescrita na forma:

Mas, a expressão é um quadrado perfeito, isto é:

Assim,

Logo, x = –2 é uma raiz dupla desta equação.

Comentário Final: A Matemática possui muitas regras, propriedades, fórmulas e teorias. Mesmo nos níveis elementares, os professores deveriam priorizar o ensino desta ciência apresentando o porquê de tais métodos funcionarem, ao invés de forçar os alunos a decorar fórmulas sem sentido. Buscamos neste post apresentar as equações quadráticas sem o uso discriminado da fórmula de Bháskara, usando apenas as técnicas de completar quadrados, mostrando desta forma a estreita ligação que existem entre vários assuntos, passando para os alunos a importância de conhecer em sua essência os vários tópicos da Matemática.

---

Veja mais:

Demonstração dos Pontos de Máximo e Mínimo de uma Equação Quadrática
Resolvendo Equações Quadráticas pelo Método Geométrico de Descartes
Regra de Descartes e a Equação Quadrática no blog Fatos Matemáticos
Fatoração do Trinômio Quadrático em Z no blog Fatos Matemáticos

---