28/11/2012

Sobre os Primos Gêmeos

A conjectura dos números primos gêmeos afirma que existem infinitos números primos gêmeos, mas até hoje tal afirmação ainda não foi provada. Matemáticos acreditam que esta conjectura é verdadeira, baseado apenas nas evidências numéricas e raciocínios heurísticos envolvendo a distribuição probabilística dos números primos.


Em $1919$, Brun mostrou que a série formada pela soma dos recíprocos dos primos gêmeos converge para uma soma chamada constante de Brun $(0,6601618158 \cdots)$ em sua homenagem.

Em janeiro de $2007$, o projeto computacional sobre a distribuição dos números primos gêmeos (Twin Prime Search and Prime Grid) encontrou os maiores primos gêmeos contendo $58.771$ dígitos:
\begin{equation*}
2.003.663.613 \times 2^{195.000} \pm 1
\end{equation*}
Em julho de 2009, foram encontrados primos gêmeos ainda maiores, com 100.355 dígitos:
\begin{equation*}
65.516468355 \times 2^{333.333} \pm 1
\end{equation*}

Definição $1$:

Um par de números primos $x$ e $y$ com $x > y$ é chamado de primos gêmeos se $x = y + 2$.

Teorema de Sebá $1$:

Se $x$ e $y$ são dois primos gêmeos maiores que três sob a forma $6n \pm 1$, então, temos que $x^2 – y^2$ é divisível por $24$, para todo $x > y$.

Demonstração:


Dados dois primos gêmeos $x$ e $y$, escritos sob a forma $x = 6n + 1$ e $y = 6n – 1$ para $n$ natural.

Assim:
\begin{equation*}
x^2 - y^2 = (6n+1)^2 - (6n-1)^2\\
x^2 - y^2 = 36n^2 + 12n + 1 - 36n^2 +12n -1\\
x^2 - y^2 = 24n
\end{equation*}
Por exemplo, podemos montar uma tabela e verificar os resultados:

Observando a tabela acima, podemos notar que, apesar de encontrarmos pares gêmeos, nem para todo n natural encontramos primos gêmeos do tipo $6n \pm 1$.
\begin{equation*}
3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 29, 31, 41, 43, 59, 61, 71, 73, 101, 103, 107, 109, 137, 139, 149, 151, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 227, 229, 239, 241, 269, 271, 281, 283, 311, 313, 347, 349, 419, 421, 431, 433, 461, 463, 521, 523, 569, 571, 599, 601, 617, 619, 641, 643,\cdots
\end{equation*}

Corolário $1$:

A soma de dois primos gêmeos maiores que três é divisível por $12$.

Demonstração:

Dados dois primos gêmeos $x$ e $y$ com $x – y = 2$. Pelo teorema anterior $x^2 – y^2 = 24n$, sendo n natural não nulo. Assim,
\begin{equation*}
(x-y)(x+y) = 24n\\
2(x+y) = 24n\\
x+y = 12
\end{equation*}
donde segue o resultado.

Definição $2$:

Uma terna de primos é uma terna da forma $(p, p+2, p+6)$ ou $(p, p+4, p+6)$. Com exceção trivial das ternas $(2,3,5)$ e $(3,5,7)$.

Note que uma terna de primos contém um par de primos gêmeos da forma $(p,p+2)$ ou $(p+4, p+6)$. Vejamos uma pequena tabela com cada um dos tipos:

Temos as seguintes primeiras ternas:
 \begin{equation*}
(5, 7, 11), (7, 11, 13), (11, 13, 17), (13, 17, 19), (37, 41, 43), (41, 43, 47), (67, 71, 73), (97, 101, 103), (101, 103, 107), (103, 107, 109), (107, 109, 113), (191, 193, 197), 193, 197, 199), (223, 227, 229), (227, 229, 233), (227, 231, 233),  \cdots
\end{equation*}

Veja mais:

Quantos Números Primos Existem?
A Série dos Recíprocos dos Números Primos no blog Fatos Matemáticos
Teoremas Interessantes Sobre Números Primos no blog Fato Matemáticos
A Demonstração de Euclides Sobre a Existência de Infinitos Números Primos



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4 comentários:

  1. Através do teorema, foi possível filtrar os candidatos a primos gêmeos. Infelizmente, sabemos muito pouco a respeito dos primos gêmeos e este post é um bom exemplo de que ideias simples podem ser profundas na Matemática. Parabéns pelo artigo e muito obrigado pelos links citados.

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  2. Olá. Eu sou professor de matemática da rede municipal carioca e mantenho com meus próprios recursos um canal de vídeos no YouTube, onde tento apresentar a Matemática de forma descontraída e divertida. É o Matemática Rio: http://www.youtube.com/matematicario

    Se puder, faça uma visita e assista a alguns vídeos. Se interessar e quiser, pode divulgá-los no seu blog. Seria de grande ajuda pra divulgar meu trabalho também. :)

    Abraços e parabéns pelo seu blog!

    Rafael.

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  3. Olá, sou apenas um entusiasta da matemática sem qualquer formação na área, de modo que meu comentário vem acompanhado por uma profunda admiração por quem estudou formalmente essa bela ciência. Tenho uma objeção quanto ao "enunciado" do teorema de Sebá. Creio que seria mais exato afirmar que "Se x e y são números sob a forma 6n ± 1, então, temos que x2 – y2 é divisível por 24, para todo x > y".

    Assim me parece que deva ser porque o referido teorema pode ser aplicado a quaisquer números escritos sob a forma 6n ± 1, e não apenas aos primos gêmeos. Vejamos.

    6n+1=119 (7x17)
    6n-1=121

    121^2= 14641
    119^2= 14161

    14641 - 14161 = 480

    E 480 é divisível por 24.






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    Respostas
    1. Você está com toda razão. Também tenho meus estudos sobre os números primos e tb cheguei a essa conclusão.

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