08/12/2012

Determinando a Massa da Terra

A Terra é o terceiro planeta mais próximo do Sol e o quinto maior dos planetas do Sistema Solar. É o único corpo celeste conhecido onde há existência de vida.

Uma das consequências das Leis de Newton, Galileu e Kepler é a determinação da Massa da Terra. Vamos estimar sua massa usando para isso apenas equações simples, tão conhecidas de alunos do ensino médio.

Determinando a massa da Terra


Newton publicou em sua obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, em 5 de julho de 1687, sua Lei da Gravitação Universal, que diz:

Matéria atrai matéria com uma força diretamente proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas.

Que matematicamente equivale à fórmula:
\begin{equation*}
F = G \ \frac{M_1 \cdot M_2}{r^2} \tag{1}
\end{equation*}
A constante $G$ tem um valor muito pequeno e não foi descoberto seu valor por Newton, somente algum tempo depois Henry Cavendish, em 1797, através de um experimento em laboratório, encontrou numericamente seu valor com uma precisão de 1%:
\begin{equation*}
G = 6,67428 \times 10^{-11}\ \frac{Nm^2}{kg^2}
\end{equation*}
Já a Segunda Lei de Newton, também conhecida como Lei Fundamental da Dinâmica, nos diz que o movimento é proporcional à força motora imprimida e é produzida na direção da qual aquela força foi imprimida. Ou seja, a força é a taxa de variação do momento linear em relação ao tempo.
\begin{equation*}
F = m \cdot a \tag{2}
\end{equation*}
A unidade de força no S.I. é o Newton $(N)$. Por definição, $1\ N$ é a força que, quando aplicada a um corpo de massa de $1\ kg$, lhe imprime uma aceleração de $1\ m/s^2$. Para ter uma ideia concreta da ordem de grandeza do Newton, a aceleração da gravidade, dada por $g \approx 9,8\ m/s^2$, $1\ N$ é a ordem de grandeza da força-peso exercida pela gravidade sobre um corpo de massa de aproximadamente igual a $100\ g$ (uma maçã, por exemplo!).
\begin{equation*}
F = 1\ m \cdot s^{-2} \cdot kg = 1\ \frac{m \cdot kg}{s^2} \tag{3}
\end{equation*}
Assim, temos que:
\begin{equation*}
F = m \cdot g = G \cdot \frac{M_1 \cdot M_2}{r^2}
\end{equation*}
Fazemos:
\begin{equation*}
F = m \cdot g = G \cdot \frac{M_T \cdot m}{r^2} \tag{4}
\end{equation*}
onde $M_T$ é igual à massa da Terra, $m\cdot g$ é o peso de uma pequena massa $m$ atraída pelo efeito da gravidade terrestre dada por $g = 9,80665\  m/s^2$, valor este atualmente aceito para a gravidade ao nível do mar, que foi a primeira tentativa de Galileu na elaboração da Lei da Queda dos Corpos.

O valor para o raio da Terra atualmente aceito é de $r = 6.378,160\ km$, primeiramente calculado por Eratóstenes de Cirene (276-194 a.C.), quando encontrou um raio de $6.469,563\ km$, muito próximo do valor hoje aceito.

Mas a Terra não é Plana? Veja como a Matemática prova definitivamente que a Terra não é plana no artigo do blog do Professor Edigley.

A equação $(4)$ é transformada rapidamente em:
\begin{equation*}
g = G \cdot \frac{M_T}{r^2}
\end{equation*}
Isolando a massa da Terra:
\begin{equation*}
M_T = \frac{g \cdot r^2}{G} \tag{5}
\end{equation*}
Vejam que agora já podemos calcular numericamente a massa da Terra:
\begin{equation*}
M_T = \frac{9,80665\ m/s^2 \cdot (6,37816 \times 10^6\ m)^2}{6,67428 \times 10^{-11}\ Nm^2 / kg^2}\\
\ \\
M_T = \frac{9,80665\ m/s^2 \cdot 4,068092499 \times 10^{13}m^2}{6,67428 \times 10^{-11}\ m/s^2 \cdot kg \cdot m^2/kg^2}\\
\ \\
M_T = 5,977327787 \times 10^{24} kg
\end{equation*}
Uma questão que devemos nos atentar é que a Terra não está aumentando sua massa. Apesar de população mundial ter crescido demasiadamente, chegando à marca de 7,6 bilhões de indivíduos em 2017, que nos leva a uma massa de 680 bilhões de quilogramas, considerando indivíduos com peso de $80\ kg$ aproximadamente, números que jamais foram tão grandes na história da Terra, a população terrestre não altera a massa do planeta, já que para o aumento efetivo de seres humanos há uma redução de outras espécies, tais como animais, árvores, recursos naturais, por exemplo.

Para uma espécie crescer, outros tendem a diminuir. Essa é a condição natural que mantém a balança inalterada. Mas isso não quer dizer que a massa da Terra fica inalterada: ela está diminuindo.

A BBC pediu a um físico da Universidade de Cambridge, o professor Dave Ansell, para elaborar um estudo sobre a massa da Terra, para tentar descobrir se o planeta está ganhando ou perdendo massa.

Ao longo de um ano, a Terra ganha cerca de 40.000 toneladas de poeira espacial, devido à gravidade, funcionando como um verdadeiro aspirador.

Outro fator que influencia no aumento da massa da Terra é o suposto aquecimento global, que acrescenta cerca de 160 toneladas por ano, pois com o aumento da temperatura, também tem o aumento de energia que é adicionado ao sistema.

Entretanto, no centro da Terra, no interior do núcleo, existe um reator nuclear natural que é uma massa de urânio com cerca de 8 km de diâmetro e que causa uma perda de massa de cerca de 16 toneladas por ano.

Já as maiores perdas de massa são as 95.000 toneladas de hidrogênio que escapam da atmosfera a cada ano; as 1.600 toneladas de gás hélio que é muito leve e escapam facilmente.

Levando em conta todos os fatores, a Terra está ficando mais leve cerca de 50.000 toneladas por ano, que é muito pouco.

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Referências:


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17 comentários:

  1. Blz, Kleber?

    Faz algum tempo que eu estava me questionando sobre a variação da massa da terra devido ao aumento populacional. Inclusive, até eu e o Valdir batemos um papo sobre isto no Face.

    É interessante saber, por meio desse artigo, que tal aumento é irrelevante e ainda, saber também sobre todos estes outros fatores que influem na massa terrestre. E a surpresa de tomar conhecimento que a massa de nosso planeta está diminuindo!

    Excelente matéria, com muitos detalhes.

    Aproveitando ( já que dentro do assunto temos população e massa ), um dia vi em uma especial da Super que a soma das massas de todos os seres humanos atuais seria igual a massa do Pão de Açucar...

    Valeu e parabéns!

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  2. Olá Aloísio, que bom que gostou do artigo. Me surpreendi com muito que li sobre o assunto, creio que isso seja bom.

    Sobre o Pão de Açúcar, achei o link abaixo que diz que seu peso é de 580 milhões de toneladas. Considerando os 7 bilhões de indivíduos, pesando 80 kg, teríamos um peso de 560 bilhões de toneladas.

    http://g1.globo.com/rio-de-janeiro/noticia/2012/09/calculo-indica-que-pao-de-acucar-no-rio-pesa-580-milhoes-de-toneladas.html

    Precisamos apurar quem está errado: o G1 ou a Super.

    Obrigado pela informação e um grande abraço!

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  3. Oi, Kleber!

    Não seria assim, não?:

    7 bilhões x 80kg=560 bilhões de Kg=560 milhões de toneladas de seres humanos

    Próximo dos 580 milhões de toneladas do Pão de Açucar.

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  4. Puxa vida Aloísio, que vacilo meu! Desculpe a gafe!

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  5. Esquenta não, parceiro.

    Curiosamente a Super estimou o peso médio do Homem em 82,85 Kg...

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  6. Ou, melhor, a massa média...

    Mas acredito que esta estimativa serviu apenas para arredondar os cálculos e igualar as massas, não, é?

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  7. Possivelmente sim. A marca de 7 bilhões de indivíduos foi de 2011, hoje temos alguns milhares a mais. Para estimativas assim é melhor usar números que arredondem os cálculos.

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  8. Estou lendo um artigo para estimar a massa do Sol. Se der vou fazer um artigo similar a este.

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  9. Olá, Kleber!

    Adoro artigos deste tipo, que geram curiosidades e atraem para a leitura.

    Fico maravilhado como as descobertas de físicos e matemáticos há alguns séculos ou milênios (como Arquimedes). É incrível que muitas dessas descobertas foram calculadas quase sem margem de erro (é o caso da circunferência da Terra), em relação aos tempos atuais onde a tecnologia nos ajuda facilmente.

    Um abraço!
    PS: Farei um resumo deste artigo e o citarei em um artigo no blog.

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  10. Olá Edigley!

    Realmente é fascinante a história das ciências. Os matemáticos dedicaram suas vidas em pró da ciência, que veio se desenvolvendo durante os séculos. Além de não terem a tecnologia que temos hoje, os métodos matemáticos também eram rudimentares, mas isso não impedia-os de conquistar resultados impressionantes.

    Ficarei no aguardo da postagem.

    Um abraço!

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  11. Eu acho difícil acreditar que a massa média dos seres humanos seja na faixa de 80kg. Acredito que seja um valor bem inferior, visto que a maioria da população é composta por crianças. Além do fato de que as mulheres correspondem a cerca de 50% da população e com certeza possuem uma massa média bem inferior a 80kg, o que puxaria a média total para baixo. Com exceção dos EUA, onde a obesidade impera, o resto do mundo tem massas bem mais modestas.

    Ah, acabo de encontrar a informação na Wikipedia, que tem como fonte o seguinte site: http://www.biomedcentral.com/1471-2458/12/439/abstract

    Average weight: 62.0 kg (136.7 lb)

    Isso é 22,5% a menos do que vocês estimaram...

    Excelente artigo, e ótimo blog.

    Abraço

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    Respostas
    1. Olá Jimmy. Obrigado pelas informações. Acho que superestimei o peso médio, mas vale a ideia. Obrigado por participar. Um abraço!

      Excluir
  12. Average body weight of an human being: 62.0 kg (136.7 lb), 22,5% a menos do que vocês estimaram.

    Acredito que tenham se esquecido de computar as mulheres e crianças.

    Excelente blog, abraço!

    Fonte: http://www.biomedcentral.com/1471-2458/12/439/abstract

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  13. Adorei a matéria! E o blog tbm!!

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  14. faltou tirar o peso dos mares, cujo peso especifico é o da agua e corresponde a 1 kg/dm (quadrado) e cujo volume só poderá ser estimado com muita imprecisão.

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  15. Excelente! Continue com o blog. Very Good!

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