Determinando a Massa da Terra

A Terra é o terceiro planeta mais próximo do Sol e o quinto maior dos planetas do Sistema Solar. É o único corpo celeste conhecido onde há existência de vida.

Uma das consequências das Leis de Newton, Galileu e Kepler é a determinação da Massa da Terra. Vamos estimar sua massa usando para isso apenas equações simples, tão conhecidas de alunos do ensino médio.

Newton publicou em sua obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, em 5 de julho de 1687, sua Lei da Gravitação Universal, que diz:

Matéria atrai matéria com uma força diretamente proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas.

Que matematicamente equivale à fórmula:

\begin{equation*}
F = G \ \frac{M_1 \cdot M_2}{r^2} \tag{1}
\end{equation*}

A constante $G$ tem um valor muito pequeno e não foi descoberto seu valor por Newton, somente algum tempo depois Henry Cavendish, em 1797, através de um experimento em laboratório, encontrou numericamente seu valor com uma precisão de 1%:

\begin{equation*}
G = 6,67428 \times 10^{-11}\ \frac{Nm^2}{kg^2}
\end{equation*}

Já a Segunda Lei de Newton, também conhecida como Lei Fundamental da Dinâmica, nos diz que o movimento é proporcional à força motora imprimida e é produzida na direção da qual aquela força foi imprimida. Ou seja, a força é a taxa de variação do momento linear em relação ao tempo.

\begin{equation*}
F = m \cdot a \tag{2}
\end{equation*}

A unidade de força no S.I. é o Newton $(N)$. Por definição, $1\ N$ é a força que, quando aplicada a um corpo de massa de $1\ kg$, lhe imprime uma aceleração de $1\ m/s^2$. Para ter uma ideia concreta da ordem de grandeza do Newton, a aceleração da gravidade, dada por $g \approx 9,8\ m/s^2$, $1\ N$ é a ordem de grandeza da força-peso exercida pela gravidade sobre um corpo de massa de aproximadamente igual a $100\ g$ (uma maçã, por exemplo!).

\begin{equation*}
F = 1\ m \cdot s^{-2} \cdot kg = 1\ \frac{m \cdot kg}{s^2} \tag{3}
\end{equation*}
Assim, temos que:
\begin{equation*}
F = m \cdot g = G \cdot \frac{M_1 \cdot M_2}{r^2}
\end{equation*}
Fazemos:
\begin{equation*}
F = m \cdot g = G \cdot \frac{M_T \cdot m}{r^2} \tag{4}
\end{equation*}

onde $M_T$ é igual à massa da Terra, $m\cdot g$ é o peso de uma pequena massa $m$ atraída pelo efeito da gravidade terrestre dada por $g = 9,80665\  m/s^2$, valor este atualmente aceito para a gravidade ao nível do mar, que foi a primeira tentativa de Galileu na elaboração da Lei da Queda dos Corpos.

O valor para o raio da Terra atualmente aceito é de $r = 6.378,160\ km$, primeiramente calculado por Eratóstenes de Cirene (276-194 a.C.), quando encontrou um raio de $6.469,563\ km$, muito próximo do valor hoje aceito.

Mas a Terra não é Plana? Veja como a Matemática prova definitivamente que a Terra não é plana no artigo do blog do Professor Edigley.

A equação $(4)$ é transformada rapidamente em:

\begin{equation*}
g = G \cdot \frac{M_T}{r^2}
\end{equation*}
Isolando a massa da Terra:
\begin{equation*}
M_T = \frac{g \cdot r^2}{G} \tag{5}
\end{equation*}

Vejam que agora já podemos calcular numericamente a massa da Terra:

\begin{equation*}
M_T = \frac{9,80665\ m/s^2 \cdot (6,37816 \times 10^6\ m)^2}{6,67428 \times 10^{-11}\ Nm^2 / kg^2}\\
\ \\
M_T = \frac{9,80665\ m/s^2 \cdot 4,068092499 \times 10^{13}m^2}{6,67428 \times 10^{-11}\ m/s^2 \cdot kg \cdot m^2/kg^2}\\
\ \\
M_T = 5,977327787 \times 10^{24} kg
\end{equation*}

Uma questão que devemos nos atentar é que a Terra não está aumentando sua massa. Apesar de população mundial ter crescido demasiadamente, chegando à marca de 7,6 bilhões de indivíduos em 2017, que nos leva a uma massa de 680 bilhões de quilogramas, considerando indivíduos com peso de $80\ kg$ aproximadamente, números que jamais foram tão grandes na história da Terra, a população terrestre não altera a massa do planeta, já que para o aumento efetivo de seres humanos há uma redução de outras espécies, tais como animais, árvores, recursos naturais, por exemplo.

Para uma espécie crescer, outros tendem a diminuir. Essa é a condição natural que mantém a balança inalterada. Mas isso não quer dizer que a massa da Terra fica inalterada: ela está diminuindo.

A BBC pediu a um físico da Universidade de Cambridge, o professor Dave Ansell, para elaborar um estudo sobre a massa da Terra, para tentar descobrir se o planeta está ganhando ou perdendo massa.

Ao longo de um ano, a Terra ganha cerca de 40.000 toneladas de poeira espacial, devido à gravidade, funcionando como um verdadeiro aspirador.

Outro fator que influencia no aumento da massa da Terra é o suposto aquecimento global, que acrescenta cerca de 160 toneladas por ano, pois com o aumento da temperatura, também tem o aumento de energia que é adicionado ao sistema.

Entretanto, no centro da Terra, no interior do núcleo, existe um reator nuclear natural que é uma massa de urânio com cerca de 8 km de diâmetro e que causa uma perda de massa de cerca de 16 toneladas por ano.

Já as maiores perdas de massa são as 95.000 toneladas de hidrogênio que escapam da atmosfera a cada ano; as 1.600 toneladas de gás hélio que é muito leve e escapam facilmente.

Levando em conta todos os fatores, a Terra está ficando mais leve cerca de 50.000 toneladas por ano, que é muito pouco.

Link para este artigo:

• http://bit.ly/massa-da-terra
• https://www.obaricentrodamente.com/2012/12/determinando-massa-da-terra.html

Referências:

• http://science.slashdot.org/
• http://www.bbc.co.uk/

Veja mais:

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• Em quanto tempo a luz do Sol atinge a Terra
• Determinando a massa do Sol
• As velocidades da Terra

Softwares utilizados:

• Corel Draw, Inkscape