20/11/2008

A Lei da Gravitação Universal e o campo gravitacional

A Gravitação Universal é uma força fundamental de atração que age entre corpos devido às suas massas. Isaac Newton descobriu essa força e a expressou em uma elegante fórmula, que leva em consideração as massas e a distância entre os corpos.


A Gravitação Universal

Johanes Kepler (1571-1630) foi um grande conhecedor de Matemática e dedicou parte de sua vida à análise sobre as posições dos planetas.

Através de cálculos matemáticos, Kepler fez diversas tentativas para comprovar as órbitas planetárias circulares descritas pelo seu mestre Tycho Brahe, conseguindo somente aproximações. Por fim, chegou às órbitas elípticas e às leis que fizeram avançar a Astronomia.


1ª Lei - Lei das Órbitas

Cada Planeta descreve uma órbita elíptica em torno do Sol, onde este é um dos focos da elipse:



2ª Lei - Lei das Áreas

A reta que liga o Sol ao Planeta, descreve áreas iguais para intervalos de tempo iguais:



3ª Lei - Lei dos Períodos

O quadrado do período do movimento do Planeta ao redor do Sol, dividido pela distância média do Planeta ao Sol elevado ao cubo é uma constante para todos os Planetas:
\begin{equation}
K=\frac{T^2}{R^3}
\end{equation}
ou
\begin{equation}
T^2 = K\ R^3
\end{equation}
onde $T$ é o período de revolução do Planeta ao redor do Sol, $K$ é a constante de proporcionalidade e $R$ é a distância média do Planeta ao Sol.

Apesar das Leis de Kepler permitirem grandes avanços na Astronomia, havia uma pergunta sem resposta: "Que espécie de força o Sol exerce sobre os Planetas obrigando-os a movimentarem-se de acordo com as Leis descobertas por Kepler?"

Newton respondeu essa questão, orientando-se pelas próprias Leia de Kepler e aplicando ao movimento da Lua as três Leis que Newton mesmo descobrira, chegou à Lei da Gravitação Universal, cujo enunciado pode ser expresso da seguinte forma:

"Matéria atrai matéria com uma força diretamente proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas."



\begin{equation}
F=G\cdot \frac{M_1 \times M_2}{d^2}
\end{equation}
onde $F$ é a força em Newtons $(N)$, $M$ é a massa em quilogramas $(Kg)$, $d$ é a distância em metros $(m)$ e $G$ é a constante gravitacional dada em Newtons metro quadrado por quilograma ao quadrado $(Nm^2 / Kg^2)$.

Para transformar uma proporcionalidade em uma igualdade, temos que inserir uma constante de proporcionalidade, que, no caso da gravitação, é a constante $G$, também chamada de Constante de Gravitação Universal.

A constante $G$ tem um valor muito pequeno e não foi descoberto seu valor por Newton, somente algum tempo depois Cavendish, através de um experimento em laboratório, encontrou numericamente seu valor:
\begin{equation}
G = 6,7 \times 10^{-11}\cdot \frac{Nm^2}{Kg^2}
\end{equation}
Sua unidade de medida é dada por:
\begin{equation*}
F=G\cdot \frac{M_1 \times M_2}{d^2}\\
\ \\
[N] = G\cdot \frac{Kg \times Kg}{m^2}\\
\ \\
[G] = \frac{Nm^2}{Kg^2}
\end{equation*}

Exemplo $1$

Duas pessoas de massas respectivamente iguais a $80\ Kg$ e $60\ Kg$ estão $6\ m$ distantes uma da outra. Determinar a força de atração gravitacional entre elas. Sabemos que:
\begin{equation*}
G = 6,7 \times 10^{-11}\cdot \frac{Nm^2}{Kg^2}
\end{equation*}
Aplicando na fórmula da gravitação universal, obtemos:
\begin{equation*}
F=G\cdot \frac{M_1 \times M_2}{d^2}\\
\ \\
F = 6,7 \times 10^{-11}\cdot \frac{80 \times 60}{6^2}\\
\ \\
F = 8,9 \times 10^{-9}\ N
\end{equation*}
Como pode-se notar, a força de atração entre duas pessoas é muito pequena. Vejamos um outro exemplo considerando corpos celestes.

Exemplo $2$

Calcular a força de atração entre a Terra e a Lua. Considere a massa da Terra igual a $M_T = 6,0 \times 10^{24}\ Kg$, a massa da Lua igual a $M_L=7,3\times 10^{22}\ Kg$ e a distância média entre os corpos igual a $d=3,8 \times 10^8\ m$.
\begin{equation*}
F=G\cdot \frac{M_1 \times M_2}{d^2}\\
\ \\
F = 6,7 \times 10^{-11}\cdot \frac{6,0 \times 10^{24} \cdot 7,3 \times 10^{22}}{\left(3,8 \times 10^8\right)^2}\\
\ \\
F = \frac{2,93 \times 10^{37}}{1,444 \times 10^{17}}\\
\ \\
F = 2,03 \times 10^{20}\ N
\end{equation*}
Como podemos notar, a Lei da Gravitação de Newton só tem sentido com corpos de massa muito grande, encontrando uma força de atração de $F = 2,03 \times 10^{20}\ N$, diferentemente da força encontrada no exemplo 1, que é desprezível.

Exemplo $3$

Calcular a força de atração entre o Sol e a Terra. Considere a maada Terra igual a $M_T = 6,0 \times 10^{24}\ Kg$, a massa do Sol igual a $M_S = 2,0 \times 10^{30}\ Kg$ e a distância média entre os corpos igual a $1,5 \times 10^{11}\ m$.
\begin{equation*}
F=G\cdot \frac{M_1 \times M_2}{d^2}\\
\ \\
F = 6,7 \times 10^{-11}\cdot \frac{6,0 \times 10^{24} \cdot 2,0 \times 10^{30}}{\left(1,5 \times 10^{11}\right)^2}\\
\ \\
F = \frac{8,04 \times 10^{44}}{2,25 \times 10^{22}}\\
\ \\F = 3,573 \times 10^{22}\ N
\end{equation*}


O Campo Gravitacional

A intensidade do campo gravitacional em um ponto, a uma certa distância $d$ do centro da Terra, pode ser calculada através de algumas relações:



Pela segunda Lei de Newton, temos que:
\begin{equation}
F = m \cdot g
\end{equation}
E pela Lei da Gravitação Universal:
\begin{equation}
F = G\cdot \frac{M \times m}{d^2}
\end{equation}
Substituindo $(5)$ em $(6)$, temos:
\begin{equation*}
m\cdot g = G\cdot \frac{M \times m}{d^2}\\
\ \\
g = G \cdot \frac{M \times m}{d^2 \times m}\\
\ \\
g = \frac{G \times M}{d^2}
\end{equation*}
A aceleração da gravidade em um ponto é a Força $G$ multiplicada pela massa do Planeta dividido pelo quadrado da distância.

Mas $d=r+h$, então:
\begin{equation}
g = \frac{G \times M}{(r+h)^2}
\end{equation}
Note que $g$ depende de uma altura $h$ e do raio $r$ do planeta. Se a altura $h$ tender a zero, a distância será o próprio raio $r$ do planeta. Assim:
\begin{equation}
g_0 = \frac{G \times M}{r^2}
\end{equation}
onde $g_0$ é a aceleração da gravidade na superfície do planeta.

Ainda assim dependemos da massa $M$ do planeta e da constante $G$. Se dividirmos $(7)$ por $(8)$, obtemos:
\begin{equation*}
\frac{g}{g_0} = \frac{\displaystyle \frac{G\times M}{(r+h)^2}}{\displaystyle \frac{G\times M}{r^2}}\\
\ \\
\frac{g}{g_0} = \frac{G\times M}{(r+h)^2} \cdot \frac{r^2}{G \times M}\\
\ \\
\frac{g}{g_0} = \frac{r^2}{(r+h)^2}\\
\ \\
g = \frac{g_0 \times r^2}{(r+h)^2}
\end{equation*}
Com esta equação não dependemos da massa do planeta, somente da aceleração na superfície.

Exemplo $4$ 

A aceleração da superfície da Lua é de aproximadamente $g_L = 2\ m/s^2$ e na superfície da Terra é de aproximadamente $g_T = 10\ m/s^2$. Sabendo que a razão entre os raios da Lea e da Terra é de $1/4$, vamos calcular a relação entre as massas.

Temos que $g_L= 2\ m/s^2$, $g_T = 10\ m/s^2$ e $R_t = 4\ R_L$. Assim:
\begin{equation*}
\frac{g_L}{g_T} = \frac{\displaystyle \frac{G\times M_L}{R_L^2}}{\displaystyle \frac{G\times M_T}{R_T^2}}\\
\ \\
\frac{g_L}{g_T} = \frac{M_L \times R_T^2}{M_T \times R_L^2}\\
\ \\
\frac{2}{10} = \frac{(4R_L)^2 \times M_L}{R_L^2 \times M_T}\\
\ \\
\frac{1}{5} = \frac{16 R_L^2 \times M_L}{R_L^2 \times M_T}\\
\ \\
\frac{1}{5} = \frac{16 M_L}{M_T}\\
\ \\
\frac{M_L}{M_T} = \frac{1}{80}
\end{equation*}
Concluímos que a massa da Terra é cerca de $80$ vezes a massa da Lua.

Veja mais:

As Quatro Forças Básicas da Natureza
A Gravitação Universal Além do Sistema Solar
As limitações da mecânica newtoniana e a teoria da relatividade

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28 comentários:

  1. muito obrigada!!!!!!!!1Não te conheço mas mesmo assim eu te amo muitão!!!!!!!!Você salvou a minha vida........

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  2. Esse post foi, na verdade, uma mini-aula que tive que fazer na faculdade, foi muito bacana! Dei só uma ajeitadinha para colocá-lo aqui! Ainda bem que foi útil para você!!

    Até +

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  3. Cara, muito legal isso, adoro astrofísica! Obrigado pela matéria :)

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  4. Bem legal mesmo!

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  5. SO uma pergunta
    como que newton
    conseguiu chegar a essa equaçao
    F=G.M.m/d²
    tem demostraçao isso?

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  6. Olá amigo,
    Não sei exatamente como Newton chegou à fórmula. As informações que nos chegam já foram remodeladas em relação à publicação original. O que nos sobra muitas vezes são as fórmulas prontas. Procurei na net mas também não encontrei uma demonstração.
    Um abraço.

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    Respostas
    1. É só combinar a segunda de Newton aplicada ao movimento circular com a terceira lei de Kepler.É claro que é uma demonstração simplificada, uma vez que a órbita é uma elipse bem próxima de um circunferência.

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  7. Obrigado
    por preucurar
    em mais otimo blog
    curto muito principalmente
    os post de demostraçoes

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  8. Obrigado pelo comentári e elgio. Volte sempre. Um abraço.

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  9. Um achei num site aqui uma coisa interessante
    vo da uma lida aque
    a alias como fasso pra
    deixar de ser anonimo?

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  10. Olá amigo. coloque o link que vc achou aqui, ou envie-me um e-mail.

    Para deixar de comentar como anônimo, quando for comentar, escolha na caixa de "selecionar perfil", uma das contas disponíveis. Eu uso a conta do google. Quando comentar aparecerá seu nome e foto.

    Aguardo o link.

    Um abraço.

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  11. http://astro.if.ufrgs.br/newton/index.htm

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  12. final mente achei a demostraçao mais Completa
    para a lei da gravitaçao universal ta ae o link
    http://www.fisica.net/mecanicaclassica/gravitacao.pdf

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  13. Legal Dedinei, agradeço por compartilhar comigo. Vou dar uma lida com calma no material.

    Um abraço!

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  14. foi muito legal mais vc n poderia fazer um assunto mais facil este pra quem esta começando e muito difil mais e legal muito obrigado pq vc tentou ajudar.

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  15. Acabei de passar para o primeiro ano,mas,na oitava serie eu ja estudava fisica do 1,2 e 3 ano sozinho.Os assuntos que eu mais gosto sao:Eletrostatica,eletromagnetismo,induçao eletromagnetica.E partes da fisica moderna como Relatividade Restrita e noçoes de Generalisada,e Mecanica Quantica em geral.Ah...gostei do site,apesar de ja saber.-Alex Ferreira A.>PE-

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  16. Cara, você é muito inteligente. Me ajudou na recuperação de Física, porque meu professor é um doido neurótico que só faz dar patada ! Muito Obrigada ><'

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  17. obrigado o blog muito legal e interessante

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  18. mano gostei mais iss não me ajudou muito formulas pra achar peso,massa e gravidade ve se vc acha mano pf

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    Respostas
    1. Olá. Não entendi muito bem o que você procura, mas dê uma olhada nesse artigo:

      http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2012/12/determinando-massa-da-terra.html

      É isso?

      Excluir
  19. Gostei do site mas ta faltando algumas formulazinhas ai mas tudo bem :D

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  20. Gostei muito vc salvou minha vida muitoo obrigado

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  21. Olá.
    Muito obrigado Mano vc me ajudou muito com esta matéria pk eu não conseguia tirar nem se quer um caso de Lei da Gravitação Universal e o Campo Gravitacional, Valeu mesmo Mano obrigado......................

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  22. Muito simples de entender com esse artigo, muito bom! Resumão ótimo! Parabéns!!!

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