A Lei da Gravitação Universal e o campo gravitacional

A Gravitação Universal é uma força fundamental de atração que age entre corpos devido às suas massas. Isaac Newton descobriu essa força e a expressou em uma elegante fórmula, que leva em consideração as massas e a distância entre os corpos.

A Gravitação Universal

Johanes Kepler (1571-1630) foi um grande conhecedor de Matemática e dedicou parte de sua vida à análise sobre as posições dos planetas.

Através de cálculos matemáticos, Kepler fez diversas tentativas para comprovar as órbitas planetárias circulares descritas pelo seu mestre Tycho Brahe, conseguindo somente aproximações. Por fim, chegou às órbitas elípticas e às leis que fizeram avançar a Astronomia.

1ª Lei - Lei das Órbitas

Cada Planeta descreve uma órbita elíptica em torno do Sol, onde este é um dos focos da elipse:

2ª Lei - Lei das Áreas

A reta que liga o Sol ao Planeta, descreve áreas iguais para intervalos de tempo iguais:

3ª Lei - Lei dos Períodos

O quadrado do período do movimento do Planeta ao redor do Sol, dividido pela distância média do Planeta ao Sol elevado ao cubo é uma constante para todos os Planetas:
\begin{equation}
K=\frac{T^2}{R^3}
\end{equation}
ou
\begin{equation}
T^2 = K\ R^3
\end{equation}
onde $T$ é o período de revolução do Planeta ao redor do Sol, $K$ é a constante de proporcionalidade e $R$ é a distância média do Planeta ao Sol.

Apesar das Leis de Kepler permitirem grandes avanços na Astronomia, havia uma pergunta sem resposta: "Que espécie de força o Sol exerce sobre os Planetas obrigando-os a movimentarem-se de acordo com as Leis descobertas por Kepler?"

Newton respondeu essa questão, orientando-se pelas próprias Leia de Kepler e aplicando ao movimento da Lua as três Leis que Newton mesmo descobrira, chegou à Lei da Gravitação Universal, cujo enunciado pode ser expresso da seguinte forma:

"Matéria atrai matéria com uma força diretamente proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas."

\begin{equation}
F=G\cdot \frac{M_1 \times M_2}{d^2}
\end{equation}
onde $F$ é a força em Newtons $(N)$, $M$ é a massa em quilogramas $(Kg)$, $d$ é a distância em metros $(m)$ e $G$ é a constante gravitacional dada em Newtons metro quadrado por quilograma ao quadrado $(Nm^2 / Kg^2)$.

Para transformar uma proporcionalidade em uma igualdade, temos que inserir uma constante de proporcionalidade, que, no caso da gravitação, é a constante $G$, também chamada de Constante de Gravitação Universal.

A constante $G$ tem um valor muito pequeno e não foi descoberto seu valor por Newton, somente algum tempo depois Cavendish, através de um experimento em laboratório, encontrou numericamente seu valor:
\begin{equation}
G = 6,7 \times 10^{-11}\cdot \frac{Nm^2}{Kg^2}
\end{equation}
Sua unidade de medida é dada por:
\begin{equation*}
F=G\cdot \frac{M_1 \times M_2}{d^2}\\
\ \\
[N] = G\cdot \frac{Kg \times Kg}{m^2}\\
\ \\
[G] = \frac{Nm^2}{Kg^2}
\end{equation*}

Exemplo $1$

Duas pessoas de massas respectivamente iguais a $80\ Kg$ e $60\ Kg$ estão $6\ m$ distantes uma da outra. Determinar a força de atração gravitacional entre elas. Sabemos que:
\begin{equation*}
G = 6,7 \times 10^{-11}\cdot \frac{Nm^2}{Kg^2}
\end{equation*}
Aplicando na fórmula da gravitação universal, obtemos:
\begin{equation*}
F=G\cdot \frac{M_1 \times M_2}{d^2}\\
\ \\
F = 6,7 \times 10^{-11}\cdot \frac{80 \times 60}{6^2}\\
\ \\
F = 8,9 \times 10^{-9}\ N
\end{equation*}
Como pode-se notar, a força de atração entre duas pessoas é muito pequena. Vejamos um outro exemplo considerando corpos celestes.

Exemplo $2$

Calcular a força de atração entre a Terra e a Lua. Considere a massa da Terra igual a $M_T = 6,0 \times 10^{24}\ Kg$, a massa da Lua igual a $M_L=7,3\times 10^{22}\ Kg$ e a distância média entre os corpos igual a $d=3,8 \times 10^8\ m$.
\begin{equation*}
F=G\cdot \frac{M_1 \times M_2}{d^2}\\
\ \\
F = 6,7 \times 10^{-11}\cdot \frac{6,0 \times 10^{24} \cdot 7,3 \times 10^{22}}{\left(3,8 \times 10^8\right)^2}\\
\ \\
F = \frac{2,93 \times 10^{37}}{1,444 \times 10^{17}}\\
\ \\
F = 2,03 \times 10^{20}\ N
\end{equation*}
Como podemos notar, a Lei da Gravitação de Newton só tem sentido com corpos de massa muito grande, encontrando uma força de atração de $F = 2,03 \times 10^{20}\ N$, diferentemente da força encontrada no exemplo 1, que é desprezível.

Exemplo $3$

Calcular a força de atração entre o Sol e a Terra. Considere a maada Terra igual a $M_T = 6,0 \times 10^{24}\ Kg$, a massa do Sol igual a $M_S = 2,0 \times 10^{30}\ Kg$ e a distância média entre os corpos igual a $1,5 \times 10^{11}\ m$.
\begin{equation*}
F=G\cdot \frac{M_1 \times M_2}{d^2}\\
\ \\
F = 6,7 \times 10^{-11}\cdot \frac{6,0 \times 10^{24} \cdot 2,0 \times 10^{30}}{\left(1,5 \times 10^{11}\right)^2}\\
\ \\
F = \frac{8,04 \times 10^{44}}{2,25 \times 10^{22}}\\
\ \\F = 3,573 \times 10^{22}\ N
\end{equation*}

O Campo Gravitacional

A intensidade do campo gravitacional em um ponto, a uma certa distância $d$ do centro da Terra, pode ser calculada através de algumas relações:

Pela segunda Lei de Newton, temos que:
\begin{equation}
F = m \cdot g
\end{equation}
E pela Lei da Gravitação Universal:
\begin{equation}
F = G\cdot \frac{M \times m}{d^2}
\end{equation}
Substituindo $(5)$ em $(6)$, temos:
\begin{equation*}
m\cdot g = G\cdot \frac{M \times m}{d^2}\\
\ \\
g = G \cdot \frac{M \times m}{d^2 \times m}\\
\ \\
g = \frac{G \times M}{d^2}
\end{equation*}
A aceleração da gravidade em um ponto é a Força $G$ multiplicada pela massa do Planeta dividido pelo quadrado da distância.

Mas $d=r+h$, então:
\begin{equation}
g = \frac{G \times M}{(r+h)^2}
\end{equation}
Note que $g$ depende de uma altura $h$ e do raio $r$ do planeta. Se a altura $h$ tender a zero, a distância será o próprio raio $r$ do planeta. Assim:
\begin{equation}
g_0 = \frac{G \times M}{r^2}
\end{equation}
onde $g_0$ é a aceleração da gravidade na superfície do planeta.

Ainda assim dependemos da massa $M$ do planeta e da constante $G$. Se dividirmos $(7)$ por $(8)$, obtemos:
\begin{equation*}
\frac{g}{g_0} = \frac{\displaystyle \frac{G\times M}{(r+h)^2}}{\displaystyle \frac{G\times M}{r^2}}\\
\ \\
\frac{g}{g_0} = \frac{G\times M}{(r+h)^2} \cdot \frac{r^2}{G \times M}\\
\ \\
\frac{g}{g_0} = \frac{r^2}{(r+h)^2}\\
\ \\
g = \frac{g_0 \times r^2}{(r+h)^2}
\end{equation*}
Com esta equação não dependemos da massa do planeta, somente da aceleração na superfície.

Exemplo $4$ 

A aceleração da superfície da Lua é de aproximadamente $g_L = 2\ m/s^2$ e na superfície da Terra é de aproximadamente $g_T = 10\ m/s^2$. Sabendo que a razão entre os raios da Lea e da Terra é de $1/4$, vamos calcular a relação entre as massas.

Temos que $g_L= 2\ m/s^2$, $g_T = 10\ m/s^2$ e $R_t = 4\ R_L$. Assim:
\begin{equation*}
\frac{g_L}{g_T} = \frac{\displaystyle \frac{G\times M_L}{R_L^2}}{\displaystyle \frac{G\times M_T}{R_T^2}}\\
\ \\
\frac{g_L}{g_T} = \frac{M_L \times R_T^2}{M_T \times R_L^2}\\
\ \\
\frac{2}{10} = \frac{(4R_L)^2 \times M_L}{R_L^2 \times M_T}\\
\ \\
\frac{1}{5} = \frac{16 R_L^2 \times M_L}{R_L^2 \times M_T}\\
\ \\
\frac{1}{5} = \frac{16 M_L}{M_T}\\
\ \\
\frac{M_L}{M_T} = \frac{1}{80}
\end{equation*}
Concluímos que a massa da Terra é cerca de $80$ vezes a massa da Lua.

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