A área de um triângulo é uma das primeiras propriedades da Geometria que aprendemos na Matemática. Embora a fórmula:
$$\text{Área} = \frac{\text{base} \times \text{altura}}{2}
$$
seja amplamente conhecida, existem outras formas elegantes e matematicamente interessantes de calcular a área de um triângulo, especialmente utilizando as coordenadas dos vértices no plano cartesiano. Um dessas formas envolve o uso de determinantes.
Vamos considerar um triângulo no plano cartesiano cujos vértices são dados pelas coordenadas $A(x_A,y_A)$, $B(x_B,y_B)$ e $C(x_C,y_C)$:
Observando a imagem acima, podemos decompor a área do triângulo $ABC$ na soma de outros dois triângulos:
$$A_{\triangle\ ABC} = A_{\triangle\ ABE} + A_{\triangle\ AEC}
$$
Utilizando a fórmula tradicional para a área do triângulo, temos que:
$$A_\triangle\ ABE = \frac{AE \cdot BD}{2}
$$
e
$$
A_{\triangle\ AEC} = \frac{AE \cdot CF}{2}
$$
$$A_{\triangle\ AEC} = \frac{AE \cdot CF}{2}
$$
Cálculo da abscissa de $E$:
Para encontrarmos a coordenada da abscissa de $E$, vamos usar semelhança de triângulos. Temos que os triângulos $CEF$ e $CBG$ são semelhantes, assim:
\frac{EF}{BG} = \frac{CF}{CG}\\
\ \\
\frac{x_C-x_E}{x_C-x_B} = \frac{y_A-y_C}{y_B-y_C}\\
\ \\
x_C-x_E = \frac{(x_C-x_B)(y_A-y_C)}{y_B-y_C}\\
\ \\
x_E = x_C - \frac{(x_C-x_B)(y_A-y_C)}{y_B-y_C}
$$
Cálculo do segmento $AE$:
O comprimento do segmento $AE$ é dado por:
$$AE = x_E - x_A
$$
Substituindo a coordenada da abscissa de $E$, encontramos:
$$AE = x_C -\frac{(x_C-x_B)(y_A-y_C)}{y_B-y_C} - x_A\\
\ \\
AE = x_C-x_A - \frac{(x_C-x_B)(y_A-y_C)}{y_B-y_C}\\
\ \\
AE = \frac{(x_C-x_A)(y_B-y_C) - (x_C-x_B)(y_A-y_C)}{y_B-y_C}
$$
Cálculo do triângulo $ABC$:
Como a área do triângulo $ABC$ ´igual à soma dos triângulos $ABE$ e $AEC$, temos:
$$A_{\triangle\ ABC} = \frac{AE \cdot BD}{2} + \frac{AE \cdot CF}{2}\\
\ \\
A_{\triangle\ ABC} = \frac{AE(BD + CF)}{2}
$$
Se observarmos a figura, podemos ver que:
$$BD + CF = CG = y_B - y_C
$$
Assim:
$$A_{\triangle\ ABC} = \frac{AE \cdot CG}{2}\\
\ \\
A_{\triangle\ ABC} = \frac{ \displaystyle \frac{(x_C-x_A)(y_B-y_C) - (x_C-x_B)(y_A-y_C)}{y_B-y_C} \cdot (y_B-y_C)}{2}\\
\ \\
A_{\triangle\ ABC} = \frac{(x_C-x_A)(y_B-y_C) - (x_C-x_B)(y_A-y_C)}{2}\\
\ \\
A_{\triangle\ ABC} = \frac{x_C y_B - x_C y_C - x_A y_B + x_A y_C - (x_C y_A - x_C y_C - x_B y_A + x_B y_C)}{2}\\
\ \\
A_{\triangle\ ABC} = \frac{x_C y_B - x_A y_B + x_A y_C - x_C y_A - x_B y_C + x_B y_A}{2}\\
\ \\
A_{\triangle\ ABC} = \frac{x_Ay_C + x_By_A + x_Cy_B - x_Ay_B - x_By_C - x_Cy_A}{2}
$$
Quando comparamos a fórmula acima com o determinante da matriz $3\times 3$, onde uma das colunas são as coordenadas das abscissas de um triângulo, a outra são as coordenadas das ordenadas e a outra é preenchida com 1:
$$D =
\begin{vmatrix}
x_A & y_A & 1\\
x_B & y_B & 1\\
x_C & y_C & 1
\end{vmatrix}
=
x_Ay_B + x_By_C + x_Cy_A - x_Ay_C- x_By_A - x_Cy_B
$$
podemos observar algumas semelhanças: primeiro que as parcelas são iguais, mas com os sinais trocados e a fórmula da área possui um denominador igual a 2.
Assim, podemos escrever a fórmula da área de um triângulo usando o módulo do determinante, dividido por dois:
$$A_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot |D|
$$
onde:
$$D =
\begin{vmatrix}
x_A & y_A & 1\\
x_B & y_B & 1\\
x_C & y_C & 1
\end{vmatrix}
$$
Exemplo 1:
Calcular a área do triângulo de vértices $A(4,2)$, $B(-3,-1)$ e $C(-5,0)$.
Primeiramente vamos calcular o determinante:
$$D =
\begin{vmatrix}
4 & 2 & 1\\
-3 & -1 &1\\
-5 & 0 & 1
\end{vmatrix}
$$
Podemos utilizar a Regra de Sarrus para calcular o determinante:
$$D =
\begin{vmatrix}
4 & 2 & 1\\
-3 & -1 &1\\
-5 & 0 & 1
\end{vmatrix}
\begin{matrix}
4 & 2\\
-3 & -1\\
-5 & 0
\end{matrix}
\\
\ \\
D = -4 -10 - 5 + 6\\
\ \\
D = -13
$$
Agora, aplicamos na fórmula para a área do triângulo:
$$A = \frac{1}{2} \cdot |D|\\
\ \\
A = \frac{1}{2} \cdot |-13|\\
\ \\
A = \frac{13}{2}
$$
Assim, a área do triângulo possui $\displaystyle \frac{13}{2}$ unidades de área.
Exemplo 2:
Calcular a área do triângulo de vértices $A(2,-3)$, $B(3,2)$ e $C(-2,5)$.
Calculamos o determinante:
$$D =
\begin{vmatrix}
2 & -3 & 1\\
3 & 2 & 1\\
-2 & 5 & 1
\end{vmatrix}
\begin{matrix}
2 & -3\\
3 & 2 \\
-2 & 5
\end{matrix}
\\
\ \\
D = 4 + 6 + 15 + 4 -10 + 9\\
\ \\
D = 28
$$
Aplicamos na fórmula par aa área do triângulo:
$$A = \frac{1}{2} \cdot |D|\\
\ \\
A = \frac{1}{2} \cdot 28\\
\ \\
A = 14
$$
Assim, a área do triângulo possui 14 unidades de área.
Referências
- Matemática para o Ensino Médio V3 - Katia Stocco Smole & Maria Ignez Diniz
Veja mais:
[full-width]
Postar um comentário