Como determinar o ângulo entre duas retas utilizando suas equações reduzidas

Veremos neste artigo como determinar o ângulo entre duas retas a partir de suas equações reduzidas. Para isso, utilizaremos conceitos fundamentais, como o coeficiente angular e a fórmula da tangente da diferença entre dois ângulos, encontrando uma fórmula prática que facilita o cálculo. 

Sejam duas retas concorrentes em um ponto $P$, cujas equações reduzidas são iguais a:

$$
\begin{cases}
r:\ y = a_1x+b_1\\
s:\ y = a_2x+b_2
\end{cases}
$$

Podemos representar graficamente como:

A figura representa o ângulo $\theta$ definido pelas retas $r$ e $s$, dado por:

$$
\theta = \alpha - \beta
$$

Para encontrar uma fórmula que expresse o ângulo $\theta$ em função de $\alpha$ e $\beta$, podemos utilizar a fórmula da tangente da diferença entre arcos, dada por:

$$
\text{tg}(\theta) = \text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg}(\alpha) - \text{tg}(\beta)}{1 + \text{tg}(\alpha)\ \text{tg}(\beta)}
$$

A escolha de utilizar a fórmula da tangente da diferença não é mero acaso. Tendo em vista que utilizaremos as equações reduzidas das retas, os coeficientes $a_1$ e $a_2$ representam os coeficientes angulares das retas, ou seja, suas inclinações, que é o mesmo que calcular as tangentes dos ângulos $\alpha$ e $\beta$ formados pelas retas e o eixo dos $x$. Assim, temos que:

$$
\begin{cases}
\text{tg}(\alpha) = a_1\\
\text{tg}(\beta) = a_2
\end{cases}
$$
Substituindo na fórmula da tangente da diferença, obtemos:
$$
\text{tg}(\theta) = \frac{a_1 - a_2}{1 + a_1\cdot a_2}
$$

Particularmente, se as retas forem paralelas ou coincidentes, elas determinam um ângulo nulo, uma vez que, se $a_1=a_2$, então $\text{tg}(\theta) = 0$ e, assim $\theta =0$. Por outro lado, se as retas forem perpendiculares, teremos $a_1 \cdot a_2 = -1$ e, consequentemente, o valor de $\text{tg}(\theta)$ não existe, pois ocorre uma divisão por zero.

Exemplo:

Dadas as retas $r:\ y=2x+1$ e $\displaystyle s:\ y=\frac{x}{3}-1$, vamos determinar um dos ângulos entre elas.

O coeficiente angular da reta $r$ vale $2$ e o coeficiente angular da reta $s$ vale $\displaystyle \frac{1}{3}$. Assim:

$$
\text{tg}(\theta) = \frac{\displaystyle 2 - \frac{1}{3}}{\displaystyle 1 + 2 \cdot \frac{1}{3}}\\
\ \\
\displaystyle \text{tg}(\theta) = \frac{\displaystyle \frac{5}{3}}{\displaystyle \frac{5}{3}}\\
\ \\
\text{tg}(\theta) = \frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}\\
\ \\
\text{tg}(\theta) = 1
$$

O arco cuja tangente vale $1$ é o arco de $45°$, ou $\displaystyle \frac{\pi}{4}$.

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