29/11/2008

Método de Heron para Aproximação de Raiz Quadrada de um Número n

Herão de Alexandria (ou Heron) foi um matemático de destaque com muita controvérsia sobre a época em que viveu, havendo estimativas que variam de 150 a.C. a 250 d.C. Seus trabalhos de Matemática e Física são numerosos e variados, sendo considerado um enciclopedista. Em seu Livro A Métrica, encontra-se o que conhecemos hoje como o método de Heron de aproximar a raiz quadrada de um número inteiro não-quadrado perfeito. Tal método é hoje utilizado com frequência por computadores e permite sucessivas aproximações.

Método de Heron para calcular raiz quadrada

Dada a raiz quadrada de um número $n$, tomamos $a_0$ como uma aproximação inicial. Desta forma, temos:

$$

a_1 = \frac{\displaystyle a_0 + \frac{n}{a_0}}{2}

$$

E para uma próxima aproximação, fazemos:

$$

a_2 = \frac{\displaystyle a_1 + \frac{n}{a_1}}{2}

$$

E para melhorar a aproximação, fazemos iterações sucessivas:

$$

a_k = \frac{\displaystyle a_{k-1} + \frac{n}{a_{k-1}}}{2}

$$

Onde, para cada iteração $k$, para todo $k=1,2,3,\cdots$, encontramos uma raiz $a_k$ mais aproximada da raiz de $n$.


Surge então a questão: Até quando devemos continuar com essas iterações?


Se você escrever um código para algum programa de computador, deve evitar que o programa entre numa rotina de cálculos infinitos. Uma forma de resolver é inicialmente impor limites, não para as iterações, mas para o erro da aproximação. Ou seja, se desejarmos obter uma aproximação de uma raiz com pelo menos 5 casas decimais corretas, com o erro $E < 10^{–5}$ , por exemplo, devemos impor uma precisão $\varepsilon = 10^{–5}$ e devemos, a cada iteração, fazer o teste da raiz aproximada para checar se satisfaz a precisão $\varepsilon$ imposta inicialmente. O erro é dado por $E = |(a_k)^2 - n|$. Se o valor absoluto da subtração do quadrado da raiz aproximada $a_k$ por $n$ for menor que a precisão $\varepsilon$, então tomamos $a_k$ como raiz aproximada.


Exemplo 1:

Vamos aproximar $\sqrt{3}$ utilizando o método de Heron, com uma precisão $\varepsilon = 1 \times 10^{-4}$.


Como a raiz quadrada de $3$ está entre $1$ e $2$, podemos tomar como aproximação inicial a média aritmética entre esses números. Assim, $a_0 = 1,5$.


Antes de prosseguir, fazemos o teste do erro da aproximação inicial $a_0$. Como $|1,5^2 - 3| > 10^{-4}$, continuamos para a próxima iteração.


Para $k=1$, fazemos:

$$

a_1 = \frac{\displaystyle 1,5 + \frac{3}{1,5}}{2}\\

\ \\

a_1 = 1,75

$$

Como $|1,75^2 - 3| > 10^{-4}$, continuamos para a próxima iteração.


Para $k=2$, fazemos:

$$

a_2 = \frac{\displaystyle 1,75 + \frac{3}{1,75}}{2}\\

\ \\

a_2 = 1,732142857

$$

Como $|1,732142857^2 - 3| > 10^{-4}$, continuamos para a próxima iteração.


Para $k=3$, fazemos:

$$

a_3 = \frac{\displaystyle 1,732142857 + \frac{3}{1,732142857}}{2}\\

\ \\

a_3 = 1,732058100147

$$

Como $|1,732058100147^2 - 3| < 10^{-4}$, tomamos $a_3$ como uma raiz aproximada de $\sqrt{3}$, com precisão até a sétima casa decimal.


Planilhas para download:

Você pode fazer o download de uma planilha com o algoritmo do método de Heron em formado Excel da Microsoft ou do Google Planilhas:

Microsoft Excel
Google Planilhas

As planilhas são como na imagem abaixo:

planilha-metodo-de-heron-para-calcular-raiz-quadrada-de-um-numero

Nesta planilha, você insere o número que deseja encontrar a raiz quadrada, entra com uma aproximação inicial e uma precisão desejada. Os cálculos são efetuados automaticamente através das fórmulas previamente inseridas nas células.

Quando o algoritmo encontrar uma aproximação de acordo com a precisão desejada, os cálculos param e a mensagem "Aproximação encontrada" é exibida. No caso da imagem acima, foi encontrada uma aproximação da raiz quadrada de três, com uma precisão de dez casas decimais, com apenas 4 iterações.


Referências:

  • Introdução à História da Matemática - Howard Eves

Links para este artigo:


Veja mais:

COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: Método de Heron para Aproximação de Raiz Quadrada de um Número n. Publicado por Kleber Kilhian em 29/11/2008. URL: . Leia os Termos de uso.


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10 comentários:

  1. Pocha excelente este site! Parabéns!!
    Me ajudou bastante no meu trabalho!! Já curti a página de vcs no Facebook!!

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  2. Olá amigo, obrigado pela vista. Fico feliz em saber que este artigo lhe ajudou. Volte sempre!

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  3. Excelente post! É realmente um método muito simples se comparado ao sua capacidade de obter uma aproximação tão confiável (como no caso do exemplo).
    Eu tentei aqui aplicando o método a √5,muito legal.
    Até mais!

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  4. Kleber,
    gostei muito do seu site, parabéns! Tem muita informação pertinente, especialmente para matemáticos e físicos. Sou professora de Matemática e apresentei o método de Herão para meus alunos e claro, citei seu cite. Entretanto, para este assunto, gostaria de saber qual é a fonte que você utilizou. Sei que procuras fazer isso, mas têm alguns arquivos, como este, que não tem fonte.
    Muito obrigada, antecipadamente.

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  5. Olá Juliana, obrigado por seus elogios. Essa faz parte das primeiras postagens do blog e não tinha tanto rigor quanto tenho hoje. Se me lembro bem, fiz a postagem baseado em notas de aula. Mas para não ficar tão vago e ter uma referência confiável, você pode encontrar este método no livro Introdução à História da Matemática de Howard Eves, página 205, editora Unicamp.

    Como foi a reação dos alunos ao saber que um método iterativo como este foi desenvolvido em cerca de 2.000 anos atrás?

    Um abraço!

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  6. Anônimo1/5/13 09:20

    Muito obrigada Kleber.
    Eu sou suspeita em falar, estou dando aula de Cálculo Numérico (CN) e apresentar esse método que utiliza a ideia de iterações sucessivas o qual precedeu aos métodos que estudamos em CN, como por exemplo, Método de Newton (1600 anos depois), foi genial!
    Muito obrigada, mais uma vez pela fonte informada e parabéns pelo belo trabalho que estás fazendo.
    Um abraço!

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  7. Olá Juliana,

    Cálculo numérico é muito bom, ficava maluco naquelas aulas, com o polinômio de Lagrange, série de Taylor... mas gostava muito. Parabéns por escolher essas aulas! Tem outros assuntos aqui no blog. Qualquer dia desses vou escrever sobre o operador diferenças divididas.

    Um abraço!

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  8. Qual é a diferença entre o método de Herão e o método Babilônico para aproximação de raízes quadradas?
    olhei os dois e aparentemente é a mesma coisa.
    Marcelo

    ps. Parabéns pelo site

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  9. Olá Marcelo (Vicente), na verdade o método é o mesmo, apresentado de formas diferentes. A prioridade é dos babilônios já este método aparece quase 2.000 anos antes de Heron!

    Um abraço!

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  10. muito bom esta postagem, não me lembrava direito como era o procedimento. Parabéns e sucesso.

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