27/05/2011

A Equação da Hipérbole

O estudo das seções cônicas teve início na Grécia Antiga, uma consequência da busca pela solução do problema da duplicação do cubo.

Apolônio de Perga (262a.C. - 190a.C.), em sua obras As Cônicas, composta de 8 livros, desenvolveu generalizações, aplicando novos métodos, descobrindo novos teoremas e praticamente exauriu as conclusões puramente geométricas envolvidas nas seções cônicas.

Apolônio descobriu a possibilidade de obter cônicas a partir de qualquer seção em qualquer cone. Mas para obter a hipérbole, teve que considerar dois cones circular retos ligados pelo vértice, onde as duas folhas da hipérbole formam a mesma curva.

A equação da hipérbole

Definição:

A hipérbole é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja diferença das distâncias, em valores absolutos, a dois pontos fixos desse plano é constante.

Sejam dois pontos distintos $F_1$ e $F_2$ de um plano $\pi$, cuja distância $d(F_1, F_2)=2c$. Seja um número real $a$ tal que $0 < 2a <2c$.

A hipérbole é o conjunto de todos os pontos $P$ do plano, tais que:
\begin{equation*}
\left | d(P,F_1) - d(P,F_2) \right|=2a \tag{1}
\end{equation*}
ou
\begin{equation*}
\left| \left| \overrightarrow{PF_1}\right|-\left| \overrightarrow{PF_2}\right| \right| \tag{2}
\end{equation*}
A equação da hipérbole


Como podemos ver, a hipérbole é uma curva com dois ramos. Analisando a equação $(2)$, podemos ver que um ponto $P$ está na hipérbole se, e somente se:
\begin{equation*}
d(P,F_1) - d(P,F_2) = \pm 2a \tag{3}
\end{equation*}
Quando $P$ está no ramo da direita, a diferença é igual a $+2a$:
\begin{equation*}
d(P,F_1) - d(P,F_2) = +2a
\end{equation*}
pois $PF_1 > PF_2$.

E quando $P$ estiver no ramo da esquerda, a diferença é $-2a$:
\begin{equation*}
d(P,F_2) - d(P,F_1) = +2a
\end{equation*}
pois $PF_2 > PF_1$.

Considerando a reta que passa por $F_1$ e $F_2$, as intersecções com a hipérbole serão os pontos $A_1$ e $A_2$. Traçamos uma perpendicular a eta reta, passando pelo centro $C$ do segmento $\overline{F_1 F_2}$.

Eixos de simetria da hipérbole

A hipérbole é uma curva simétrica em relação às estas duas retas, como também ao ponto $C$. Se $P_1$ é um ponto da hipérbole, existem outros pontos $P_2$, $P_3$ e $P_4$ tais que, $P_2$ é o simétrico de $P_1$ em relação à horizontal, e $P_3$ é o simétrico de $P_1$ em relação à reta vertical, e $P_4$ é o simétrico a $P_1$ em relação ao ponto $C$. Pela simetria, concluímos que:
\begin{equation*}
d(A_1, F_1) = d(A_2, F_2)
\end{equation*}

Elementos da hipérbole

Os principais elementos de uma hipérbole estão relacionados abaixo, considerando a figura abaixo:

Elementos da hipérbole


Focos: $F_1$ e $F_2$.

Distância focal: é a distância $2c$ entre os focos, onde $c=\overline{CF_1}=\overline{CF_2}$.

Centro: é o ponto médio $C$ do segmento $\overline{F_1F_2}$.

Eixo real ou transverso: é o segmento $\overline{A_1 A_2}$, de comprimento $2a$, onde $a=\overline{CA_1}=\overline{CA_2}$.

Eixo imaginário ou conjugado: é o segmento $\overline{B_1B_2}$, de comprimento $2b$. O valor de $b$ é definido pela relação pitagórica:
\begin{equation*}
c^2=a^2+b^2 \tag{4}
\end{equation*}
onde $a$, $b$ e $c$ são as medidas dos lados do triângulo $CA_2M$.

Assíntotas: são as retas $r$ e $s$ das quais a hipérbole se aproxima cada vez mais à medida que os pontos se afastam dos focos. Esta aproximação é contínua e lenta de forma que a tendência da hipérbole é tangenciar suas assíntotas no infinito.

Considerando uma circunferência de raio $\overline{CF_1}$ ou $\overline{CF_2}$, cujo centro $C$ é o mesmo centro da hipérbole, traçamos pelos vértices $A_1$ e $A_2$ cordas perpendiculares ao segmento $\overline{F_1F_2}$ e marcamos as intersecções com a circunferência. Esses pontos são os vértices do retângulo $MNPQ$ inscrito à circunferência. Esse retângulo tem dimensões $2a$ e $2b$.

As retas $r$ e $s$ que contém as diagonais desse retângulo são as assíntotas da hipérbole.

Abertura: o ângulo $\theta$ é chamado de abertura da hipérbole.

Excentricidade: a excentricidade de uma hipérbole é o número dado pela relação:
\begin{equation*}
e=\frac{c}{a}
\end{equation*}
onde $c>a$, portanto, $e>1$.

A excentricidade da hipérbole está intimamente relacionada com sua abertura. Se mantivermos o segmento $c$ fixo e variarmos apenas o comprimento do segmento $a$, teremos uma abertura maior quando $a$ é menor e vice-versa. Então, se diminuirmos o valor de $a$  teremos uma excentricidade maior $e = c / a$. Assim os ramos da hipérbole estarão mais abertos.

Quando $a = b$ o retângulo $MNPQ$ se transforma num quadrado, torando as assíntotas perpendiculares e a abertura da hipérbole será igual a $\theta = 45°$. Para este caso específico a hipérbole recebe o nome de Hipérbole Equilátera.

Equação reduzida da hipérbole

Caso 1: O eixo real etá sobre o eixo dos $x$

Tomando um sistema ortogonal, como o centro $C$ da hipérbole na origem do sistema, temos que $\overline{A_1A_2} \subset x$  e $\overline{B_1B_2} \subset y$.

Eixo real sobre o eixo dos x

Seja um ponto $P(x,y)$ da hipérbole, cujos focos são os pontos $F_1(-c,0)$ e $F_2(c,0)$. Por definição, temos que:
\begin{equation*}
\left | d(P,F_1) - d(P,F_2) \right | = 2a
\end{equation*}
Em coordenadas:
\begin{equation*}
\left | \sqrt{(x+c)^2+(y-0)^2} - \sqrt{(x-c)^2+(y-0)^2} \right | = 2a\\
\ \\
\sqrt{(x+c)^2+y^2}= \sqrt{(x-c)^2+y^2}+2a
\end{equation*}
Elevamos ambos os lados ao quadrado, a fim de eliminar as raízes:
\begin{equation*}
(x+c)^2+y^2 = (x-c)^2+y^2 + 4a \sqrt{(x-c)^2+y^2} + 4a^2\\
\ \\
x^2 + 2cx + c^2 + y^2 = x^2 - 2cx + c^2 + y^2 + 4a^2 + 4a \sqrt{(x-c)^2+y^2}\\
\ \\
4cx - 4a^2 = 4a \sqrt{(x-c)^2+y^2}\\
\ \\
cx - a^2 = a \sqrt{(x-c)^2+y^2}
\end{equation*}
Elevamos novamente ambos os lados da equação:
\begin{equation*}
(cx-a^2)^2 = a^2(x-c)^2 +a^2y^2\\
\ \\
c^2x^2 - 2a^2x + a^4 = a^2x^2 - 2a^2xc + a^2c^2 + a^2y^2\\
\end{equation*}
Chegando a:
\begin{equation*}
(c^2-a^2)x^2 - a^2y^2 = a^2(c^2-a^2) \tag{5}
\end{equation*}
Substituindo a relação $(4)$ em $(5)$, obtemos:
\begin{equation*}
b^2x^2 - a^2y^2 = a^2b^2
\end{equation*}
Dividindo ambos os lados por $a^2b^2$, encontramos:
\begin{equation*}
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \tag{6}
\end{equation*}

Caso 2: O eixo real está sobre o eixo dos $y$

Tomando um sistema ortogonal, com o centro $C$ da hipérbole na origem do sistema, temos que $\overline{A_1A_2} \subset y$ e $\overline{B_1B_2} \subset x$.

Eixo real sobre o eixo dos y

Analogamente ao primeiro caso, chegamos à equação da hipérbole:
\begin{equation*}
\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1 \tag{7}
\end{equation*}

Links para esta postagem:




Referências:


  • Geometria Analítica - Steinbruch & Winterle
  • Matemática: Ciência e Aplicações V3 - Iezzi, Dolce, et al


Veja mais:




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14 comentários:

  1. Bem didática a sua apresentação sobre a hipérbole. É possível provar usando Cálculo que as equações das assíntotas de uma hipérbole podem ser obtidas de sua equação reduzida, simplesmente trocando 1 no lado direito da expressão por 0. Por exemplo,

    x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 => x^2/a^2 - y^2/b^2 = 0 => y = +- bx/a.

    Abraços e obrigado pelo link.

    ResponderExcluir
  2. Olá Paulo,
    Com esta equação fica fácil observar a inclinação das assíntotas. Obrigado por citá-la.

    Um abraço.

    ResponderExcluir
  3. Gostei do modo como o conteúdo foi apresentado. Explicado e não apenas exposto. Eu conheci esse blog enquanto procurava um demonstração sobre derivadas e agora estou usando ele para estudar para uma prova que eu farei daqui a pouco.

    Mais uma vez, obrigado.

    ResponderExcluir
  4. Obrigado amigo. Desejo uma boa prova! Um abraço.

    ResponderExcluir
  5. Oi. Sou que postei esse comentário do dia 17 de abril ás 2:55PM. Eu gostaria de saber por que eu só consigo postar comentários como anônimo. Eu estou participando deste site agora e pense que com isso poderia postar normalmente, mas não consegui. Tentei postar usando meu perfil do Google, mas quando escolhi essa opção, fui encaminhado para um site que me sugeria que eu fizesse um Bloger (isso é algo que eu não quero fazer).Não entendo o que esta acontecendo.

    Desde já... Obrigado.

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    Respostas
    1. Olá. Veja só: criei uma conta qualquer só para tentar simular o que vocÊ disse. Quando fui fazer um comentário, pede-se que crie um perfil no blogger e não um blog propriamente. É só dar um nome para o perfil, KleberKilhian, por exemplo e aceitar os termos. Depois vc pode editar e adicionar fotos para aparecer nos comentários, se quiser. Acho que é isso. Um abraço!

      Excluir
  6. Eu fiz o que você disse.

    Obrigado.

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  7. Que bom que deu certo. Precisando estamos aí!

    Abraços!

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  8. Eu ainda não aprendi como postar comentários com LateX. Eu usei o editor online e tentei copiar o código da equação, o URL da imagem, mas quando eu visualizava a mensagem, aparecia o código/URL e não a equação.

    Obrigado, mais uma vez.

    ResponderExcluir
  9. Olha só, vá no site codecogs:
    http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php
    monte sua fórmula no campo de cima. Em baixo a imagem será mostrada. Veja que deve-se ter uma noção de Latex para isso.

    Quando for copiar, copie o código digitado mesmo. Cole nos comentários e coloque o símbole de crfrão no começo e no fim de cada fórmula, para que o script instalado aqui neste blog possa entender do que se trata. Veja:

    a parábola: xis quadrado, menos um, deve-se por o código: x^2-1 entre o símbolos de cifrão, que vai gerar a imagem:
    $x^2-1$

    Ok? Procure alguns tutoriais de escrita em latex, vai ajudar.

    Abraços.

    ResponderExcluir
  10. Eu já tinha tentando escrever com LateX nesse blog, mas o que me atrapalhava era o fato de achar que, quando eu clicasse em "Visualizar" a equação apareceria do mesmo jeito que seria postada no blog. Mas pelo que eu percebi, não é assim que funciona.
    Agora eu consegui. Se eu tiver alguma dúvida ou mesmo que dizer dizer alguma coisa por aqui eu postarei e a fato de poder usar o LateX aqui, vai facilitar muito. Agora que eu estou seguindo este blog, vou tentar aproveita-lo (dentro do possível).

    ResponderExcluir
  11. Olá Francehelder. Fique a vontade para postar aqui, afinal, a função de um blog é a troca de informações.

    Um abraço!

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  12. agradeço o conteúdo de qualidade

    ResponderExcluir
  13. Olá Kleber,

    Ótimo material. Foi muito elucidativo. Obrigado e parabéns!

    Só me restou uma dúvida: o que garante que as retas r e s, que contêm as diagonais do retângulo MNPQ, são assíntotas à hipérbole?

    Abraço!

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