A Equação da Hipérbole

O estudo das seções cônicas teve início na Grécia Antiga, uma consequência da busca pela solução do problema da duplicação do cubo.

Apolônio de Perga (262a.C. - 190a.C.), em sua obras As Cônicas, composta de 8 livros, desenvolveu generalizações, aplicando novos métodos, descobrindo novos teoremas e praticamente exauriu as conclusões puramente geométricas envolvidas nas seções cônicas.

Apolônio descobriu a possibilidade de obter cônicas a partir de qualquer seção em qualquer cone. Mas para obter a hipérbole, teve que considerar dois cones circular retos ligados pelo vértice, onde as duas folhas da hipérbole formam a mesma curva.

Definição:

A hipérbole é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja diferença das distâncias, em valores absolutos, a dois pontos fixos desse plano é constante.

Sejam dois pontos distintos $F_1$ e $F_2$ de um plano $\pi$, cuja distância $d(F_1, F_2)=2c$. Seja um número real $a$ tal que $0 < 2a <2c$.

A hipérbole é o conjunto de todos os pontos $P$ do plano, tais que:

$$\begin{equation*} \left | d(P,F_1) - d(P,F_2) \right|=2a \tag{1} \end{equation*}$$
ou
$$\begin{equation*} \left| \left| \overrightarrow{PF_1}\right|-\left| \overrightarrow{PF_2}\right| \right| \tag{2} \end{equation*}$$

Como podemos ver, a hipérbole é uma curva com dois ramos. Analisando a equação $(2)$, podemos ver que um ponto $P$ está na hipérbole se, e somente se:

$$\begin{equation*} d(P,F_1) - d(P,F_2) = \pm 2a \tag{3} \end{equation*}$$

Quando $P$ está no ramo da direita, a diferença é igual a $+2a$:

$$\begin{equation*} d(P,F_1) - d(P,F_2) = +2a \end{equation*}$$
pois $PF_1 > PF_2$.

E quando $P$ estiver no ramo da esquerda, a diferença é $-2a$:

$$\begin{equation*} d(P,F_2) - d(P,F_1) = +2a \end{equation*}$$
pois $PF_2 > PF_1$.

Considerando a reta que passa por $F_1$ e $F_2$, as intersecções com a hipérbole serão os pontos $A_1$ e $A_2$. Traçamos uma perpendicular a eta reta, passando pelo centro $C$ do segmento $\overline{F_1 F_2}$.

A hipérbole é uma curva simétrica em relação às estas duas retas, como também ao ponto $C$. Se $P_1$ é um ponto da hipérbole, existem outros pontos $P_2$, $P_3$ e $P_4$ tais que, $P_2$ é o simétrico de $P_1$ em relação à horizontal, e $P_3$ é o simétrico de $P_1$ em relação à reta vertical, e $P_4$ é o simétrico a $P_1$ em relação ao ponto $C$. Pela simetria, concluímos que:

$$\begin{equation*} d(A_1, F_1) = d(A_2, F_2) \end{equation*}$$

Elementos da hipérbole

Os principais elementos de uma hipérbole estão relacionados abaixo, considerando a figura abaixo:

Focos: $F_1$ e $F_2$.

Distância focal: é a distância $2c$ entre os focos, onde $c=\overline{CF_1}=\overline{CF_2}$.

Centro: é o ponto médio $C$ do segmento $\overline{F_1F_2}$.

Eixo real ou transverso: é o segmento $\overline{A_1 A_2}$, de comprimento $2a$, onde $a=\overline{CA_1}=\overline{CA_2}$.

Eixo imaginário ou conjugado: é o segmento $\overline{B_1B_2}$, de comprimento $2b$. O valor de $b$ é definido pela relação pitagórica:

$$\begin{equation*} c^2=a^2+b^2 \tag{4} \end{equation*}$$

onde $a$, $b$ e $c$ são as medidas dos lados do triângulo $CA_2M$.

Assíntotas: são as retas $r$ e $s$ das quais a hipérbole se aproxima cada vez mais à medida que os pontos se afastam dos focos. Esta aproximação é contínua e lenta de forma que a tendência da hipérbole é tangenciar suas assíntotas no infinito.

Considerando uma circunferência de raio $\overline{CF_1}$ ou $\overline{CF_2}$, cujo centro $C$ é o mesmo centro da hipérbole, traçamos pelos vértices $A_1$ e $A_2$ cordas perpendiculares ao segmento $\overline{F_1F_2}$ e marcamos as intersecções com a circunferência. Esses pontos são os vértices do retângulo $MNPQ$ inscrito à circunferência. Esse retângulo tem dimensões $2a$ e $2b$.

As retas $r$ e $s$ que contém as diagonais desse retângulo são as assíntotas da hipérbole.

Abertura: o ângulo $\theta$ é chamado de abertura da hipérbole.

Excentricidade: a excentricidade de uma hipérbole é o número dado pela relação:

$$\begin{equation*} e=\frac{c}{a} \end{equation*}$$

onde $c>a$, portanto, $e>1$.

A excentricidade da hipérbole está intimamente relacionada com sua abertura. Se mantivermos o segmento $c$ fixo e variarmos apenas o comprimento do segmento $a$, teremos uma abertura maior quando $a$ é menor e vice-versa. Então, se diminuirmos o valor de $a$  teremos uma excentricidade maior $e = c / a$. Assim os ramos da hipérbole estarão mais abertos.

Quando $a = b$ o retângulo $MNPQ$ se transforma num quadrado, torando as assíntotas perpendiculares e a abertura da hipérbole será igual a $\theta = 45°$. Para este caso específico a hipérbole recebe o nome de Hipérbole Equilátera.

Equação reduzida da hipérbole

Caso 1: O eixo real etá sobre o eixo dos $x$

Tomando um sistema ortogonal, como o centro $C$ da hipérbole na origem do sistema, temos que $\overline{A_1A_2} \subset x$  e $\overline{B_1B_2} \subset y$.

Seja um ponto $P(x,y)$ da hipérbole, cujos focos são os pontos $F_1(-c,0)$ e $F_2(c,0)$. Por definição, temos que:

$$\begin{equation*} \left | d(P,F_1) - d(P,F_2) \right | = 2a \end{equation*}$$

Em coordenadas:

$$\begin{equation*} \left | \sqrt{(x+c)^2+(y-0)^2} - \sqrt{(x-c)^2+(y-0)^2} \right | = 2a\\ \ \\ \sqrt{(x+c)^2+y^2}= \sqrt{(x-c)^2+y^2}+2a \end{equation*}$$

Elevamos ambos os lados ao quadrado, a fim de eliminar as raízes:

$$\begin{equation*} (x+c)^2+y^2 = (x-c)^2+y^2 + 4a \sqrt{(x-c)^2+y^2} + 4a^2\\ \ \\ x^2 + 2cx + c^2 + y^2 = x^2 - 2cx + c^2 + y^2 + 4a^2 + 4a \sqrt{(x-c)^2+y^2}\\ \ \\ 4cx - 4a^2 = 4a \sqrt{(x-c)^2+y^2}\\ \ \\ cx - a^2 = a \sqrt{(x-c)^2+y^2} \end{equation*}$$

Elevamos novamente ambos os lados da equação:

$$\begin{equation*} (cx-a^2)^2 = a^2(x-c)^2 +a^2y^2\\ \ \\ c^2x^2 - 2a^2x + a^4 = a^2x^2 - 2a^2xc + a^2c^2 + a^2y^2\\ \end{equation*}$$
Chegando a:
$$\begin{equation*} (c^2-a^2)x^2 - a^2y^2 = a^2(c^2-a^2) \tag{5} \end{equation*}$$

Substituindo a relação $(4)$ em $(5)$, obtemos:

$$\begin{equation*} b^2x^2 - a^2y^2 = a^2b^2 \end{equation*}$$

Dividindo ambos os lados por $a^2b^2$, encontramos:

$$\begin{equation*} \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \tag{6} \end{equation*}$$

Caso 2: O eixo real está sobre o eixo dos $y$

Tomando um sistema ortogonal, com o centro $C$ da hipérbole na origem do sistema, temos que $\overline{A_1A_2} \subset y$ e $\overline{B_1B_2} \subset x$.

Analogamente ao primeiro caso, chegamos à equação da hipérbole:

$$\begin{equation*} \frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1 \tag{7} \end{equation*}$$

Links para esta postagem:

• http://bit.ly/hiperbole
• https://www.obaricentrodamente.com/2011/05/equacao-da-hiperbole.html

Referências:

• Geometria Analítica - Steinbruch & Winterle
• Matemática: Ciência e Aplicações V3 - Iezzi, Dolce, et al

Veja mais:

• A equação da elipse
• Os 10 problemas de Apolônio
• Construção geométrica da hipérbole com régua e compasso