Demonstração da derivada da função exponencial

Neste artigo, veremos como encontrar a derivada da função exponencial. Para isso utilizaremos limites e o conceito de derivada. Vamos demonstrar que, se $f(x)=e^x$, então sua derivada será $f '(x)=e^x$.

Primeiramente, vamos provar o limite:

$$
\lim_{x\rightarrow 0} \frac{a^x-1}{x} = \ln(a), \quad \forall a>0
$$
Fazemos uma mudança de variável:

$$
a^x-1=t
$$

sendo $a \neq1$.

Se $x$ tende a zero, então $t$ também tende a zero, pois:

$$
a^0-1=t \Longrightarrow 1-1=t \Longrightarrow t=0
$$

Fazemos então:

$$
a^x=1+t
$$

Assim, podemos escrever:

$$
\ln(a^x)=\ln(1+t) \\
\ \\
x\ln(a) = \ln(1+t) \\
\ \\
x=\frac{\ln(1+t)}{\ln(a)}
$$

Tomando o limite inicial dado em (1), aplicamos a mudança da variável $x$ para $t$:

$$
\lim_{t \rightarrow 0} \frac{t}{\displaystyle \frac{\ln(1+t)}{\ln(a)}} =\\
\ \\
\lim_{t \rightarrow 0} \frac{t \cdot \ln(a)}{\ln(1+t)} =\\
\ \\
\lim_{t \rightarrow 0} \frac{\ln(a)}{\displaystyle \frac{1}{t}\cdot \ln(1+t)} =\\
\ \\
\lim_{t \rightarrow 0} \frac{\ln(a)}{\ln(1+t)^{1/t}}
$$

Pelo limite fundamental exponencial, o limite tende a $e$:

$$
\lim_{t\rightarrow 0} (1+t)^{1/t} = e
$$

Então, aplicando o limite, obtemos:

$$
\frac{\ln(a)}{\ln(e)} = \frac{\ln(a)}{1} = \ln(a)
$$

Demonstrando assim, o limite inicial dado em $(1)$. Agora, utilizando o conceito de derivada, temos que:

$$
f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}
$$

Para uma função exponencial do tipo:

$$
f(x) = a^x , \quad \forall x \in \mathbb{R},\ a>0\ \text{e}\ a \neq 1
$$

Fazemos as devidas substituições:

$$
f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{a^{(x+\Delta x)}-a^x}{\Delta x} \\
\ \\
f'= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{a^x(a^{\Delta x}-1)}{\Delta x}
$$

Aplicando o limite dado em $(1)$, podemos reescrever $(10)$ como:

$$
f'(x) = a^x \cdot \ln(a)
$$

Podemos dizer que se $f(x) = a^x$, então sua derivada será $f'(x) = a^x \cdot \ln(a)$. Mas, se fizermos $a = e$, obtemos:

$$
f'(x) = e^x \cdot \ln(e) \\
\ \\
f'(x)= e^x \cdot 1\\
\ \\
f'(x) = e^x
$$

Links para este artigo:

• https://bit.ly/derivada-funcao-exponencial
  
• https://www.obaricentrodamente.com/2021/09/demonstracao-derivada-da-funcao-exponencial.html
  

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• A derivada da função quociente
  
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