Demonstração do Limite Fundamental Exponencial

O número e tem grande importância em diversos ramos das ciências, pois está presente em vários fenômenos naturais como por exemplo: crescimento populacional, crescimento de população de bactérias, datação por carbono, circuitos elétricos, entre outros.

Foi John Napier (1550-1617), matemático escocês, o responsável pelo desenvolvimento da teoria logarítmica utilizando o número e como base. O número e é irracional e vale aproximadamente:

\begin{equation*}
e=2,7182818\cdots
\end{equation*}

Devido à sua vasta aplicação, a função exponencial $f (x) = e^x$ é considerada uma das funções mais importantes da matemática.

Seja o limite exponencial:

\begin{equation}
e = \lim_{u \rightarrow +\infty} \left(1+\frac{1}{u}\right)^u = \lim_{u \rightarrow -\infty} \left(1+\frac{1}{u}\right)^u
\end{equation}

Vamos fazer uma mudança de variável, onde:

\begin{equation}
\Delta x = \frac{1}{u} \rightarrow u= \frac{1}{\Delta x}
\end{equation}
Logo, substituindo $(2)$ em $(1)$, obtemos:
\begin{equation}
e = \lim_{u \rightarrow +\infty} \left(1+\Delta x\right)^{1/ \Delta x}
\end{equation}

Vejam que $u \rightarrow +\infty$ quando $\Delta x \rightarrow 0^+$ e que $u \rightarrow -\infty$ quando $\Delta x \rightarrow 0^-$. Assim, as equações podem ser escritas como:

 \begin{equation*}
e = \lim_{\Delta x \rightarrow 0^+} \left(1+\Delta x\right)^{1/ \Delta x} = e = \lim_{\Delta x \rightarrow 0^-} \left(1+\Delta x\right)^{1/ \Delta x}
\end{equation*}
Ou simplesmente
\begin{equation}
e = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \left(1+\Delta x\right)^{1/ \Delta x}
\end{equation}
Consideremos o fato que um número:
\begin{equation}
b^k = e^{k \ln b}
\end{equation}

Sendo válido para todos os valores reais de $k$ e sendo $b > 0$. (Veja seção de Funções Exponenciais e Logarítmicas com Bases Diferentes de e, Munem – Foulis, pág $445$). Assim

\begin{equation}
\left(1+\Delta x\right)^{1/ \Delta x} = e^{(1/ \Delta x ) \ln (1+\Delta x)} =\exp \left[\frac{1}{\Delta x} \ln (1+\Delta x)\right]
\end{equation}
A prova se dará quando:
\begin{equation}
\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \left[\frac{1}{\Delta x} \ln (1+\Delta x)\right] = 1
\end{equation}
Pois, então:
\begin{equation}
\lim_{\Delta x \rightarrow 0} (1+\Delta x)^{1/\Delta x} = \exp \left\{\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \left[\frac{1}{\Delta x} \ln (1+\Delta x)\right] \right\} = \\
=\exp 1 = e
\end{equation}

virá como continuidade da função exponencial.

Podemos provar o limite dado em $(7)$. Para isso, façamos $f(x) = \ln(x)$ para $x>0$, de modo que:

\begin{equation*}
f(1) = \ln (1) = 0 \:, \: f^{\prime} (x) = \frac{1}{x} \: \text{e} \: f^{\prime} (1) = 1
\end{equation*}
Assim:
\begin{equation}
\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \left[\frac{1}{\Delta x} \ln (1+\Delta x) \right] = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(1+\Delta x)}{\Delta x} = \\
= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(1+\Delta x) - f(1)}{\Delta x} = f^\prime (1)=1
\end{equation}
Utilizando-se do teorema dado em $(1)$, podemos estabelecer:
\begin{equation}
e^a = \lim_{h \rightarrow +\infty}\left(1+\frac{a}{h}\right)^h = \lim_{h \rightarrow-\infty} \left(1+\frac{a}{h}\right)^h
\end{equation}
Quando $a>0$, façamos $u=h/a$, observando que $u \rightarrow +\infty$ quando $h \rightarrow +\infty$. Portanto:
\begin{equation}
\lim_{h \rightarrow +\infty}\left(1+\frac{a}{h}\right)^h = \lim_{h \rightarrow +\infty}\left(1+\frac{a}{h}\right)^{\left(\frac{h}{a}\right)a}=\\
= \lim_{u\rightarrow +\infty}\left(1+\frac{1}{u}\right)^{ua} = \lim_{u \rightarrow +\infty}\left[\left(1+\frac{1}{u}\right)^u\right]^a
\end{equation}
Façamos $\displaystyle v = \left(1+\frac{1}{u}\right)^u$. Então:
\begin{equation}
\lim_{h\rightarrow +\infty} \left(1+\frac{a}{h}\right)^h = \lim_{u\rightarrow +\infty}v^a = \left(\lim_{u\rightarrow +\infty}\right)^a = e^a
\end{equation}
Para a verificação, podemos usar noções de série e utilizaremos uma tabela de aproximações:

Então, se:

\begin{equation}
\frac{1}{x}=u \Rightarrow x=\frac{1}{u}
\end{equation}

Se $x \rightarrow \infty$, então $t \rightarrow 0$, logo:
\begin{equation}
e=\lim_{u\rightarrow +\infty}\left(1+\frac{1}{u}\right)^u = \lim_{u\rightarrow -\infty} \left(1+\frac{1}{u}\right)^u
\end{equation}

Referências:

• Cálculo com Geometria Analítica – Munem – Foulis

Veja mais:

•  Demonstração da Derivada da Função Exponencial
•  Demonstração da Identidade de Euler
•  Medidas de Tempos Muito Longos