Iremos provar que, se $ f(x) = \ln(x)$, então sua derivada será $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{x}$.
Demonstração:
Seja a função logarítmica do logaritmo natural:\begin{equation}
f(x)=\ln(x)
\end{equation}
Utilizando o conceito de derivada, temos que:
\begin{equation}
f '(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\ln(x+\Delta x)-\ln(x)}{\Delta x}
\end{equation}
Uma das propriedades dos logaritmos transforma uma diferença de logaritmos em quociente, assim:
\begin{equation}
f ' (x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta x} \cdot \ln\left(\frac{x+\Delta x}{x}\right)
\end{equation}
Utilizando a propriedade dos expoentes dos logaritmos,fazemos:
\begin{equation}
f '(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \ln \left(\frac{x+\Delta x}{x}\right)^{1/\Delta x}
\end{equation}
Aplicando uma mudança de variável:
\begin{equation}
\frac{\Delta x}{x} = t \Longrightarrow \Delta x = xt
\end{equation}
Observamos que, quando $\Delta x \rightarrow 0$, então $t \rightarrow 0$. Essa troca é equivalente e não altera o limite. Desta forma:
\begin{equation}
f '(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \ln \left(1+\frac{\Delta x}{x} \right)^{1/\Delta x}\\
f '(x) = \lim_{t \rightarrow 0} \ln(1+t)^{1/xt} = \lim_{t \rightarrow 0} \left[(1+t)^{1/t}\right]^{1/x}
\end{equation}
No entanto, do limite fundamental exponencial, sabemos que:
\begin{equation}
\lim_{t \rightarrow 0} (1+t)^{1/t} = e
\end{equation}
Logo:
\begin{equation}
f '(x) = \ln \left(e^{1/x}\right) = \frac{1}{x} \ln (e)
\end{equation}
Mas, $\ln (e) = 1$, portanto:
\begin{equation}
f '(x) = \frac{1}{x}
\end{equation}
Que é a derivada da função logarítmica.
Se tivermos:
\begin{equation}
f(x) = \log_a (x)
\end{equation}
Podemos fazer uma mudança de base:
\begin{equation}
f(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(a)}
\end{equation}
E a derivada será:
\begin{equation}
f '(x) = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\ln(a)} = \frac{1}{x \ln (a)}
\end{equation}
Veja mais:
Demonstração da Derivada da Função ExponencialDemonstração da Derivada da Função Quociente
Demonstração da Derivada da Função Produto
Muito Obrigado, tava com a mesma demonstração na apostila, porém tava com uma dúvida ali no meio, onde você fez passo a passo bem explicado.
ResponderExcluirEu que agradeço seu comentário. Um abraço e bons estudos!
ResponderExcluirobrigada! ajudou bastante nos estudos
ResponderExcluirMuito bacana esta demonstração. Gostei muito principalmente da parte onde estende para a derivada de um logaritmo para qualquer base !
ResponderExcluirAlex. Chacon
qual é a derivada de -3 sobre raiz de x
ResponderExcluirseja:
Excluir$$f(x)=-\frac{3}{\sqrt{x}}=-\frac{3}{x^{1/2}}=-3\cdot x^{-1/2}$$
A derivada será:
$$f'(x)=-3\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot x^{-1/2-1}$$
$$f'(x)=\frac{3}{2}\cdot x^{-3/2}=\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{x^{3/2}}=\frac{3}{2\sqrt{x^3}}$$
Parabéns pelo blog! Como a sua demonstração me foi útil, muito bem explicada. Entendi muito bem. Obrigada.
ResponderExcluirParabéns, não tava conseguindo achar esse assunto bem explicado, e aqui está bem direitim, explicando passo a passo, thanks e continue assim
ResponderExcluirquanto da a derivada de ln^2(x)?
ResponderExcluirO resultado é:
Excluir$$\frac{d}{dx}(\ln ^2(x))=\frac{2 \ln(x)}{x}$$
Abraços.
Você Poderia me ajudar a responder a seguinte questão?
Excluir3) Ache a razão ∆y/∆x para a função y =1/x
a) no ponto 2 e ∆x = 1
b) no ponto 2 e ∆x = 0.1
c) no ponto 2 e ∆x = 0.01
Esse seu site é muito bom!
ResponderExcluirObrigado Danilo. Um abraço!
ExcluirO senhor explicou bem direitinho, ajudou muito, obrigada!
ResponderExcluirÓtimo blog com ótimas demonstrações ,estas realmente de parabéns
ResponderExcluirpq log de e é igual a 1?
ResponderExcluirOlá.
Excluirlog possui base 10
ln possui base e:
$$e^1=e$$
Este comentário foi removido pelo autor.
ResponderExcluirÓtima demonstração!
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