18/07/2009

Demonstração da Derivada da Função Logarítmica

Neste artigo, veremos uma demonstração de como encontrar a derivada da função logarítmica usando o conceito de derivada e limites.



Iremos provar que, se $ f(x) = \ln(x)$, então sua derivada será $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{x}$.

Demonstração:

Seja a função logarítmica do logaritmo natural:
\begin{equation}
f(x)=\ln(x)
\end{equation}
Utilizando o conceito de derivada, temos que:
\begin{equation}
f '(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\ln(x+\Delta x)-\ln(x)}{\Delta x}
\end{equation}
Uma das propriedades dos logaritmos transforma uma diferença de logaritmos em quociente, assim:
\begin{equation}
f ' (x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta x} \cdot \ln\left(\frac{x+\Delta x}{x}\right)
\end{equation}
Utilizando a propriedade dos expoentes dos logaritmos,fazemos:
\begin{equation}
f '(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \ln \left(\frac{x+\Delta x}{x}\right)^{1/\Delta x}
\end{equation}
Aplicando uma mudança de variável:
\begin{equation}
\frac{\Delta x}{x} = t \Longrightarrow \Delta x = xt
\end{equation}
Observamos que, quando $\Delta x \rightarrow 0$, então $t \rightarrow 0$. Essa troca é equivalente e não altera o limite. Desta forma:
\begin{equation}
f '(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \ln \left(1+\frac{\Delta x}{x} \right)^{1/\Delta x}\\
f '(x) = \lim_{t \rightarrow 0} \ln(1+t)^{1/xt} = \lim_{t \rightarrow 0} \left[(1+t)^{1/t}\right]^{1/x}
\end{equation}
No entanto, do limite fundamental exponencial, sabemos que:
\begin{equation}
\lim_{t \rightarrow 0} (1+t)^{1/t} = e
\end{equation}
Logo:
\begin{equation}
f '(x) = \ln \left(e^{1/x}\right) = \frac{1}{x} \ln (e)
\end{equation}
Mas, $\ln (e) = 1$, portanto:
\begin{equation}
f '(x) = \frac{1}{x}
\end{equation}
Que é a derivada da função logarítmica.

Se tivermos:
\begin{equation}
f(x) = \log_a (x)
\end{equation}
Podemos fazer uma mudança de base:
\begin{equation}
f(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(a)}
\end{equation}
E a derivada será:
\begin{equation}
f '(x) = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\ln(a)} = \frac{1}{x \ln (a)}
\end{equation}

Veja mais:

Demonstração da Derivada da Função Exponencial
Demonstração da Derivada da Função Quociente 
Demonstração da Derivada da Função Produto

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19 comentários:

  1. Muito Obrigado, tava com a mesma demonstração na apostila, porém tava com uma dúvida ali no meio, onde você fez passo a passo bem explicado.

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  2. Eu que agradeço seu comentário. Um abraço e bons estudos!

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  3. obrigada! ajudou bastante nos estudos

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  4. Muito bacana esta demonstração. Gostei muito principalmente da parte onde estende para a derivada de um logaritmo para qualquer base !


    Alex. Chacon

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  5. qual é a derivada de -3 sobre raiz de x

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    Respostas
    1. seja:
      $$f(x)=-\frac{3}{\sqrt{x}}=-\frac{3}{x^{1/2}}=-3\cdot x^{-1/2}$$

      A derivada será:

      $$f'(x)=-3\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot x^{-1/2-1}$$
      $$f'(x)=\frac{3}{2}\cdot x^{-3/2}=\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{x^{3/2}}=\frac{3}{2\sqrt{x^3}}$$

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  6. Parabéns pelo blog! Como a sua demonstração me foi útil, muito bem explicada. Entendi muito bem. Obrigada.

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  7. Parabéns, não tava conseguindo achar esse assunto bem explicado, e aqui está bem direitim, explicando passo a passo, thanks e continue assim

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  8. quanto da a derivada de ln^2(x)?

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    Respostas
    1. O resultado é:

      $$\frac{d}{dx}(\ln ^2(x))=\frac{2 \ln(x)}{x}$$

      Abraços.

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    2. Você Poderia me ajudar a responder a seguinte questão?
      3) Ache a razão ∆y/∆x para a função y =1/x
      a) no ponto 2 e ∆x = 1
      b) no ponto 2 e ∆x = 0.1
      c) no ponto 2 e ∆x = 0.01

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  9. O senhor explicou bem direitinho, ajudou muito, obrigada!

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  10. Ótimo blog com ótimas demonstrações ,estas realmente de parabéns

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  11. Respostas
    1. Olá.

      log possui base 10

      ln possui base e:

      $$e^1=e$$

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  12. Este comentário foi removido pelo autor.

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