19/07/2009

Demonstração da derivada da função exponencial

a-derivada-da-funcao-exponencial-derivada-de-e-elevado-a-x-deirvada-de-e^x


Neste artigo, veremos como encontrar a derivada da função exponencial. Para isso utilizaremos limites e o conceito de derivada. Vamos demonstrar que, se $f(x)=e^x$, então sua derivada será $f '(x)=e^x$.

Primeiramente, vamos provar o limite:
$$
\lim_{x\rightarrow 0} \frac{a^x-1}{x} = \ln(a), \quad \forall a>0
$$
Fazemos uma mudança de variável:
$$
a^x-1=t
$$
sendo $a \neq1$.

Se $x$ tende a zero, então $t$ também tende a zero, pois:
$$
a^0-1=t \Longrightarrow 1-1=t \Longrightarrow t=0
$$
Fazemos então:
$$
a^x=1+t
$$
Assim, podemos escrever:
$$
\ln(a^x)=\ln(1+t) \\
\ \\
x\ln(a) = \ln(1+t) \\
\ \\
x=\frac{\ln(1+t)}{\ln(a)}
$$
Tomando o limite inicial dado em (1), aplicamos a mudança da variável $x$ para $t$:
$$
\lim_{t \rightarrow 0} \frac{t}{\displaystyle \frac{\ln(1+t)}{\ln(a)}} =\\
\ \\
\lim_{t \rightarrow 0} \frac{t \cdot \ln(a)}{\ln(1+t)} =\\
\ \\
\lim_{t \rightarrow 0} \frac{\ln(a)}{\displaystyle \frac{1}{t}\cdot \ln(1+t)} =\\
\ \\
\lim_{t \rightarrow 0} \frac{\ln(a)}{\ln(1+t)^{1/t}}
$$
Pelo limite fundamental exponencial, o limite tende a $e$:
$$
\lim_{t\rightarrow 0} (1+t)^{1/t} = e
$$
Então, aplicando o limite, obtemos:
$$
\frac{\ln(a)}{\ln(e)} = \frac{\ln(a)}{1} = \ln(a)
$$
Demonstrando assim, o limite inicial dado em $(1)$. Agora, utilizando o conceito de derivada, temos que:
$$
f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}
$$
Para uma função exponencial do tipo:
$$
f(x) = a^x , \quad \forall x \in \mathbb{R},\ a>0\ \text{e}\ a \neq 1
$$
Fazemos as devidas substituições:
$$
f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{a^{(x+\Delta x)}-a^x}{\Delta x} \\
\ \\
f'= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{a^x(a^{\Delta x}-1)}{\Delta x}
$$
Aplicando o limite dado em $(1)$, podemos reescrever $(10)$ como:
$$
f'(x) = a^x \cdot \ln(a)
$$
Podemos dizer que se $f(x) = a^x$, então sua derivada será $f'(x) = a^x \cdot \ln(a)$. Mas, se fizermos $a = e$, obtemos:
$$
f'(x) = e^x \cdot \ln(e) \\
\ \\
f'(x)= e^x \cdot 1\\
\ \\
f'(x) = e^x
$$

Links para este artigo:


Veja mais:

COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: Demonstração da derivada da função exponencial. Publicado por Kleber Kilhian em 19/07/2009. URL: . Leia os Termos de uso.


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17 comentários:

  1. foda, tomara qe a minha linda prof n queira qe eu demonstre isso

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  2. Olá, geralmente as demonstrações são feitas para os alunos entenderem a origem. Isso facilita o entendimento. Um abraço.

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  3. parabéns pela belíssima demonstração, gostei muito

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  4. Olá amigo, esta demonstração vi durante o curso na faculdade, assim como outras sobre derivadas de funções trigonométricas. Achei importante publicá-las. Obrigado pela visita e comentário.
    Um abraço.

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  5. Olá!

    Tópico bem bacana e didático. Temos apenas um deslize: na expressão (I), foi esquecido de colocar o $ \displaystyle a^x $ em evidência (o segundo $ \displaystyle a^x $).

    Isso poderia causar alguma confusão.

    Parabéns pelo post.

    prof. Alexandre

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  6. Olá Prof. Alexandre,

    Obrigado por me avisar do erro, já o corrigi. Por mais cuidado que tenho, às vezes ainda passa algum erro de digitação.

    Um abraço!

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  7. valeu cara muito booooooooooooom

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  8. Olá, professor. Gosto muito do teu blog, mas acredito que contenha um pequeno erro na segunda equação abaixo da frase "Assim podemos escrever:".

    Abraço e obrigado!

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  9. Olá Ítalo. Realmente dei uma cochilada na hora de escrever a fórmula. Já está corrigida. Obrigado pela visita epor relatar o erro.

    Abraços.

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  10. Muito obrigado pelo post, estava procurando há tempos por essa demonstração! Continue com este excelente trabalho.

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  11. Obrigado pelo incentivo. Volte sempre!

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  12. Como desenvolver e^x através de uma série de polinômios do tipo Som( x^n quando n varia de 0 a mais infinito? Kleber !! por favor se voce tem alguma ideia sobre isso me ajude por favor!! Eu sei que da Som X^n / n! mas por que??

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    Respostas
    1. Hamilton, dê uma olhada neste link, talvez te ajude:
      http://math.stackexchange.com/questions/433442/why-is-sum-n-0-infty-fracxnn-ex

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    2. Isso se deve ao fato da derivada de $ e^x $ ser ele mesmo e também do fato que $ e^0 = 1$ para entender melhor estude a série de MacLaurin te recomendo esse vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=0dqWoZs3erM&list=PLF2E932B3349C96A4&index=12
      Esse professor é bom para explicar como se faz os cálculos mas não faz demonstrações, para uma demonstração de porque a série de Taylor/MacLaurin funciona te recomendo esse post do blog A Matemática Pura: http://amatematicapura.blogspot.com.br/2011/01/polinomios-de-taylor.html

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  13. Muito obrigada pela demonstração!

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  14. Precisava dessa demonstração, os livros que tinha eram imcompletos. Muito obrigado!

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