Área de Polígonos Regulares

Um polígono é dito regular se tiver todos os seus lados e ângulos iguais, sejam eles internos ou externos.

Todo polígono regular pode ser inscrito em uma circunferência, sendo o centro da circunferência, o centro do polígono. Unindo o centro do polígono a cada um de seus vértices, decompomos o polígono em triângulos isósceles.

O segmento que une o centro do polígono ao ponto médio de seus lados é chamado de apótema.

A partir dessas informações, podemos encontrar a fórmula para a área de qualquer polígono regular.

Vamos considerar um polígono regular qualquer:

[Figura 1]

Sejam $\ell$ a medida do lado, $m$ a medida do apótema, $n$ o número de lados do polígono e seja $p$ o semiperímetro .

Podemos decompor um polígono regular em $n$ triângulos de base $\ell$ e altura $m$. Desta forma, a área de cada triângulo será:
\begin{equation}
A_T=\frac{\ell \cdot m}{2}
\end{equation}
e a área do polígono será o produto da área do triângulo $A_T$ pelo número $n$ de lados:
\begin{equation}
A_{pol}=n \cdot A_T = \frac{n \cdot \ell \cdot m}{2}
\end{equation}
No entanto, o semiperímetro $p$ do polígono é dado por:
\begin{equation}
p=\frac{n \cdot \ell}{2}
\end{equation}
Substituindo $(3)$ em $(2)$, obtemos:
\begin{equation}
A_{pol}=\frac{2\cdot p \cdot m}{2}
\end{equation}
Assim, a área de um polígono regular é dado pelo produto entre seu semiperímetro $p$ pelo seu apótema $m$:
\begin{equation}
A_{pol}=p\cdot m
\end{equation}

Exemplo 1:

Determinar a área de um hexágono cujo apótema mede $\displaystyle 2\sqrt{3} \: cm$.

[Figura 2]

Como o hexágono pode ser dividido em seis triângulos equiláteros, para calcularmos a medida $\ell$ de seus lados, aplicamos o teorema de Pitágoras no triângulo $BOC$:

[Figura 3]

\begin{equation*}
\ell ^2 = \frac{\ell ^2}{4} + m^2\\
\ell^2 - \frac{\ell ^2}{4} = m^2\\
\frac{3\ell ^2}{4} = m^2\\
\ell^2 = \frac{4m^2}{3}\\
\ell = \sqrt{\frac{4m^2}{3}}
\end{equation*}
Substituindo o apótema $m=2\sqrt{3}$:
\begin{equation*}
\ell = \sqrt{\frac{4(2\sqrt{3})^2}{3}}\\
\ell = \sqrt{\frac{4\cdot 4 \cdot 3}{3}}\\
\ell = 4 \:cm
\end{equation*}
Assim, o semiperímetro será:
\begin{equation*}
p=\frac{6\ell}{2} = \frac{6\cdot 4}{2} = 12 \: cm
\end{equation*}
e a área do hexágono será:
\begin{equation*}
A_{pol} = p\cdot m = 12 \cdot 2\sqrt{3}=24\sqrt{3}\approx 41,57\:cm
\end{equation*}

Fórmula para a área de alguns polígonos regulares

A partir da relação $(5)$, podemos determinar a fórmula para a área de alguns polígonos regulares. Veremos apenas alguns, mas o raciocínio segue para os demais.

Triângulo equilátero

A área do triângulo é dada pelo semiproduto da base por sua altura: $\displaystyle A_{pol}=\frac{\ell h}{2}$.

[Figura 4]

O ponto $O$ é o baricentro do triângulo $\triangle ABC$, de modo que:
\begin{equation*}
m=\frac{1}{3} \overline{DA} = \frac{1}{3} h
\end{equation*}
Sendo o semiperímetro $\displaystyle p=\frac{3\ell}{2}$, temos que:
\begin{equation*}
A_{pol} = p\cdot m = \frac{3\ell}{2} \cdot \frac{1}{3}h = \frac{\ell h}{2}
\end{equation*}

Quadrado

A área do quadrado é dada pelo produto de dois de seus lados adjacentes: $\displaystyle A_{pol}=\ell^2$.

[Figura 5]

O ponto $O$ é o centro do quadrado $ABCD$ de lados $\ell$. Decompondo em triângulos isósceles, tomamos o triângulo $\triangle AOB$. Assim:
\begin{equation*}
m=\overline{OE} = \frac{\ell}{2}
\end{equation*}
O semiperímetro é $p=2\ell$ e a área do polígono será:
\begin{equation*}
A_{pol}=p\cdot m=2\ell \cdot \frac{\ell}{2}=\ell ^2
\end{equation*}

Hexágono

A área do hexágono é dada por $\displaystyle A_{pol}=\frac{3\ell ^2 \sqrt{3}}{2}$.

[Figura 6]

O ponto $O$ é o centro do hexágono $ABCDEF$, por onde o decompomos em seis triângulos equiláteros. Tomando o triângulo $\triangle AOB$ temos que:
\begin{equation*}
m=\overline{OG}=\frac{\ell \sqrt{3}}{2}
\end{equation*}
e o semiperímetro será $p=3\ell$. Assim:
\begin{equation*}
A_{pol} = p\cdot m = 3\ell \cdot \frac{\ell \sqrt{3}}{2} = \frac{3\ell ^2 \sqrt{3}}{2}
\end{equation*}

Octógono

A área do octógono regular é dada por $\displaystyle 2\ell^2 (1+\sqrt{2})$.

[Figura 7]

O ponto $O$ é o centro do octógono, por onde o decompomos em $8$ triângulos isósceles. O semiperímetro será $p=4\ell$.

O prolongamento dos lados não adjacentes do octógono forma um quadrado $DEFG$ .Vamos agora escrever os lados dos triângulos formados nos vértices desse quadrado, denotados por $a$, em função do lado $\ell$ do octógono.

[Figura 8]

Aplicando o teorema de Pitágoras:
\begin{equation*}
\ell^2 = 2a^2 \Longrightarrow a=\frac{\ell \sqrt{2}}{2}
\end{equation*}
Vejam que $\displaystyle m=\frac{\overline{EF}}{2}$ e $\overline{EF}=\ell +2a$. Assim:
\begin{equation*}
m=\frac{\ell + 2a}{2} = \frac{\ell}{2}+a = \frac{\ell}{2} + \frac{\ell \sqrt{2}}{2} = \frac{\ell (1+\sqrt{2})}{2}
\end{equation*}
A área do octógono será:
\begin{equation*}
A_{pol} = p\cdot m = 4\ell \cdot \frac{\ell(1+\sqrt{2})}{2} = 2\ell^2 (1+\sqrt{2})
\end{equation*}

Apesar de obtermos qualquer área de um polígono regular com a fórmula geral $A_{pol} = p\cdot m$, as deduções acima nos fornecem as áreas dos polígono somente em função de seu lado, o que por vezes pode ser muito mais útil.

Referências

• Fundamentos de Matemática Elementar V9 - Geometria Plana - Osvaldo Dolce & Nicolau Pompeo

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