Teorema $1$:
Se conduzirmos por um ponto $P$ os segmentos $\overline{PA}$ e $\overline{PB}$, ambos tangentes a uma circunferência $\lambda$, em $A$ e $B$ respectivamente, então $\overline{PA}$ é congruente a $\overline{PB}$:\begin{equation}
\overline{PA} \equiv \overline{PB}
\end{equation}
Por hipótese temos que $\overline{PA}$ e $\overline{PB}$ são tangentes a $\lambda$, sendo $A$ e $B$ $\in$ $\lambda$. De modo que temos $\overline{PA} \equiv \overline{PB}$.
[Figura 1]
Observando a figura acima, nota-se que os triângulos $\triangle PAO$ e $\triangle PBO$ são congruente, já que compartilham a mesma hipotenusa e um de seus catetos possuem a mesma medida, que são iguais ao raio da circunferência $\lambda$. Assim, $\overline{OP}$ é a hipotenusa de cada triângulo e $\overline{OA} \equiv \overline{OB}$ são os catetos:
\begin{equation}
\triangle PAO \equiv \triangle PBO \Longrightarrow \overline{PA} \equiv \overline{PB}
\end{equation}
Esta demonstração é importante para o que veremos a seguir.
Definição $1$: Quadrilátero circunscrito
Um quadrilátero convexo é circunscrito a uma circunferência se, e somente se, seus quatro lados são tangentes à circunferência.
[Figura 2]
Na figura acima, o quadrilátero $ABCD$ está circunscrito à circunferência $\lambda$ e cada segmento que constituem seus lados são tangentes nos pontos $X$, $Y$, $Z$ e $W$.
Teorema $2$:
Se um quadrilátero convexo é circunscrito a uma circunferência, a soma de dois lados opostos é igual à soma dos outros dois.Esse teorema nos diz que se, por hipótese, o quadrilátero $ABCD$ é circunscrito à circunferência $\lambda$, então temos que:
\begin{equation}
\overline{AB}+\overline{CD} = \overline{AD}+\overline{BC}
\end{equation}
Utilizando os dados obtidos no teorema $1$, sobre a propriedade dos segmentos tangentes, podemos utilizar o raciocínio no quadrilátero circunscrito representado na figura acima, de modo que $X$, $Y$, $Z$ e $W$ são os pontos de tangência dos segmentos $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{CD}$ e $\overline{DA}$, respectivamente. Assim, temos:
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
\overline{AX} & \equiv & \overline{AW} \\
\overline{BY} & \equiv & \overline{BX} \\
\overline{CZ} & \equiv & \overline{CY} \\
\overline{DW} & \equiv & \overline{DZ}
\end{matrix}\right.
\end{equation}
Somando membro a membro, obtemos:
\begin{equation}
\overline{AX} + \overline{BX} +\overline{CZ}+\overline{DZ} = \overline{AW}+\overline{BY}+\overline{CY}+\overline{DW}
\end{equation}No entanto:
\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
\overline{AX}& + & \overline{BX} &=& \overline{AB}\\
\overline{CZ}& + & \overline{DZ} &=& \overline{CD}\\
\overline{AW}& + & \overline{DW} &=& \overline{AD}\\
\overline{BY}& + & \overline{CY} &=& \overline{BC}
\end{matrix}\right.
\end{equation}
Fazendo as devidas substituições, chega-se a:
\begin{equation}
\overline{AB}+\overline{CD}=\overline{AD}+\overline{BC}
\end{equation}
Exercício $1$:
Determinar o perímetro do quadrilátero $ABCD$, circunscrito:
[Figura 3]
Temos que:
\begin{equation*}
(3p+1) + (p+1) = 3p + 2p\\
4p+2 = 5p\\
p=2
\end{equation*}
Assim, cada lado medirá:
\begin{equation*}
\left\{\begin{matrix}
\overline{AB}& = & 3p+1 &=& 7\\
\overline{BC}& = & 2p &=& 4\\
\overline{CD}& = & p+1 &=& 3\\
\overline{DA}& = & 3p &=& 6
\end{matrix}\right.
\end{equation*}
E o perímetro será:
\begin{equation*}
\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}+\overline{DA}=7+4+3+6=20
\end{equation*}
Exercício $2$:
O quadrilátero $ABCD$ é circunscritível e seus lados medem $\overline{DA}=12cm$, $\overline{CD}=9cm$, $\overline{BC}=x+7$ e $\overline{AB}=2x+1$. Determine seu perímetro.
[Figura 4]
Fazemos:
\begin{equation*}
2x+1+9=x+7+12\\
2x+10=x+19\\
x=9
\end{equation*}
O perímetro será:
\begin{equation*}
\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}+\overline{DA}=19+16+9+12=56cm
\end{equation*}
Exercício $3$:
Calcular o valor do raio da circunferência inscrita no trapézio retângulo.
[Figura 5]
Temos que $\overline{AB}=2r$, Assim:
\begin{equation*}
2r+13=10+15\\
2r=12\\
r=6 u.m.
\end{equation*}
Exercício $4$:
A diferença de dois lados opostos de um quadrilátero circunscritível é igual a $8cm$ e a diferença dos outros dois lados é $4cm$. Determine os lados do quadrilátero sendo $56cm$ a sua soma.Analisando o problema, podemos construir a imagem abaixo, utilizando da propriedade dos segmentos tangentes, podemos subdividir cada lado do quadrilátero em duas partes, como segue:
[Figura 6]
Da figura acima, obtemos:
\begin{equation*}
\left\{\begin{matrix}
(x+y)-(z+w)&=&8&\quad (1)\\
(y+z)-(w+x)&=&4& \quad (2)\\
x+y+z+w &=&28&\quad (3)
\end{matrix}\right.
\end{equation*}
De $(1)$, temos que:
\begin{equation*}
x+y=8+z+w
\end{equation*}
Substituindo em $(3)$, obtemos:
\begin{equation*}
8+z+w+z+w=28\\
z+w=10 = \overline{CD}
\end{equation*}
substituindo em $(1)$, obtemos:
\begin{equation*}
x+y=18 = \overline{AB}
\end{equation*}
De $(2)$, temos que:
\begin{equation*}
y+z=4+x+w
\end{equation*}
Substituindo em $(3)$, obtemos:
\begin{equation*}
4+x+w+x+w=28\\
x+w=12 = \overline{DA}
\end{equation*}
Substituindo em $(2)$, obtemos:
\begin{equation*}
y+z-12=4\\
y+z=16=\overline{BC}
\end{equation*}
Portanto, as medidas dos segmentos do quadrilátero são:
\begin{equation*}
\overline{AB}=18cm\\
\overline{BC}=16cm\\
\overline{CD}=10cm\\
\overline{DA}=12cm
\end{equation*}
Podemos verificar o resultado:
\begin{equation*}
18+10=16+12\\
28=28
\end{equation*}
Referências:
[1] Fundamentos de Matemática Elementar V9 - Geometria Plana - Osvaldo Dolce & Nicolau PompeoVeja mais:
Teorema do quadrilátero inscritívelTeorema do Ângulo Inscrito
Quadriláteros Notáveis
Bom dia, professor.
ResponderExcluirApenas uma observação, na identidade (4): AX=AW
Muito bom, o artigo.
Parabéns.
Obrigado pela leitura atenta! Corrigido! Abraços.
ExcluirNo exercício 3, gostaria de uma explicação: a maioria das resoluções desta questão, usa-se o teorema de Pitágoras para saber a altura a fim de calcular o lado que forma os ângulos de 90º. Este lado teria a mesma medida da diagonal?
ResponderExcluirOlá. Posso não ter entendido sua pergunta direito, mas se o lado AB forma ângulos retos com os lados adjacentes, então sempre será um cateto, logo sempre será menor do que qualquer diagonal.
ExcluirOlá. Fazendo no Geogebra quadriláteros cuja soma dos opostos é igual, vemos que são todos circunscritíveis. Portanto a construção do Geogebra sugere que vale a volta do Teorema 2, isto é, se a soma dos lados opostos é igual, o quadrilátero tem uma circunferência que o circunscreve. Como provar?
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