Demonstração da 1ª Fórmula de De Moivre

Um pouco de História

Abraham De Moivre (Lê-se: Demoavre) (1667 - 1754), um huguenote francês que buscou abrigo no clima politicamente mais ameno de Londres, depois da revogação do Edito de Nantes (1685). De Moivre ganhava a vida na Inglaterra como professor particular e tornou-se amigo íntimo de Isaac Newton.

De Moivre é conhecido principalmente por suas obras Annuities upon Lives, que teve um papel importante na história da matemática atuarial, Doctrine of Chances, que continha muito material sobre teoria das probabilidades e Miscellanea analytica, em que há contribuições a séries recorrentes, probabilidade e trigonometria analítica.

Considera-se, ainda, que De Moivre foi o primeiro a trabalhar com a integral:

Em probabilidade, bem como a curva de frequência normal tão importante em estatística:

O resultado conhecido por Fórmula de Stirling, tão útil na aproximação de fatoriais de números grandes, ou seja:

para n muito grande, na verdade é contribuição de De Moivre.

A importante fórmula:

se tornou a chave da trigonometria analítica, dada por Moivre em 1707 para n inteiro. E será esta fórmula que iremos estudar neste artigo.

Há uma lenda interessante envolvendo a morte de De Moivre. Segundo ela, De Moivre teria revelado, certa ocasião, que daí para frente teria que dormir, em cada dia, quinze minutos a mais do que no dia anterior. E quando essa progressão aritmética atingiu 24 horas ele de fato teria morrido.

Fonte: Introdução à História da Matemática, Eves

 

Potenciação de Números Complexos na forma Polar ou Trigonométrica

Dado um número complexo não – nulo na forma:

e seja um número n = 1, 2, 3, ...

Podemos escrever a potência do número complexo z como:

Na maioria dos livros, o autor pula desta parte para a fórmula geral. Vou, aqui, demonstrar a Fórmula geral a partir de n = 1, 2, 3, ...

Para n = 1, teremos:

Para n = 2, teremos:

Vejam que:

e

[Veja demonstração do arco duplo aqui]

Logo temos:

Para n = 3, teremos:

Aqui, faremos uma mudança de variáveis, onde:

Substituindo na equação acima, teremos:

Vejam que:

e

No entanto, as variáveis:

Temos então:

Logo:

De modo análogo, podemos calcular a potência de um número complexo na forma polar para n = 4, 5, 6, ...

Assim, podemos generalizar uma fórmula, chegando à 1ª Fórmula de De Moivre:

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Quero agradecer ao amigo e seguidor deste blog Ricardo Tavares, por sugerir um post sobre as fórmulas de De Moivre.

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Veja mais:

Demonstração da 2ª Fórmula de De Moivre
Aplicação da 2ª Fórmula de De Moivre
Números Complexos

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