Demonstração da 1ª Fórmula de De Moivre

Um pouco de História

Abraham De Moivre (1667 – 1754) foi um proeminente matemático francês huguenote que buscou refúgio na Inglaterra após a revogação do Edito de Nantes em 1685, fugindo da perseguição religiosa em seu país natal. Estabelecido em Londres, De Moivre ganhava a vida trabalhando como professor particular e, devido ao seu brilhantismo, tornou-se amigo íntimo de ninguém menos que Isaac Newton.

De Moivre deixou uma marca profunda na história do pensamento matemático. Ele é amplamente reconhecido por suas obras pioneiras: Annuities upon Lives, que desempenhou um papel fundamental no desenvolvimento da matemática atuarial; Doctrine of Chances, considerada um dos pilares da moderna teoria das probabilidades; e Miscellanea analytica, onde trouxe contribuições seminais para o estudo de séries recorrentes, probabilidade e trigonometria analítica.

Embora a autoria de certas descobertas seja frequentemente atribuída a outros cientistas, De Moivre foi o pioneiro no trabalho com a famosa integral de probabilidade (também conhecida como Integral de Gauss):

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi}$$

Essa integral está diretamente associada à curva de distribuição normal, um dos conceitos mais importantes de toda a estatística. Além disso, a célebre Fórmula de Stirling, utilizada para aproximar fatoriais de números muito grandes, foi na verdade uma contribuição original de De Moivre:

$$n! \approx \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$$

No campo da trigonometria analítica, a chave para unificar a geometria geométrica tradicional à álgebra dos números complexos veio em 1707, quando De Moivre propôs uma importante relação para expoentes inteiros. É justamente a demonstração dessa famosa fórmula que estudaremos em detalhes neste artigo.

Uma curiosidade célebre e intrigante envolve os últimos dias do matemático. Reza a lenda que De Moivre percebeu que estava dormindo 15 minutos a mais a cada dia. Sendo um homem de números, ele calculou matematicamente o limite dessa progressão aritmética: no dia em que o tempo de sono acumulado atingisse 24 horas, ele faleceria. De fato, a previsão se concretizou, e ele faleceu no dia exato previsto por seus cálculos.

Potenciação de Números Complexos na Forma Polar

Considere um número complexo não nulo $z$ representado em sua forma trigonométrica (ou polar):

$$z = \rho(\cos (\theta) + i \text{ sen} (\theta))$$

Onde $\rho$ é o módulo do número complexo e $\theta$ é o seu argumento. Se quisermos elevar esse número a uma potência inteira positiva $n$ ($n = 1, 2, 3, \dots$), podemos escrever a expressão da seguinte forma:

$$z^n = [\rho(\cos (\theta) + i \text{ sen} (\theta))]^n = \rho^n (\cos (\theta) + i \text{ sen} (\theta))^n$$

Muitos livros didáticos costumam saltar diretamente dessa definição para a generalização final. Para tornar o entendimento mais intuitivo e transparente, vamos construir o raciocínio passo a passo, analisando o comportamento da fórmula para os primeiros valores de $n$.

Para $n = 1$

No caso trivial onde o expoente é igual à unidade, a expressão permanece inalterada:

$$z^1 = \rho^1 (\cos (\theta) + i \text{ sen} (\theta))^1\\ \ \\ z^1 = \rho (\cos (\theta) + i \text{ sen} (\theta))$$

Para $n = 2$

Ao elevarmos o número complexo ao quadrado, aplicamos o desenvolvimento do produto notável (quadrado da soma):

$$z^2 = \rho^2 (\cos (\theta) + i \text{ sen} (\theta))^2$$ $$z^2 = \rho^2 (\cos^2 (\theta) - \text{ sen}^2 (\theta) + i \cdot 2\text{ sen} (\theta) \cos (\theta))$$

Note que a parte real e a parte imaginária resultantes correspondem exatamente às identidades trigonométricas do arco duplo:

$$\cos^2 (\theta) - \text{ sen}^2 (\theta) = \cos(2\theta)$$ $$2\text{ sen} (\theta) \cos (\theta) = \text{ sen}(2\theta)$$

Substituindo essas identidades na nossa equação, obtemos:

$$z^2 = \rho^2 (\cos(2\theta) + i \text{ sen}(2\theta))$$

Para $n = 3$

Para determinar o cubo de $z$, podemos efetuar o produto entre o resultado anterior ($z^2$) e o próprio número $z$:

$$z^3 = z^2 \cdot z$$

$$z^3 = \rho^2 (\cos(2\theta) + i \text{ sen}(2\theta)) \cdot \rho (\cos (\theta) + i \text{ sen} (\theta))$$

$$z^3 = \rho^3 [ (\cos(2\theta)\cos (\theta) - \text{ sen}(2\theta)\text{ sen} (\theta)) + i (\text{ sen}(2\theta)\cos (\theta) + \cos(2\theta)\text{ sen} (\theta)) ]$$

Neste ponto, podemos simplificar a expressão recorrendo às fórmulas clássicas de adição de arcos da trigonometria:

$$\cos(A + B) = \cos (A) \cos (B) - \text{ sen} (A) \text{ sen} (B)$$

$$\text{ sen}(A + B) = \text{ sen} (A) \cos (B) + \cos (A) \text{ sen} (B)$$

Definindo $A = 2\theta$ e $B = \theta$, as expressões colchetes se reduzem elegantemente a:

$$\cos(2\theta)\cos (\theta) - \text{ sen}(2\theta)\text{ sen} (\theta) = \cos(2\theta + \theta) = \cos(3\theta)$$

$$\text{ sen}(2\theta)\cos (\theta) + \cos(2\theta)\text{ sen} (\theta) = \text{ sen}(2\theta + \theta) = \text{ sen}(3\theta)$$

Assim, o cubo do número complexo é dado por:

$$z^3 = \rho^3 (\cos(3\theta) + i \text{ sen}(3\theta))$$

Esse comportamento se repete de forma análoga para $n = 4, 5, 6, \dots$. A partir desse padrão, podemos estender indutivamente o resultado e enunciar a 1ª Fórmula de De Moivre:

$$z^n = \rho^n (\cos(n\theta) + i \text{ sen}(n\theta))$$

Demonstração Formal por Indução Matemática

Embora a análise para os casos $n=1, 2$ e $3$ nos mostre um padrão claro, na matemática purista isso não constitui uma prova rigorosa para todos os infinitos números naturais. Para consolidar a validade da fórmula para qualquer $n \in \mathbb{N}^*$, recorremos ao Princípio da Indução Matemática.

Passo 1: Base da Indução
Verificamos se a propriedade é válida para o primeiro elemento, $n = 1$:

$$z^1 = \rho^1 (\cos(1\cdot\theta) + i \text{ sen}(1\cdot\theta))\\ \ \\ z^1= \rho(\cos (\theta) + i \text{ sen} (\theta))$$

Como a igualdade se confirma, a base da indução é perfeitamente válida.

Passo 2: Hipótese de Indução
Assumimos como verdade que a fórmula funciona para um determinado valor genérico $n = k$:

$$z^k = \rho^k (\cos(k\theta) + i \text{ sen}(k\theta))$$

Passo 3: Passo Indutivo
A partir da hipótese acima, precisamos provar que a fórmula também se aplica obrigatoriamente para o sucessor, ou seja, para $n = k + 1$. Partimos do desmembramento da potência:

$$z^{k+1} = z^k \cdot z$$

Substituindo $z^k$ pela nossa hipótese e $z$ por sua forma polar original, temos:

$$z^{k+1} = [\rho^k (\cos(k\theta) + i \text{ sen}(k\theta))] \cdot [\rho(\cos (\theta) + i \text{ sen} (\theta))]$$

$$z^{k+1} = \rho^{k+1} [ (\cos(k\theta)\cos (\theta) - \text{ sen}(k\theta)\text{ sen} (\theta)) + i (\text{ sen}(k\theta)\cos (\theta) + \cos(k\theta)\text{ sen} (\theta)) ]$$

Aplicando novamente as relações trigonométricas de adição de arcos (desta vez para os ângulos $k\theta$ e $\theta$), a expressão se simplifica diretamente para:

$$\cos(k\theta)\cos (\theta) - \text{ sen}(k\theta)\text{ sen} (\theta) = \cos(k\theta + \theta) = \cos((k+1)\theta)$$

$$\text{ sen}(k\theta)\cos (\theta) + \cos(k\theta)\text{ sen} (\theta) = \text{ sen}(k\theta + \theta) = \text{ sen}((k+1)\theta)$$

Ao substituir esses blocos na equação principal, chegamos exatamente à tese pretendida:

$$z^{k+1} = \rho^{k+1} (\cos((k+1)\theta) + i \text{ sen}((k+1)\theta))$$

Dado que a base foi testada com sucesso e o passo indutivo provou que a validade se transmite de um número ao seu sucessor, fica formalmente demonstrada a 1ª Fórmula de De Moivre para todo e qualquer $n$ inteiro positivo.

Veja mais:

• Demonstração da 1ª Fórmula de De Moivre
• Demonstração da 2ª Fórmula de De Moivre
• Aplicação da 2ª Fórmula de De Moivre