Demonstração da 2ª Fórmula de De Moivre

A segunda fórmula de De Moivre é muito importante na álgebra, pois com ela é possível efetuarmos a radiciação de números complexos em sua forma polar ou trigonométrica.

Dado um número complexo z em sua forma polar, chamamos o número z_w como raiz n-ésima de z, se, e somente se:

Então, se:

Sua raiz n-ésima será:

Seja z = ρ[cos(θ) + isen(θ)] o número complexo z = a + bi em sua forma polar e seja uma de suas raízes n-ésimas:

Pela definição (1), se aplicarmos a 1ª Fórmula de De Moivre, obteremos:

Desta última igualdade, temos que:

Onde é a raiz n-ésima do número real e positivo ρ.

e

Onde:

Como θ_w é o argumento de z_w, este deve pertencer ao intervalo [0; 2π[.

Se substituirmos (3) e (4) em (2), obteremos:

Esta é a 2ª Fórmula de De Moivre para cálculos de radiciação de números complexos na forma polar.

Vejamos, agora, quais são os valores possíveis para k:

Podemos perceber que k é o número de voltas no círculo trigonométrico. Mas estes n valores de θ_w, não são côngruos, pois a diferença entre duas raízes quaisquer é menor que 2π. Por isso estão todas no intervalo [0, 2π[ (aberto à direita), que dão origem a n valores para z_w.

Se tivermos k = n, teremos:

Que é côngruo a θ / n, para k = 0, e, neste caso, dispensável.

O mesmo ocorre se:

ou

Portanto, k deve variar de 0 a n – 1, dando origem a n raízes distintas de z.

---

Veja mais:

Demonstração da 1ª Fórmula de De Moivre
Aplicação da 2ª Fórmula de De Moivre
Números Complexos

---