Demonstração da 2ª Fórmula de De Moivre

Introdução à Radiciação no Plano Complexo

A segunda fórmula de De Moivre desempenha um papel de extrema relevância na álgebra elementar e na análise complexa. Enquanto a primeira fórmula simplifica o processo de potenciação, esta segunda ferramenta nos permite efetuar, com elegância e precisão, a radiciação de números complexos expressos em sua forma polar ou trigonométrica.

Por definição, dado um número complexo $z$ na forma polar, dizemos que um número complexo $z_w$ é uma raiz enésima de $z$ se, e somente se, a enésima potência de $z_w$ for igual ao próprio $z$. Em termos formais, escrevemos:

$$(z_w)^n = z \quad \text{para } n \in \mathbb{N}^* \tag{1}$$

A Dedução da Fórmula

Para deduzirmos a estrutura matemática dessa operação, vamos representar os números complexos envolvidos a partir de seus respectivos módulos e argumentos. Seja $z$ o número complexo original do qual desejamos extrair as raízes:

$$z = \rho(\cos (\theta) + i \text{ sen} (\theta)) \tag{2}$$

E seja $z_w$ a raiz enésima que procuramos determinar:

$$z_w = \rho_w(\cos (\theta_w) + i \text{ sen} (\theta_w)) \tag{3}$$

Substituindo as equações (2) e (3) na definição fundamental (1), obtemos:

$$[\rho_w(\cos (\theta_w) + i \text{ sen} (\theta_w))]^n = \rho(\cos (\theta) + i \text{ sen} (\theta))$$

Aplicando a 1ª Fórmula de De Moivre ao lado esquerdo da igualdade (elevando o módulo ao expoente e multiplicando o argumento), a equação se transforma em:

$$(\rho_w)^n \left[ \cos(n\theta_w) + i \text{ sen}(n\theta_w) \right] = \rho(\cos (\theta) + i \text{ sen} (\theta))$$

Para que dois números complexos escritos na forma polar sejam idênticos, duas condições independentes devem ser rigorosamente atendidas:

1. Os seus módulos devem ser numericamente iguais: $$(\rho_w)^n = \rho \implies \rho_w = \sqrt[n]{\rho} \tag{4}$$ Nota: Como $\rho$ é um número real e positivo, $\sqrt[n]{\rho}$ representa a raiz enésima real e positiva do módulo.
2. As funções trigonométricas de seus argumentos devem coincidir. Devido à natureza periódica e cíclica das funções seno e cosseno (cujo período fundamental é de $2\pi$ radianos ou 360°), os arcos não precisam ser idênticos, mas necessariamente côngruos: $$n\theta_w = \theta + 2k\pi \quad \text{para } k \in \mathbb{Z}$$

Isolando o argumento desconhecido $\theta_w$ nesta última igualdade, encontramos:

$$\theta_w = \frac{\theta + 2k\pi}{n} \tag{5}$$

Substituindo os resultados encontrados para o módulo (4) e para o argumento (5) de volta na estrutura original de $z_w$ (3), somos conduzidos à formulação geral conhecida como a 2ª Fórmula de De Moivre:

$$z_w = \sqrt[n]{\rho} \left[ \cos\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) + i \text{ sen}\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) \right] \tag{6}$$

A Análise do Parâmetro $k$ e a Quantidade de Raízes

Uma dúvida muito comum entre os estudantes é: quais valores o número inteiro $k$ pode assumir?

Geometricamente, a constante $k$ atua contabilizando o número de voltas que realizamos sobre a circunferência trigonométrica. Contudo, como o nosso objetivo é encontrar raízes que sejam geometricamente e algebricamente distintas, os argumentos obtidos não podem ser côngruos entre si no ciclo trigonométrico principal.

Se analisarmos o comportamento de $\theta_w$ conforme variamos $k$ de forma sucessiva, partindo do zero, notamos o seguinte padrão:

• Para $k = 0 \implies \theta_w = \dfrac{\theta}{n}$
• Para $k = 1 \implies \theta_w = \dfrac{\theta + 2\pi}{n}$
• Para $k = 2 \implies \theta_w = \dfrac{\theta + 4\pi}{n}$
• $\dots$
• Para $k = n - 1 \implies \theta_w = \dfrac{\theta + 2(n-1)\pi}{n}$

O que acontece se prosseguirmos e definirmos $k = n$? Vamos calcular:

$$\theta_w = \frac{\theta + 2n\pi}{n} = \frac{\theta}{n} + 2\pi$$

Note que o argumento resultante $\left(\dfrac{\theta}{n} + 2\pi\right)$ é exatamente o mesmo arco obtido para $k = 0$, diferindo dele apenas por uma volta completa ($2\pi$). Em outras palavras, eles são ângulos côngruos e geram exatamente a mesma raiz complexa no plano. O mesmo comportamento repetitivo ocorrerá se testarmos $k = n + 1$ (que será côngruo a $k = 1$), e assim por diante.

Portanto, para evitar redundâncias e obter todas as soluções únicas, limitamos a variação do índice de controle ao intervalo discreto:

$$k \in \{0, 1, 2, \dots, n - 1\}$$

Esse fato nos garante uma propriedade matemática belíssima: todo número complexo não nulo possui exatamente $n$ raízes enésimas distintas. No Plano de Argand-Gauss, essas $n$ raízes possuem magnitudes idênticas e distribuem-se de forma perfeitamente simétrica, correspondendo geometricamente aos vértices de um polígono regular de $n$ lados inscrito em uma circunferência de raio $\sqrt[n]{\rho}$.

Veja mais:

• Demonstração da 1ª Fórmula de De Moivre
• Demonstração da 2ª Fórmula de De Moivre
• Aplicação da 2ª Fórmula de De Moivre