Aplicação da 2ª Fórmula de De Moivre

Dado um número complexo , vamos determinar as raízes quartas deste número e representá-las no Plano Argand – Gauss.

Sendo , temos que:

Portanto:

Encontramos aqui um seno e cosseno negativos. Se analisarmos o círculo trigonométrico abaixo, podemos observar que este ângulo θ está localizado no 3º quadrante.

[Figura 1: círculo trigonométrico]

Um ângulo θ₁ localizado no 1º quadrante que possui:

é o ângulo de 60°. Mas vejam que o ângulo θ que procuramos possui seno e cosseno negativos. Esta condição só ocorre no 3º quadrante e será dado por:

Podemos, agora, escrevê-lo em radianos. Temos que:

Então:

Logo:

Aplicando a 2º Fórmula de De Moivre, podemos calcular a raiz quarta de z:

Atribuímos valores para k :

Sabemos que π / 3 equivale a 60°, portanto:

Temos que:

O ângulo de 150° está localizado no 2º quadrante, como podemos observar no círculo trigonométrico abaixo:

[Figura 2: círculo trigonométrico]

Vejam que o sen(150°) = sen(30°) e o cos(150°) = – cos(30°). Portanto, seu valor correspondente no primeiro quadrante é o ângulo de 30°.

Com isso, podemos exprimir:

Temos que:

O ângulo de 240° está localizado no 3º quadrante, como podemos observar no círculo trigonométrico abaixo:

[Figura 3: círculo trigonométrico]

Vejam que sen(240°) = – sen(60°) e o cos(240°) = – cos(60°). Portanto, seu valor correspondente no primeiro quadrante é o ângulo de 60°.

Podemos exprimir:

Temos que:

O ângulo de 330° está localizado no 4º quadrante, como podemos observar no círculo trigonométrico abaixo:

[Figura 4: círculo trigonométrico]

Vejam que sen(330°) = – sen(30°) e o cos(330°) = cos(30°). Portanto, seu valor correspondente no primeiro quadrante é o ângulo de 30°.

Podemos exprimir:

Os afixos z₀, z₁, z₂ e z₃ pertencem à circunferência de raio centrada na origem. Eles dividem o Plano de Argand – Gauss em 4 partes congruentes e são os vértices de um quadrado inscrito à circunferência:

[Figura 5: quadrado inscrito à circunferência]

De um modo geral, as afixos z_n de um complexo z ≠ 0 são vértices de um polígono regular de n lados, inscrito à circunferência de raio e centrada na origem do Plano Complexo.

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Demonstração da 1ª Fórmula de De Moivre
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Números Complexos

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