Aplicação da 2ª Fórmula de De Moivre

Após compreendermos a fundamentação teórica por trás da Demonstração da 2ª Fórmula de De Moivre, é hora de vermos como esse conceito se comporta na prática. Neste artigo, resolveremos um exemplo numérico detalhado: vamos determinar as raízes quartas de um número complexo e analisar a sua belíssima disposição geométrica no Plano de Argand-Gauss.

O Problema Prático

Dado o número complexo na forma algébrica $z = -2 - 2\sqrt{3}i$, nosso objetivo é encontrar todas as suas raízes quartas ($\sqrt[4]{z}$) e mapear seus afixos graficamente.

Passo 1: Conversão para a Forma Polar (Trigonométrica)

Antes de aplicar a fórmula de radiciação, precisamos converter o número $z$ de sua forma algébrica para a forma polar. Para isso, identificamos primeiro a sua parte real ($a$) e a sua parte imaginária ($b$):

$$a = -2, \quad b = -2\sqrt{3}$$

Calculando o Módulo ($\rho$)

O módulo representa a distância do afixo até a origem do plano complexo:

$$\rho = |z| \\ \ \\ \rho = \sqrt{a^2 + b^2}\\ \ \\ \rho = \sqrt{(-2)^2 + (-2\sqrt{3})^2} \\ \ \\ \rho = \sqrt{4 + (4 \cdot 3)} \\ \ \\ \rho = \sqrt{4 + 12} \\ \ \\ \rho = \sqrt{16} \\ \ \\ \rho = 4$$

Determinando o Argumento Principal ($\theta$)

Para encontrar o ângulo $\theta$, recorremos às razões trigonométricas fundamentais:

$$\cos \theta = \frac{a}{\rho} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$ $$\text{ sen} \theta = \frac{b}{\rho} = \frac{-2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Note que tanto o seno quanto o cosseno são negativos, o que nos indica imediatamente que o argumento principal $\theta$ pertence ao 3º quadrante do ciclo trigonométrico. Sabendo que o ângulo simétrico de referência no 1º quadrante é $60^\circ \ , \ \left(\dfrac{\pi}{3}\right) \text{ radianos}$, onde cosseno é $\dfrac{1}{2}$ e seno é $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , projetamos este arco no 3º quadrante:

$$\theta = 180^\circ + 60^\circ = 240^\circ$$

Convertendo $240^\circ$ para radianos, obtemos:

$$\theta = 240^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{4\pi}{3}$$

Assim, a forma polar do nosso número complexo é:

$$z = 4 \left( \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) + i \text{ sen}\left(\frac{4\pi}{3}\right) \right)$$

Passo 2: Aplicando a 2ª Fórmula de De Moivre

Relembrando a estrutura matemática da fórmula para a raiz $n$-ésima:

$$z_w = \sqrt[n]{\rho} \left[ \cos\left(\dfrac{\theta + 2k\pi}{n}\right) + i \text{ sen}\left(\dfrac{\theta + 2k\pi}{n}\right) \right]$$

Como queremos as raízes quartas, temos $n = 4$. Substituindo nossos dados ($\rho = 4$ e $\theta = \frac{4\pi}{3}$), a expressão geral assume a forma:

$$z_k = \sqrt[4]{4} \left[ \cos\left(\frac{\dfrac{4\pi}{3} + 2k\pi}{4}\right) + i \text{ sen}\left(\frac{\dfrac{4\pi}{3} + 2k\pi}{4}\right) \right]$$

Podemos simplificar o termo do módulo sabendo que $\sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{2^2} = \sqrt{2}$. Simplificando também a fração do argumento interno por meio de manipulação algébrica elementar:

$$\frac{\dfrac{4\pi}{3} + 2k\pi}{4} = \frac{\dfrac{4\pi + 6k\pi}{3}}{4} = \frac{4\pi + 6k\pi}{12} = \frac{2\pi + 3k\pi}{6}$$

Portanto, nossa equação geradora das raízes simplificada é:

$$z_k = \sqrt{2} \left[ \cos\left(\frac{2\pi + 3k\pi}{6}\right) + i \text{ sen}\left(\frac{2\pi + 3k\pi}{6}\right) \right]$$

Agora, basta atribuirmos à variável inteira os valores correspondentes ao intervalo de raízes distintas, ou seja, $k = 0, 1, 2$ e $3$.

Passo 3: Calculando cada uma das Quatro Raízes

Para $k = 0$ (Primeira Raiz)

$$\theta_0 = \frac{2\pi + 3(0)\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \quad (60^\circ)$$

$$z_0 = \sqrt{2} \left( \cos\frac{\pi}{3} + i \text{ sen}\frac{\pi}{3} \right) = \sqrt{2} \left( \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2}i$$

Para $k = 1$ (Segunda Raiz)

$$\theta_1 = \frac{2\pi + 3(1)\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \quad (150^\circ)$$

O arco de $150^\circ$ está no 2º quadrante (onde $\cos$ é negativo e $\text{ sen}$ é positivo):

$$z_1 = \sqrt{2} \left( \cos\frac{\pmb{5}\pi}{6} + i \text{ sen}\frac{\pmb{5}\pi}{6} \right) = \sqrt{2} \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2} \right) = -\frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$$

Para $k = 2$ (Terceira Raiz)

$$\theta_2 = \frac{2\pi + 3(2)\pi}{6} = \frac{8\pi}{6} = \frac{4\pi}{3} \quad (240^\circ)$$

O arco de $240^\circ$ está de volta ao 3º quadrante (tanto $\cos$ quanto $\text{ sen}$ são negativos):

$$z_2 = \sqrt{2} \left( \cos\frac{4\pi}{3} + i \text{ sen}\frac{4\pi}{3} \right) = \sqrt{2} \left( -\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{6}}{2}i$$

Para $k = 3$ (Quarta Raiz)

$$\theta_3 = \frac{2\pi + 3(3)\pi}{6} = \frac{11\pi}{6} \quad (330^\circ)$$

O arco de $330^\circ$ situa-se no 4º quadrante (onde $\cos$ é positivo e $\text{ sen}$ é negativo):

$$z_3 = \sqrt{2} \left( \cos\frac{11\pi}{6} + i \text{ sen}\frac{11\pi}{6} \right) = \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} - i \frac{1}{2} \right) = \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i$$

Interpretação Geométrica no Plano Complexo

Ao analisarmos os quatro resultados obtidos ($z_0, z_1, z_2$ e $z_3$), podemos extrair conclusões geométricas fascinantes que são válidas para qualquer operação de radiciação de complexos:

1. Raio Constante: Todos os quatro afixos possuem exatamente o mesmo módulo, que é igual a $\sqrt{2}$. Isso significa que, graficamente, todos eles estão localizados sobre uma mesma circunferência centrada na origem de raio $r = \sqrt{2}$.
2. Espaçamento Angular Simétrico: A diferença angular entre duas raízes consecutivas é rigorosamente constante. Subtraindo os argumentos, vemos que: $$\Delta\theta = 150^\circ - 60^\circ = 90^\circ \quad \left(\frac{\pi}{2} \text{ radianos}\right)$$ Esse valor corresponde exatamente a uma volta completa dividida pelo número de raízes $\left(\dfrac{360^\circ}{4} = 90^\circ \right)$.
3. Formação de Polígonos: Como consequência direta desse espaçamento angular idêntico e equidistância da origem, os afixos dividem a circunferência em 4 partes congruentes. Unindo esses quatro pontos no Plano de Argand-Gauss, formamos os vértices de um quadrado perfeito inscrito.

Generalizando essa propriedade para qualquer índice: os afixos das $n$ raízes distintas de um número complexo não nulo sempre representarão os vértices de um polígono regular de $n$ lados inscrito em uma circunferência de raio $\sqrt[n]{\rho}$.

Veja mais:

• Demonstração da 1ª Fórmula de De Moivre
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