21/04/2010

Demonstração de Funções Trigonométricas do semi-arco

Em alguns livros ou mesmo na internet, tratam estas funções como Divisão de Arcos ou como Arco Metade. Decidi chamar de semi-arco, pelo fato desta demonstração ser de uma arco dividido por 2. Vejamos:

 

clip_image002

Da relação trigonométrica fundamental [veja aqui], temos que:

clip_image004

Para um ângulo qualquer, até mesmo para a metade de θ, a relação (1) continua válida e podemos representar como:

clip_image006

Podemos expressar θ como:

clip_image008

E podemos expressar cos(θ) como:

clip_image010

Mas, como:

clip_image012

[Veja esta demonstração aqui]

Logo termos:

clip_image014

Da relação (2), temos:

clip_image016

clip_image018

Substituindo (6) em (5), obtemos:

clip_image020

clip_image022

clip_image024

clip_image026

clip_image028

clip_image030

 

clip_image032

Sabemos pela relação (4) que:

clip_image034

Da relação trigonométrica fundamental, dada em (2), temos:

clip_image016[1]

clip_image036

Substituindo a relação (9) em (8), obtemos:

clip_image038

clip_image040

clip_image042

clip_image044

clip_image046

clip_image002

 

clip_image050

A tangente de um ângulo é dada pela divisão entre o seno e o cosseno deste ângulo, representamos por:

clip_image052

Então, para a tangente do semi-arco, teremos:

clip_image002[6]

Substituindo os valores já determinados para o seno e o cosseno de semi-arcos dados em (7) e (10) na relação (11), obtemos:

clip_image002[4]

clip_image004

clip_image006


Veja mais:

Demonstração da Adição e Subtração de Arcos
Demonstração das Funções Trigonométricas do Arco Duplo
Demonstração da Relação Trigonométrica Fundamental



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3 comentários:

  1. A fórmula (10) não seria sen(theta/2)?

    Abraços,

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  2. Ops...falha minha. Corrigido. Obrigado por avisar!

    ResponderExcluir
  3. Muito boa a explicação !Meus parabéns.

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