Demonstração da derivada da função cosseno

Veremos neste artigo como encontrar a derivada da função cosseno. Para isso, utilizaremos o conceito de derivada, o limite fundamental e uma das fórmulas da prostaférese, que transforma a diferença de cossenos em produto.

Vamos relembrar os seguintes conceitos:

A fórmula da prostaférese que transforma a diferença de cossenos em produto:

$$ \cos(p)-\cos(q) = -2 \text{sen}\left(\frac{p+q}{2}\right) \cdot \text{sen}\left(\frac{p-q}{2}\right) \tag{1} $$

O limite fundamental:

$$ \lim_{x \longrightarrow 0} \frac{\text{sen}(x)}{x} = 1 \tag{2} $$

O conceito de derivada:

$$ f^{\prime} (x) = \lim_{\Delta \longrightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} \tag{3} $$

Seja a função cosseno $f(x) = \cos(x)$. Do conceito da derivada, dado em $(3)$, temos:

$$ f^{\prime}(x) = \lim_{\Delta x \longrightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}\\ \ \\ f^{\prime}(x) = \lim_{\Delta x \longrightarrow 0} \frac{\cos(x+\Delta x) - \cos(x)}{\Delta x} $$

O numerador do limite apresenta uma diferença de cossenos. Utilizamos a fórmula da prostaférese, dada em $(1)$ para transformar em produto:

$$ f^{\prime}(x) = \lim_{\Delta x \longrightarrow 0} \frac{\displaystyle -2\text{sen}\left(\frac{x+\Delta x + x}{2}\right) \cdot \text{sen} \left(\frac{x+\Delta x - x}{2}\right)}{\Delta x} $$

$$ f^{\prime}(x) = \lim_{\Delta x \longrightarrow 0} \frac{\displaystyle -2\text{sen}\left(\frac{2x+\Delta x}{2}\right) \cdot \text{sen} \left(\frac{\Delta x}{2}\right)}{\Delta x} $$

$$ f^{\prime}(x) = \lim_{\Delta x \longrightarrow 0} \frac{\displaystyle -2\text{sen}\left(x + \frac{\Delta x}{2}\right) \cdot \text{sen} \left(\frac{\Delta x}{2}\right)}{\Delta x} $$

Neste momento, $x$ passa a ser uma constante. Fazemos uma mudança de variável:

$$ \frac{\Delta x}{2}=t\\ \ \\ \Delta x = 2t $$

Então, se $\Delta x \longrightarrow 0$, logo $t \longrightarrow 0$. Portanto:

$$ f^{\prime} (x) = \lim_{t \longrightarrow 0} \frac{-2\text{sen}(x+t) \cdot \text{sen}(t)}{2t}\\ \ \\ f^{\prime} (x) = \lim_{t \longrightarrow 0} \frac{-\text{sen}(x+t) \cdot \text{sen}(t)}{t}\\ \ \\ f^{\prime}(x) = \lim_{t \longrightarrow 0} -\text{sen}(x+t) \cdot \lim_{t \longrightarrow 0} \frac{\text{sen}(t)}{t} $$

Aplicando o limite de $t$, obtemos:

$$ f^{\prime}(x) = -\text{sen}(x) \cdot 1 $$

Note que o segundo limite acima é o limite fundamental, dado em $(2)$. Portanto: $f^{\prime}(x) = -\text{sen}(x)$.

Assim, se $f(x)=\cos(x)$, sua derivada será $f^{\prime}(x) = -\text{sen}(x)$.

$$
\boxed{ \ \\
\ \\
\begin{matrix}
\ \ f(x)=\text{cos}(x)\\
\ \\
\ \ \ f'(x) = -\text{sen}(x)\ \ \
\end{matrix}\\
\ \\
}
$$

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🔗 Link do artigo: Integral da função cosseno $\displaystyle \int \text{cos}(x)\ dx$

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