Como calcular a derivada da função cotangente.
A cotangente de um ângulo é definida pela razão do cosseno pelo seno deste ângulo. Seja $f(x)=\text{cotg}(x)$. Iniciamos reescrevendo a tangente como:
$$\text{cotg}(x) = \frac {\cos(x)}{\text{sen}(x)}
$$
Para determinarmos a derivada da função cotangente, utilizamos o conceito de derivada da função quociente. Lembrando que:
$$f^{\prime} \frac{u(x)}{v(x)} = \frac{u^\prime (x) \ v(x) - u(x) \ v^\prime (x)}{v^2(x)}
$$
Fazemos $u(x)=\cos(x)$ e sua derivada será $u^\prime(x)=-\text{sen}(x)$. Fazemos $v(x)=\text{sen}(x)$ e sua derivada será $v^\prime (x) = \cos (x)$. Assim:
$$f^\prime (x) = \frac{-\text{sen}(x) \ \text{sen}(x) - \cos(x) \ \cos(x)}{\text{sen}^2(x)}\\
\ \\
f^\prime (x) = \frac{-\text{sen}^2(x) - \cos^2(x)}{\text{sen}^2(x)}\\
\ \\
f^\prime (x) = \frac{-(\text{sen}^2(x)+\cos^2(x))}{\text{sen}^2(x)}\\
\ \\
f^\prime (x) = -\frac{1}{\text{sen}^2(x)}\\
\ \\
f^\prime (x) = -\text{cossec}(x)
$$
Então, se:
$$
\boxed
{
\ \\
\ \\
\begin{matrix}
\ \ f(x)=\text{cotg}(x)\\
\ \\
\ \ \ f^\prime (x) = -\text{cossec}^2(x)\ \ \
\end{matrix}\\
\ \\
}
$$
\boxed
{
\ \\
\ \\
\begin{matrix}
\ \ f(x)=\text{cotg}(x)\\
\ \\
\ \ \ f^\prime (x) = -\text{cossec}^2(x)\ \ \
\end{matrix}\\
\ \\
}
$$
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