Lembra daquelas tabelas de integrais? Quando estudamos em nossa graduação, muitas vezes somente consultamos as tabelas e tomamos o resultado. Mas como esses resultados foram obtidos? Vamos ver neste artigo a resolução da integral da secante ao quadrado de x.
Este artigo faz parte de uma série de resoluções de integrais que venho fazendo para demonstrar os resultados que encontramos nessas tabelas.
Primeiramente a integral é resolvida passo-a-passo e em seguida é aplicada em exemplos. Para cada integral, utiliza-se técnicas específicas para sua resolução, que pode ser por substituição, por partes, por frações parciais ou substituição trigonométrica ou ainda uma combinação de métodos.
Nesta postagem, vamos demonstrar que:
$$
\int \sec^2 (x)\ dx = \text{tg}(x) + C
$$
\int \sec^2 (x)\ dx = \text{tg}(x) + C
$$
- Leia o artigo sobre A derivada da função secante
- Leia o artigo sobre A integral da função secante
Resolução da integral $\displaystyle \sec^2(x)\ dx $
Seja a integral:
$$I=\int \sec^2 (x)\ dx
$$
Reescrevemos o integrando como uma função inversa da secante:
$$I = \int \frac{1}{\cos^2(x)}\ dx
$$
Utilizamos a identidade trigonométrica fundamental, onde:
$$\text{sen}^2(x) + \cos^2(x) =1
$$
E substituímos o numerador do integrando, obtendo:
$$I = \int \frac{\text{sen}^2(x)+\cos^2(x)}{\cos^2(x)}\ dx
$$
Separamos o integrando como uma soma:
$$I = \int \left[ \frac{\text{sen}^2(x)}{\cos^2(x)} + \frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)}\right]\ dx\\
\ \\
I = \int \left[ \frac{\text{sen}^2(x)}{\cos^2(x)} + 1 \right]\ dx
$$
Como a integral da soma é a soma das integrais, reescrevemos a integral como:
$$I = \int \frac{\text{sen}^2(x)}{\cos^2(x)} dx + \int dx
$$
Integrando a segunda integral, obtemos:
$$I = \int \frac{\text{sen}^2(x)}{\cos^2(x)} dx + x
$$
Agora, na primeira integral, fatoramos o numerador como um produto de senos:
$$I = \int \text{sen}(x) \cdot \frac{\text{sen}(x)}{\cos^2(x)}\ dx + x
$$
Utilizaremos o método de integração por partes para resolver esta integral. Fazemos:
$$u = \text{sen}(x) \quad \text{para obter} \quad du=\cos(x)\ dx\\
\ \\
dv = \frac{\text{sen}(x)}{\cos^2(x)} \quad \text{para obter} \quad v=\frac{1}{\cos(x)}
$$
Lembrando que:
$$\int u\ dv = u\ v - \int v\ du
$$
Assim:
$$I = \text{sen}(x) \cdot \frac{1}{\cos(x)} - \int \frac{1}{\cos(x)} \cdot \cos(x)\ dx + x\\
\ \\
I = \frac{\text{sen}(x)}{\cos(x)} - \int dx + x\\
\ \\
I = \text{tg}(x) - x + x + C\\
\ \\
I = \text{tg}(x) + C
$$
Em muitos casos, a nossa experiência em resolução de integrais faz toda a diferença, no sentido de decidir qual método utilizar ou quais artifícios funcionam melhor. Neste caso, a estratégia foi utilizar a identidade trigonométrica fundamental para podermos separar o integrando e quando foi aplicado o método de integração por partes, obtivemos $v=\cfrac{1}{\cos(x)}$, que não é algo trivial.
Exemplo:
Vamos calcular a área sob a curva $f(x)=\sec^2(x)$ no intervalor de $x=0$ a $x=\pi/4$.
Para calcularmos a área sob a curva, utilizamos o conceito de integral definida e utilizaremos o resultado obtido anteriormente.
Representamos a área sombreada no gráfico acima como:
$$A = \int_0^{\pi/4} \sec^2(x)\ dx
$$
Utilizando o resultado acima, de que a integral da $sec^2(x)$ é igual a $\text{tg}(x)$, fazemos:
$$A = \Big[ \text{tg}(x) \Big]_0^{\pi/4}\\
\ \\
A = \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) - \text{tg}(0)
$$
A tangente de $\pi/4$ é equivalente à tangente de $45°$ e vale $1$. E a tangente de $0$ é igual a zero. Assim:
$$A = 1 - 0\\
\ \\
A = 1
$$
Assim, a área desejada vale 1 unidade de área.
Links para este artigo:
- https://bit.ly/integral-sec-ao-quadrado
- https://www.obaricentrodamente.com/2021/12/resolucao-da-integral-da-secante-ao-quadrado-de-x.html
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