19/08/2018

Notação para a integral definida

Desde os tempos mais remotos o homem vem aprimorando seus métodos de analisar a natureza e expressá-la em forma de equações.

O cálculo é uma das criações supremas do pensamento humano. No cálculo combinam-se e interligam-se ideias geométricas com ideias analíticas, construindo-se instrumentos poderosos para a resolução e interpretação de problemas e fenômenos.

A resolução de determinados problemas, que só foi possível com a criação do cálculo, veio aumentar de uma forma significativa o poder da Matemática.

Leia o artigo sobre o Panorama da História do Cálculo.

Notação para a integral definida

Como se lê?

A área $A$ é a integral da função $f(x)$, no intervalo $[a,b]$, onde $\displaystyle \int$ é o símbolo de integral, $f(x)$ é o integrando, $dx$ é a diferencial ou variável independente de integração e $a$ e $b$ são os limites de integração inferior e superior, respectivamente.

O que diz?

Calcular a integral de uma função e aplicar os limites de integração, encontrando  área entre a curva e o eixo dos $x$. A área é a soma das áreas dos retângulos de larguras infinitesimais $dx$, no intervalo fechado $[a,b]$, conhecida como soma de Riemann.

Por que é importante?

A semente do Cálculo foi plantada por Arquimedes (287a.C - 212a.C.), mas foi devidamente estruturado e desenvolvido independentemente por Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Leibniz (1646-1716), embora outros matemáticos anteriores chegaram bem perto de uma teoria consistente, como por exemplo Pascal, Fermat, Stevin e Torricelli.

É uma ferramenta fundamental que proporciona os conhecimentos necessários para modelar problemas presentes na natureza, no âmbito profissional e tecnológico.

Quais foram as consequências?

Permitiu calcular áreas limitadas por curvas que, até então, eram calculadas através do método da exaustão desenvolvido por Arquimedes. Também permitiu aplicar em estudos sobre pressão, hidrostática, crescimento populacional, economia, transferência de calor, comprimento de arcos, volume de sólidos, momento de inércia, energia no campo elétrico, centro de massa de um corpo, trabalho de uma força, probabilidades e muitas outras aplicações.

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2 comentários:

  1. o que significa variavel independente de integração, minhas aulas foram muito vagas sobre integral.

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    Respostas
    1. Olá Marcelo, como vai?

      O operador $dx$ indica que estamos integrando (somando) partes infinitesimais. O $x$ é a variável na qual estamos integrando.

      Se você imaginar que a área sob uma curva $f(x)$ pode ser aproximado por retângulos verticais cujas larguras são de tamanhos infinitesimais e valem $dx$, a integral é a soma das áreas de todos estes retângulos. Então, se houver o símbolo de integral $\int$, obrigatoriamente deve haver o $dx$. Se a função a integrar tiver a variável $z$, então teremos $dz$.

      Tem um artigo sobre o cálculo integral: O cálculo integral.

      Espero ter ajudado.

      Um abraço.

      Excluir

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