A Lei de Boyle-Mariotte (ou simplesmente Lei de Boyle) é um dos princípios fundamentais da termodinâmica dos gases perfeitos. Formulado originalmente no século XVII por Robert Boyle e Edme Mariotte, o modelo descreve o comportamento de um gás ideal quando mantido a uma temperatura constante (processo isotérmico).
O que torna essa propriedade física matematicamente elegante é o fato de que podemos modelar e prever a relação entre o volume e a pressão de um gás utilizando ferramentas básicas do cálculo integral e uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de variáveis separáveis.
Formulação matemática
Consideremos uma quantidade fixa de um gás ideal confinado em um recipiente fechado. Experimentalmente, observa-se que, se mantivermos a temperatura rigorosamente constante, um aumento na pressão aplicada sobre o gás resulta em uma diminuição proporcional do seu volume. Da mesma forma, se expandirmos o volume, a pressão interna diminui.
Em termos de taxas de variação, isso significa que a taxa com que o volume $V$ muda em relação à pressão $p$ é inversamente proporcional à própria pressão e diretamente proporcional ao volume atual do gás.
Podemos expressar esse comportamento através da seguinte equação diferencial de primeira ordem:
$$ \frac{dV}{dp} = - \frac{V}{p} \tag{1} $$Onde:
- A diferencial $\dfrac{dV}{dp}$ representa a derivada do volume em relação à pressão, ou seja, a velocidade de mudança do volume à medida em que a pressão varia.
- A fração $\dfrac{V}{p}$ reflete a proporcionalidade inversa entre o volume e a pressão
- O sinal negativo $(-)$ indica que a taxa de variação é negativa, ou seja, a função $V(p)$ é estritamente decrescente. Fisicamente, ele garante que as grandezas caminham em sentidos opostos. Se a variação da pressão for positiva, a variação do volume será obrigatoriamente negativa
Resolvendo a EDO por separação de variáveis
A equação $(1)$ é uma EDO linear separável clássica. Para resolvê-la, precisamos isolar todos os termos que contêm a variável $V$ de um lado da igualdade e todos os termos com a variável $p$ do outro. Fazemos:
Multiplicamos ambos os membros por $dp$ e dividimos por $V$:
$$ \frac{dV}{V} = - \frac{dp}{p} $$Com as variáveis perfeitamente separadas, aplicamos a integral em ambos os membros:
$$ \int \frac{dV}{V} = -\int \frac{dp}{p} $$Calculamos as integrais, obtendo os logaritmos naturais correspondentes:
$$ \ln (V) = -\ln(p) + C $$Onde $C$ é a constante de integração.
Isolando as variáveis de definindo a constante
Para simplificar a expressão obtida, podemos agrupar os termos utilizando as propriedades operatórias dos logaritmos:
Isolamos $C$, somando $\ln(p)$ em mabos os lados:
$$ \ln (V) + \ln(p) = C $$Aplicamos a propriedade da dsoma de logaritmos, obtendo:
$$ \ln (V \cdot p) = C $$Para eliminar o logaritmos, aplicamos a exponencial $e$ em ambos os lados da equação:
$$ e^{\ln (V \cdot p)} = e^C $$Como a função exponencial e o logaritmo natural são operações inversas, o lado esquerdo simplifica-se para o produto das variáveis. Além disso, sabendo que o exponencial de uma constante genérica $C$ resulta em uma nova constante positiva, podemos definir $e^C = K$:
$$ p\cdot V = K \tag{2} $$A equação $(2)$ é a solução geral da nossa EDO e representa a forma analítica clássica da Lei de Boyle: o produto da pressão pelo volume de um gás ideal sob temperatura constante permanece sempre invariável (constante).
Exemplo:
Suponha que um cilindro dotado de um pistão móvel contenha uma amostra de gás ideal ocupando um volume inicial de $V_0 = 3\text{ ml}$ sob a pressão atmosférica padrão de $p_0 = 1\text{ atm}$. Se empurrarmos o pistão comprimindo o gás de forma lenta (garantindo que a temperatura não mude) até que o volume seja reduzido para $V_1 = 1\text{ ml}$, qual será a nova pressão interna do sistema?
Determinando a constante de proporcionalindade $(K)$:
Utilizadno as condições iniciais de referência $V=3$ e $p=1$, substituímos o valores na solução encontrada na equação $(2)$:
$$ K = p_0 \cdot V_0\\ \ \\ K = 1 \cdot 4\\ \ \\ K = 3 $$Calculando a pressão:
Agora que conhecemos o valor fixo do sistema $(K=3)$, aplicamos a mesma equação para determinar a nova pressão $p_1$ quand o volume dor $V_1=1\text{ ml}$:
$$ p_1 \cdot V_1 = K\\ \ \\ p_1 \cdot 1 = 3\\ \ \\ p_1 = 3\text{ atm} $$Como o volume foi reduzido a um terço do seu valor original (de 3 ml para 1 ml), a pressão interna foi triplicada de forma proporcional, passando de 1 atm para 3 atm.
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