23/08/2018

O número de ouro no cateto de um triângulo retângulo

Este artigo traz um meio de encontrar o número de ouro no triângulo retângulo, considerando que um dos catetos seja a metade do outro.

Proporção áurea, número de ouro, número áureo, secção áurea, proporção de ouro, é uma constante real algébrica irracional denotada pela letra grega $\Phi$ (phi), em homenagem ao escultor Phideas (Fídias), que a teria utilizado para conceber o Parthenon, e com o valor arredondado a três casas decimais de 1,618.

Vamos inicialmente relembrar o que significa dividir um segmento em média e extrema razão. No Livro VI de Os Elementos, Euclides dá a seguinte definição da divisão em média e extrema razão:

"Um segmento de reta se diz dividido em média e extrema razão, se a razão entre o menor e o maior dos segmentos é igual à razão entre o maior e o segmento todo."

Iniciamos a construção do triângulo retângulo, cujo segmento $\overline{BC}$ é a metade do segmento $\overline{AB}$. Em seguida, descrevemos um arco centrado em $C$ com raio $\overline{BC}$, interceptando a hipotenusa em $D$. E com centro em $A$ e raio $\overline{AD}$, descrevemos outro arco interceptando o segmento $\overline{AB}$ em $E$. O ponto $E$ divide o segmento $\overline{AB}$ em média e extrema razão. Ou seja:
$$\frac{AB}{AE} = \frac{AE}{EB}= \Phi \approx 1,618
$$
O número de ouro no cateto de um triângulo retângulo

Vamos inicialmente encontrar o segmento $\overline{AE}$ em função do segmento $\overline{AB}$. Considerando o triângulo retângulo da imagem acima, aplicamos o teorema de Pitágoras:
$$
\overline{AC}^{\ 2} = \overline{AB}^{\ 2} + \overline{BC}^{\ 2} \tag{1}
$$
Mas por definição, o cateto $\overline{BC}$ é a metade do cateto $\overline{AB}$:
$$
\overline{BC} = \frac{\overline{AB}}{2} \tag{2}
$$
Substituindo $(2)$ em $(1)$, obtemos:
$$
\overline{AC}^{\ 2} = \overline{AB}^{\ 2} + \frac{\ \overline{AB}^{\ 2}\ }{4}\\
\ \\
\overline{AC}^{\ 2} = \frac{5\ \overline{AB}^{\ 2}}{4}
$$
Extraindo a raiz de ambos os lados da relação, obtemos:
$$
\overline{AC} = \overline{AB}\ \frac{\sqrt{5}}{2} \tag{3}
$$
O segmento $\overline{AC} = \overline{AD} + \overline{CD}$ e como $\displaystyle \overline{CD} = \overline{BC} = \frac{\ \overline{AB}\ }{2}$, temos:
$$
\overline{AB}\ \frac{\sqrt{5}}{2} = \overline{AD} + \frac{\ \overline{AB}\ }{2}\\
\ \\
\overline{AD} = \overline{AB}\ \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{\ \overline{AB}\ }{2}
$$
O que nos leva a:
$$
\overline{AD} = \overline{AE} =  \overline{AB}\ \frac{\left( \sqrt{5} - 1 \right)}{2} \tag{4}
$$

Teorema:

Em um triângulo retângulo onde um dos catetos é a metade do outro, existe um ponto no cateto maior que o divide em média e extrema razão e pode ser construído com régua e compasso.

Seja um triângulo retângulo, como triângulo retângulo da imagem acima, cujo cateto $\overline{BC}$ é a metade do cateto $\overline{AB}$. Então o ponto $E$ divide o cateto $\overline{AB}$ em média e extrema razão e pode ser obtido descrevendo apenas dois arcos de circunferência, de modo que:
$$
\Phi = \frac{\ \overline{AB}\ }{\ \overline{AE}\ } = \frac{\ \overline{AE}\ }{\ \overline{EB}\ }
$$Para provar estas igualdades, faremos as demonstrações separadamente.

Demonstração 1:

Provemos inicialmente que:
$$
\Phi = \frac{\ \overline{AB}\ }{\ \overline{AE}\ } \tag{5}
$$
Substituindo a relação $(4)$ em $(5)$, obtemos:
$$
\Phi = \frac{\ \overline{AB}\ }{\displaystyle \frac{\ \overline{AB}\ \left(\sqrt{5}-1\right)}{2}}\\
\ \\
\Phi = \frac{2\ \overline{AB}\ }{\ \overline{AB}\ \left(\sqrt{5}-1 \right)}\\
\ \\
\Phi = \frac{2}{\left(\sqrt{5}-1\right)} \cdot \frac{\left(\sqrt{5}+1\right)}{\left(\sqrt{5}+1\right)}\\
\ \\
\Phi = \frac{2\ \left(\sqrt{5}+1\right)}{5-1}\\
\ \\
\Phi = \frac{2\ \left(\sqrt{5}+1\right)}{4}\\
\ \\
\Phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\\
$$

Demonstração 2:

E agora provemos que:
$$
\Phi = \frac{\ \overline{AE}\ }{\ \overline{EB}\ } \tag{6}
$$
Substituindo a relação $(4)$ em $(6)$, obtemos:
$$
\Phi = \frac{\ \displaystyle \overline{AB}\ \frac{\left(\sqrt{5}-1\right)}{2} }{\ \overline{EB}} \tag{7}
$$
O cateto $\overline{AB}$ é igual à soma dos segmentos $\overline{AE}$ e $\overline{EB}$. Então:
$$
\overline{EB} = \overline{AB} - \overline{AE}\\
\ \\
\overline{EB} = \overline{AB} - \overline{AB}\ \frac{\left(\sqrt{5}-1\right)}{2}\\
\ \\
\overline{EB} = \frac{\overline{AB}\ \left(2 - \left( \sqrt{5}-1 \right) \right)}{2} \tag{8}
$$
Substituindo $(8)$ em $(7)$:
$$
\Phi = \frac{\ \displaystyle \overline{AB}\ \frac{\left(\sqrt{5}-1\right)}{2} }{\displaystyle \frac{\overline{AB}\ \left(2 - \left( \sqrt{5}-1 \right) \right)}{2}}\\
\ \\
\Phi = \frac{\ \overline{AB} \left(\sqrt{5}-1\right)}{2} \cdot \frac{2}{\ \overline{AB}\left(2-\left(\sqrt{5}-1\right)\right)}\\
\ \\
\Phi = \frac{\left(\sqrt{5}-1\right)}{\left(3-\sqrt{5}\right)}\\
\ \\
\Phi = \frac{\left(\sqrt{5}-1\right)}{\left(3-\sqrt{5}\right)} \cdot \frac{\left(3+\sqrt{5}\right)}{\left(3+\sqrt{5}\right)}\\
\ \\
\Phi = \frac{3\ \sqrt{5} + 5 - 3 - \sqrt{5}}{9-5}\\
\ \\
\Phi = \frac{2\ \sqrt{5}+2}{4}\\
\ \\
\Phi = \frac{2\left(1+\sqrt{5}\right)}{4}\\
\ \\
\Phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}
$$
Como pudemos ver, realmente o ponto $E$ divide o cateto $\overline{AB}$ em média e extrema razão, uma vez que:
$$
\Phi = \frac{AB}{AE} = \frac{AE}{EB}
$$

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