23/12/2010

O número prateado

O número prateado, ou razão prateada é uma constante matemática. Seu nome é uma alusão ao Número de Ouro, que é a razão limitante da seqüência de Fibonacci. Analogamente, o número prateado é a razão limitante da sucessão de Pell.

Duas quantidades estão em proporção de prata se a razão entre a maior e a menor é o número prateado. Esta razão define o número prateado como um número irracional, cujo valor equivale a $1+\sqrt{2}$.

O número prateado


Definição:

A razão prateada, simbolizada por $\delta_S$, é um número irracional definido pela soma:
$$
\delta_S = 1+\sqrt{2} = 2,41421356237309 \cdots
$$
Desta definição segue que:
$$
\left( \delta_S -1 \right)^2 = 2
$$

Fração contínua

A razão prateada pode ser escrita sob a forma de uma fração contínua:
$$
\delta_S = 2 + \frac{1}{\displaystyle 2+\frac{1}{\displaystyle 2+\frac{1}{\displaystyle 2 + \cdots}}}
$$

Potências do Número Prateado

Podemos, ainda, observar algumas propriedades do número prateado:
\begin{matrix}
\delta_S^0 &=& 1&&\\
\ \\
\delta_S^1 &=& \delta_S &=& 1+\sqrt{2}\\
\ \\
\delta_S^2 &=& \big(1+\sqrt{2}\big)^2 &=&2\ \delta_S+1\\
\ \\
\delta_S^3 &=& \big(1+\sqrt{2}\big)^3 &=&5\ \delta_S+2\\
\ \\
\delta_S^4 &=& \big(1+\sqrt{2}\big)^4 &=& 12\ \delta_S+5
\end{matrix}
E para a enésima potência de $\delta_S$, temos:
$$
\delta_S^n = 2\ K_{n-1} + K_{n-2}
$$

Vejam que $K$ é cada uma das etapas de iteração. Se quisermos encontrar o número prateado de grau $5$, calculamos $K_5$:
$$
\delta_S^5 = 2\ K_4 + K_3\\
\ \\
\delta_S^5 = 2\big(12\ \delta_S+5\big) + \big(5\ \delta_S+2\big)\\
\ \\
\delta_S^5 = 24\ \delta_S + 10 + 5\ \delta_S + 2\\
\ \\
\delta_S^5 = 29\ \delta_S + 12
$$
Para $K_6$, temos que:
$$
\delta_S^6 = 2\ K_5 + K_4\\
\ \\
\delta_S^6 = 2\big(29\ \delta_S + 12\big) + \big(12\ \delta_S + 5\big)\\
\ \\
\delta_S^6 = 58\ \delta_S + 24 + 12\ \delta_S + 5\\
\ \\
\delta_S^6 = 70\ \delta_S + 29
$$
Vejam que as iterações sempre dependem de duas iterações anteriores, exatamente como na seqüência de Fibonacci.

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4 comentários:

  1. Olá, Kleber!
    Este assunto do número prateado era novidade absoluta para mim! Vou dar uma mergulhada no estudo sobre o dito cujo, mas, como você fez e aliás, sempre faz quando apresenta uma novidade, não vejo mais nenhuma dificuldade nisso, até uma aplicação (proporção no papel A4) você já expôs, então... vou em busca de outras.
    Aproveito a ocasião para desejar para você e família, meus votos de boas festas e de um feliz ano novo! Valeu, amigo!
    [1]!!!!!

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  2. Olá Valdir!!!Obrigado pelo comentário. Na verdade, peguei parte do que encontrei no Wikipédia em espanhol dei uma trabalhada nele. Ficou assim.

    Acho que uma das coisas qeu devemos trabalhar é no número de Pell, já que é a partir deste que o número é gerado. Ainda vou trabalhar mais nisso.

    Um forte abraço amigo, e desejo a você e sua família um ótimo Natal e excelente Ano novo!!!!

    Acho que este é o último post do ano.

    Até +!!!

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  3. ola kleber. Muito legal esse tema nunca tinha lido algo sobre. Parabens pelo otimo blog! Um abraço.
    Prof. Mario

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  4. $1+\sqrt{2}$ humm ... interessante!

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