30/04/2011

O retângulo prateado

O número prateado, ou razão prateada é uma constante matemática. Seu nome é uma alusão ao Número de Ouro, que é a razão limitante da seqüência de Fibonacci. Analogamente, o número prateado é a razão limitante da sucessão de Pell.

Duas quantidades estão em proporção de prata se a razão entre a maior e a menor é o número prateado. Esta razão define o número prateado como um número irracional, cujo valor equivale a $1+\sqrt{2}$.

Neste post veremos a construção e a demonstração do retângulo prateado.

O retângulo prateado


Definição 1:

Um retângulo é chamado de Retângulo Prateado se a razão entre dois de seus lados adjacentes for igual ao número prateado.

O número prateado $\delta_S$, como já vimos, equivale a:
$$
\delta_S = 1+\sqrt{2}
$$
Para a construção geométrica do retângulo prateado, iniciamos com um quadrado de lodo $a$. Em seguida, construímos um novo quadrado de lado $a$ adjacente ao primeiro. Com a ponta seca do compasso em $D$ e raio $DE$, descrevemos um arco de circunferência até intersectar o prolongamento do segmento $DF$, marcando o ponto $H$. Por $H$ subimos um perpendicular intersectando o prolongamento de $CE$ em $G$. O quadrilátero $ABGH$ é o retângulo prateado.

Construção do retângulo prateado

Desta forma, a razão entre os lados do retângulo é igual ao número prateado:
$$
\delta_S = \frac{BG}{AB} = 1+\sqrt{2}
$$

Demonstração: 

Como a diagonal $DE$ é igual à raiz quadrada de $2$, temos que:
\begin{cases}
AB = a\\
\ \\
BG = a + \sqrt{2}
\end{cases}
De acordo com a definição 1, temos que:
$$
\frac{BG}{AB} = \frac{a+a\ \sqrt{2}}{a}=1+\sqrt{2}=\delta_S \tag{1}
$$
Provemos agora que o quadrilátero $EGHF$ também é um retângulo prateado, de modo que a razão entre os lados $GH$ e $FH$ é igual ao número prateado. Temos os segmentos:
\begin{cases}
GH = a\\
\ \\
FH = a\ \sqrt{2}-a
\end{cases}
Desta forma, e segundo a definição 1, temos:
$$
\frac{GH}{FH} = \frac{1}{a\ \sqrt{2} - a} = 1+\sqrt{2} = \delta_S \tag{2}
$$
Assim, se posicionarmos a ponta seca do compasso no ponto $J$ com raio $JK$ e descrevermos um arco até interceptar o segmento $EF$¸ veremos que a intersecção se dará em $F$.

Continuemos com nossa prova considerando o quadrilátero $FHKL$. Temos os segmentos:
$$
FH = a\ \sqrt{2}
$$
e o segmento $KL$ é igual a:
$$
KL = a-2\big(a\ \sqrt{2}-a\big)\\
\ \\
KL = a\big(3-2\ \sqrt{2}\big)
$$
A razão entre os lados do retângulo $FHKL$ é:
$$
\frac{FH}{FL} = \frac{a\ \sqrt{2}-a}{a\big(3-2\ \sqrt{2}\big)}\\
\ \\
\frac{FH}{FL} = \frac{a\big(\sqrt{2}-1\big)}{a\big(3-2\ \sqrt{2}\big)}\\
\ \\
\frac{FH}{FL} = 1+\sqrt{2}\\
\ \\
\frac{FH}{FL}=\delta_S
$$
Percebemos que a razão prateada está em todos os retângulos derivados do primeiro. Ainda podemos observar que a razão entre as áreas dos retângulos é constante e é dada por:
$$
\frac{A_1}{A_2}=\frac{A_2}{A_3}=\frac{A_3}{A_4}=\frac{A_{n-1}}{A_n}=2\ \sqrt{2}+3
$$
A proporção inversa é dada por:
$$
\frac{A_2}{A_1} = 3-2\ \sqrt{2}
$$

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2 comentários:

  1. Muito boa a construção do retângulo prateado. Outra forma é a seguinte, considere um retângulo de altura unitária e base x. Dizemos que este retângulo é prateado se x/1 = 1/(x-2). Neste caso, x é o número prateado. Obrigado pelos links. Abraços!

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  2. É verdade Paulo, isso nos leva a uma equação:
    $x^2-2x-1=0$
    Que após ser resolvida, encontramos o número prateado:
    $\delta_S = 1+\sqrt{2}$

    Um abraço!

    ResponderExcluir

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