30/04/2011

O Retângulo Prateado

Definição 1: Um retângulo é chamado de Retângulo Prateado se a razão entre dois de seus lados adjacentes for igual ao número prateado.

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O número prateado δS, como já vimos, equivale a:

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Para a construção geométrica do retângulo prateado, iniciamos com um quadrado de lodo a; em seguida, construímos um novo quadrado de lado a adjacente ao primeiro. Com a ponta seca do compasso em D e raio DE, descrevemos um arco de circunferência até intersectar o prolongamento do segmento DF, marcando o ponto H. Por H, subimos um perpendicular intersectando o prolongamento de CE em G. O quadrilátero ABGH é o retângulo prateado.

imageDesta forma, a razão entre os lados do retângulo é igual ao número prateado:

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Demonstração:

Como a diagonal DE é igual à raiz quadrada de 2, temos que:

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De acordo com a definição 1, temos que:

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Provemos agora que o quadrilátero EGHF também é um retângulo prateado, de modo que a razão entre os lados GH e FH é igual ao número prateado. Temos os segmentos:

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Desta forma, e segundo a definição 1, temos:

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Assim, se posicionarmos a ponta seca do compasso no ponto J com raio JK e descrevermos um arco até interceptar o segmento EF¸ veremos que a intersecção se dará em F.

Continuemos com nossa prova considerando o quadrilátero FHKL. Temos os segmentos:

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e o segmento KL é igual a:

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A razão entre os lados do retângulo FHKL é:

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Percebemos que a razão prateada está em todos os retângulos derivados do primeiro. Ainda podemos observar que a razão entre as áreas dos retângulos é constante e é dada por:

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A proporção inversa é dada por:

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Veja mais:

O Número Prateado
O Número Prateado e a Área do Octógono Regular
O Número Prateado na Trigonometria
Algumas Propriedades do Número Prateado no blog Fatos Matemáticos
A Razão Áurea no blog Fatos Matemáticos


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2 comentários:

  1. Muito boa a construção do retângulo prateado. Outra forma é a seguinte, considere um retângulo de altura unitária e base x. Dizemos que este retângulo é prateado se x/1 = 1/(x-2). Neste caso, x é o número prateado. Obrigado pelos links. Abraços!

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  2. É verdade Paulo, isso nos leva a uma equação:
    $x^2-2x-1=0$
    Que após ser resolvida, encontramos o número prateado:
    $\delta_S = 1+\sqrt{2}$

    Um abraço!

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