A equação do número prateado

O número prateado, ou razão prateada é uma constante matemática. Seu nome é uma alusão ao Número de Ouro, que é a razão limitante da seqüência de Fibonacci. Analogamente, o número prateado é a razão limitante da sucessão de Pell.

Duas quantidades estão em proporção de prata se a razão entre a maior e a menor é o número prateado. Esta razão define o número prateado como um número irracional, cujo valor equivale a $1+\sqrt{2}$.

Neste post veremos como encontrar a equação do número prateado, utilizando para isso proporções no retângulo prateado.

Definição 1:

O número prateado ou número de prata, ou ainda razão prateada, é uma constante irracional simbolizada por $\delta_S$ e numericamente vale:

$$\begin{equation*} \delta_S=1+\sqrt{2} \tag{1} \end{equation*}$$

Definição 2:

Um retângulo prateado é aquele cuja razão entre dois de seus lados adjacentes seja igual ao número prateado. Assim, tomando um retângulo de lados iguais a $AB$ e $AD$, a razão:

$$\begin{equation*} \frac{AB}{AD}=\delta_S=1+\sqrt{2} \tag{2} \end{equation*}$$
Partindo da construção geométrica do retângulo prateado, podemos deduzir a equação do número prateado. Considere o retângulo da figura acima. Pela definição de retângulo prateado, temos que a razão de prata é dada por:

$$\begin{equation*} \delta_S=\frac{AB}{AD} \tag{3} \end{equation*}$$

Usando semelhança de triângulos entre os retângulos $ABCD$ e $EBCF$, podemos deduzir que:

$$\begin{equation*} \frac{AD}{AB}=\frac{BE}{BC} \tag{4} \end{equation*}$$

No entanto, $BE=AB-2AD$, já que $AE=2AD$, e também $BC=AD$. Assim, podemos fazer estas substituições em $(4)$, obtendo:

$$\begin{equation*} \frac{AD}{AB}=\frac{AB-2AD}{AD} \tag{5} \end{equation*}$$

Mas, pela relação $(3)$, temos que $\displaystyle \delta_S=\frac{AB}{AD}$, e seu inverso será $\displaystyle \frac{1}{\delta_S}=\frac{AD}{AB}$. Assim:

$$\begin{equation*} \tag{6} \frac{1}{\delta_S}=\frac{AB-2AD}{AD}\\ \ \\ \frac{1}{\delta_S}=\frac{AB}{AD}-\frac{2AD}{AD}\\ \ \\ \frac{1}{\delta_S}=\delta_S-2 \end{equation*}$$

Multiplicando ambos os lados da equação por $\delta_S$ para eliminar o denominador:

$$\begin{equation*} 1=\delta_S^2-2\delta_S \tag{7} \end{equation*}$$
E assim obtemos:
$$\begin{equation*} \delta_S^2-2\delta_S-1=0 \tag{8} \end{equation*}$$

A equação obtida em $(8)$ é a equação do número prateado. Podemos resolver esta equação utilizando a fórmula para a equação de segundo grau:

$$\begin{equation*} \tag{9} \delta_S=\frac{2\pm \sqrt{8}}{2}\\ \delta_{S_1}=1+\sqrt{2}\\ \delta_{S_2}=1-\sqrt{2} \end{equation*}$$

Tomamos então a raiz positiva: $\delta_S=1+\sqrt{2}$ como solução da equação, encontrando o número prateado.

Links para este artigo:

• http://bit.ly/equacao-prateada
• https://www.obaricentrodamente.com/2014/07/a-equacao-do-numero-prateado.html

Veja mais:

• O Número Prateado
• O Retângulo Prateado
• O Número Prateado na Trigonometria
• O Número Prateado e a Área do Octógono Regular