30/07/2014

A equação do número prateado

O número prateado, ou razão prateada é uma constante matemática. Seu nome é uma alusão ao Número de Ouro, que é a razão limitante da seqüência de Fibonacci. Analogamente, o número prateado é a razão limitante da sucessão de Pell.

Duas quantidades estão em proporção de prata se a razão entre a maior e a menor é o número prateado. Esta razão define o número prateado como um número irracional, cujo valor equivale a $1+\sqrt{2}$.

Neste post veremos como encontrar a equação do número prateado, utilizando para isso proporções no retângulo prateado.

A equação do número prateado

Definição 1:

O número prateado ou número de prata, ou ainda razão prateada, é uma constante irracional simbolizada por $\delta_S$ e numericamente vale:
\begin{equation*}
\delta_S=1+\sqrt{2} \tag{1}
\end{equation*}

Definição 2:

Um retângulo prateado é aquele cuja razão entre dois de seus lados adjacentes seja igual ao número prateado. Assim, tomando um retângulo de lados iguais a $AB$ e $AD$, a razão:
\begin{equation*}
\frac{AB}{AD}=\delta_S=1+\sqrt{2} \tag{2}
\end{equation*}
Partindo da construção geométrica do retângulo prateado, podemos deduzir a equação do número prateado. Considere o retângulo da figura acima. Pela definição de retângulo prateado, temos que a razão de prata é dada por:
\begin{equation*}
\delta_S=\frac{AB}{AD} \tag{3}
\end{equation*}
Usando semelhança de triângulos entre os retângulos $ABCD$ e $EBCF$, podemos deduzir que:
\begin{equation*}
\frac{AD}{AB}=\frac{BE}{BC} \tag{4}
\end{equation*}
No entanto, $BE=AB-2AD$, já que $AE=2AD$, e também $BC=AD$. Assim, podemos fazer estas substituições em $(4)$, obtendo:
\begin{equation*}
\frac{AD}{AB}=\frac{AB-2AD}{AD} \tag{5}
\end{equation*}
Mas, pela relação $(3)$, temos que $\displaystyle \delta_S=\frac{AB}{AD}$, e seu inverso será $\displaystyle \frac{1}{\delta_S}=\frac{AD}{AB}$. Assim:
\begin{equation*}
\tag{6}
\frac{1}{\delta_S}=\frac{AB-2AD}{AD}\\
\ \\
\frac{1}{\delta_S}=\frac{AB}{AD}-\frac{2AD}{AD}\\
\ \\
\frac{1}{\delta_S}=\delta_S-2
\end{equation*}
Multiplicando ambos os lados da equação por $\delta_S$ para eliminar o denominador:
\begin{equation*}
1=\delta_S^2-2\delta_S \tag{7}
\end{equation*}
E assim obtemos:
\begin{equation*}
\delta_S^2-2\delta_S-1=0 \tag{8}
\end{equation*}
A equação obtida em $(8)$ é a equação do número prateado. Podemos resolver esta equação utilizando a fórmula para a equação de segundo grau:
\begin{equation*}
\tag{9}
\delta_S=\frac{2\pm \sqrt{8}}{2}\\
\delta_{S_1}=1+\sqrt{2}\\
\delta_{S_2}=1-\sqrt{2}
\end{equation*}
Tomamos então a raiz positiva: $\delta_S=1+\sqrt{2}$ como solução da equação, encontrando o número prateado.

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2 comentários:

  1. Olá Kleber!

    Não conhecia o Número de Prata! Direcionei ao outro artigo citado neste post e conferi... Muito legal!

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá Charles!

      Realmente ainda é pouco conhecido. Tem alguma coisa em inglês e em espanhol. Algumas delas não estão corretas e muitas incompletas. Quando "descubro" alguma coisa sobre este número, publico aqui. E assim vamos disseminando informação.


      Um abraço!

      Excluir

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