A matemática é uma ciência repleta de conceitos interligados, mas que possuem significados e aplicações distintas. Entre os tópicos que costumam gerar dúvidas entre os estudantes estão as expressões, equações e funções. Embora esses conceitos estejam relacionados, cada um tem uma definição e um propósito específico. Vamos explorar as diferenças entre eles de forma clara e prática.
1. Expressões Matemáticas
Uma expressão matemática é uma combinação de números, variáveis, operações, como adição $(+)$, subtração $(-)$, multiplicação $(\times)$ e divisão $(\div)$, e, às vezes, expoentes ou raízes. Ela não possui um sinal de igualdade $(=)$ e, portanto, não estabelece uma relação de igualdade. O objetivo de uma expressão é representar um valor ou uma operação que pode ser simplificada ou calculada.
- $2+3(x+1)$
- $2a^2-b+10$
- $ \displaystyle 2+\frac{2}{3}$
🔗 Link do artigo: A ordem das operações em expressões matemáticas
Assim, uma expressão é como uma "frase matemática" que pode ser avaliada ou simplificada, mas não resolve nada por si só.
Exemplo 1:
Vamos simplificar a expressão $3x-5+2x+7$.
Iniciamos agrupando os termos semelhantes:
$$
(3x+2x) + (-5+7)
$$
2(3)^2 - 3(2) + 4
$$
2(9) - 3(2) + 4
$$
18 - 6 + 4
$$
16
$$
5x-3x+4 = 3x-3x+20\\
\ \\
2x + 4 = 20
$$
2x+4-4 = 20-4\\
\ \\
2x = 16
$$
\frac{2x}{2} = \frac{16}{2}\\
\ \\
x = 8
$$
S = \left\{ 8 \right \}
$$
(x+2)(x-2) = 0
$$
S = \left\{ -2,2 \right \}
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
$$
x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4\cdot 2 \cdot (-3)}}{2\cdot 2}\\
\ \\
x = \frac{4 \pm \sqrt{16+24}}{4}\\
\ \\
x = \frac{ 4 \pm \sqrt{40}}{4}\\
\ \\
x = \frac{4 \pm 2\sqrt{10}}{4}\\
\ \\
x = \frac{2 \pm \sqrt{10}}{2}\\
\ \\
x_1 = \frac{2+\sqrt{10}}{2} \\
\ \\
x_2 = \frac{2 - \sqrt{10}}{2}
$$
S = \left\{ \frac{2 \pm \sqrt{10}}{2} \right\}
$$
Exemplos de funções:
2x-4 = 0\\
\ \\
2x = 4\\
\ \\
x=2
$$
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\ \ x \ \ & \ \ f(x)=2x-4 \ \ \\
\hline
0 & -4 \\
\hline
2 & 0\\
\hline
\end{array}
$$
x^2-3x-4 = 0
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
$$
x = \frac{ -(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4 \cdot 1 \cdot (-4)} }{ 2\cdot 1}\\
\ \\
x = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2}\\
\ \\
x = \frac{3 \pm 5}{2}\\
\ \\
x_1 = \frac{8}{2 }= 4\\
\ \\
x_2 = \frac{-2}{2} = -1
$$
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\ \ x \ \ & \ \ f(x)=x^2-3x-4 \ \ \\
\hline
-1 & 0 \\
\hline
0 & -4\\
\hline
4 & 0\\
\hline
\end{array}
$$
(3x+2x) + (-5+7)
$$
Agora, efetuamos as operações:
$$
5x+2
$$
$$5x+2
$$
Exemplo 2:
Vamos resolver a expressão $2a^2-3b+4$, para $a=3$ e $b=2$.
Substituímos os valores de $a$ e $b$ na expressão:
2(3)^2 - 3(2) + 4
$$
Calculamos a potência:
$$2(9) - 3(2) + 4
$$
Efetuamos as multiplicações:
$$18 - 6 + 4
$$
Efetuamos a subtração e a adição, obtendo:
$$16
$$
Portanto, o valor da expressão é 16.
Exemplos de equações:
2. Equações
Uma equação é uma declaração matemática que estabelece uma igualdade entre duas expressões. Ela sempre contém um sinal de igualdade $(=)$ e, geralmente, envolve uma ou mais variáveis. O objetivo de uma equação é encontrar o valor da variável que torna a igualdade verdadeira.
- $3x+5=20$
- $x^2-5x+6=0$
- $x+7=3x-3$
🔗 Link do artigo: A dedução da Fórmula de Bháskara
Para resolver uma equação, utilizamos técnicas como isolar a variável, fatorar ou aplicar propriedades algébricas. A solução de uma equação é o valor (ou valores) que satisfazem a igualdade.
O valor que encontramos par a variável $x$ é aquele que satisfaz a equação, ou seja, é o valor atribuído a $x$ para que ambos os membros da equação sejam iguais.
Se uma equação é igual a zero, então o valor de $x$ que encontramos é aquele que, quando substituído na equação original, resulta em zero. Assim, em uma equação, o valor de $x$ é chamado de raiz da equação.
Exemplo 3:
Vamos resolver a equação linear $5x+4 = 3x + 20$.
Iniciamos agrupando os termos com a variável $x$ no lado esquerdo da equação e as constantes no lado direito.
Subtraímos $3x$ de ambos os membros:
$$5x-3x+4 = 3x-3x+20\\
\ \\
2x + 4 = 20
$$
Subtraímos $4$ de ambos os membros:
$$2x+4-4 = 20-4\\
\ \\
2x = 16
$$
Dividimos ambos os membros da equação por $2$:
$$\frac{2x}{2} = \frac{16}{2}\\
\ \\
x = 8
$$
Portanto, a solução da equação é 8.
$$S = \left\{ 8 \right \}
$$
Exemplo 4:
Vamos encontrar a solução para a equação $x^2-4=0$.
Utilizamos a propriedade da diferença de quadrados para fatorar a equação:
$$(x+2)(x-2) = 0
$$
Para que o membro da esquerda seja igual a zero, a variável $x$ deve assumir o valor de $-2$ ou $2$.
Assim, a solução da equação é $x=-2$ e $x=2$.
$$S = \left\{ -2,2 \right \}
$$
Exemplo 5:
Vamos resolver a equação quadrática: $2x^2-4x-3=0$.
Utilizamos a fórmula para a equação de segundo grau, conhecida como Fórmula de Bháskara:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
$$
Neste caso, $a=2$, $b=-4$ e $c=-3$. Assim:
$$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4\cdot 2 \cdot (-3)}}{2\cdot 2}\\
\ \\
x = \frac{4 \pm \sqrt{16+24}}{4}\\
\ \\
x = \frac{ 4 \pm \sqrt{40}}{4}\\
\ \\
x = \frac{4 \pm 2\sqrt{10}}{4}\\
\ \\
x = \frac{2 \pm \sqrt{10}}{2}\\
\ \\
x_1 = \frac{2+\sqrt{10}}{2} \\
\ \\
x_2 = \frac{2 - \sqrt{10}}{2}
$$
Assim, a solução para a equação é $\displaystyle x= \frac{2+\sqrt{10}}{2}$ ou $\displaystyle x= \frac{2-\sqrt{10}}{2}$. Ou podemos escrever como:
$$S = \left\{ \frac{2 \pm \sqrt{10}}{2} \right\}
$$
3. Funções
Uma função é uma relação matemática que associa cada elemento de um conjunto, chamado de domínio, a um único elemento de outro conjunto, chamado de contradomínio. Em outras palavras, uma função descreve como uma variável depende de outra. Ela é frequentemente representada por uma expressão algébrica, mas também pode ser descrita por tabelas, gráficos e até palavras.
- $f(x)=2x+3$
- $g(x)=x^2-4$
- $h(x)=\sqrt{x}$
A principal característica de uma função é que, para cada valor de entrada $x$, há exatamente um valor de saída $f(x)$. Funções são amplamente utilizadas para modelar situações do mundo real, como o crescimento populacional, o movimento de objetos e muito mais.
Ao construirmos o gráfico de uma função $f(x)$, o ponto em que a curva corta o eixo dos $x$ é chamado de zero da função. Isso quer dizer que é o ponto no qual a função se anula, ou seja, quando o valor de $f(x)=0$, que é o mesmo que dizer que é o valor de $x$ quando $y=0$.
Para calcularmos o zero de uma função, basta tomarmos a função, igualarmos a zero e encontrar o $x$ como se fosse uma equação.
Exemplo 6:
Considere a função linear $f(x)=2x-4$. Vamos calcular o zero da função e construir seu gráfico.
O zero da função obtemos igualando a função a zero e isolando a variável $x$:
$$2x-4 = 0\\
\ \\
2x = 4\\
\ \\
x=2
$$
Portanto, o zero da função é $x=2$.
Para construirmos o gráfico de uma função, atribuímos valores para $x$ e calculamos o $f(x)$. Para uma função linear dois pontos já são suficiente. Um ponto nós já obtivemos, que é $x=2, y=0$:
$$\begin{array}{|c|c|}
\hline
\ \ x \ \ & \ \ f(x)=2x-4 \ \ \\
\hline
0 & -4 \\
\hline
2 & 0\\
\hline
\end{array}
$$
Para construir o gráfico no plano cartesiano, basta marcarmos as coordenadas e traçar a reta:
Exemplo 7:
Considere a função quadrática $f(x)=x^2-3x-4$. Vamos calcular o zero da função e construir seu gráfico.
O zero da função obtemos igualando a função a zero e isolando a variável $x$:
$$x^2-3x-4 = 0
$$
Aplicamos na fórmula para equação de segundo grau:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
$$
Neste caso, $a=1$, $b=-3$ e $c=4$. Assim:
$$x = \frac{ -(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4 \cdot 1 \cdot (-4)} }{ 2\cdot 1}\\
\ \\
x = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2}\\
\ \\
x = \frac{3 \pm 5}{2}\\
\ \\
x_1 = \frac{8}{2 }= 4\\
\ \\
x_2 = \frac{-2}{2} = -1
$$
Portanto, os zeros da função são $x=-1$ e $x=4$. Isso quer dizer que, quando substituímos $x$ por $-1$ ou $4$, teremos $y=0$.
Para construirmos o gráfico de uma função, atribuímos valores para $x$ e calcular o $f(x)$. Para uma função quadrática, são necessários pelo menos 3 pontos. Esses pontos nós já temos: os zeros da função $(-1,4)$ e o ponto onde a curva corta o eixo dos $y$. Quando $x=0$, $y=-4$. Esse ponto é chamado coeficiente linear.
$$\begin{array}{|c|c|}
\hline
\ \ x \ \ & \ \ f(x)=x^2-3x-4 \ \ \\
\hline
-1 & 0 \\
\hline
0 & -4\\
\hline
4 & 0\\
\hline
\end{array}
$$
Para construir o gráfico no plano cartesiano, basta marcarmos as coordenadas e traçar a reta:
Diferença entre raiz de uma equação e zero de uma função
A diferença entre raiz de uma equação e zero de uma função está na forma como os conceitos são aplicados, mas matematicamente são equivalentes.
O termo raiz é mais comumente associado à solução de equações, já o termo zero é usado no contexto de funções.
Na prática, a diferença é uma questão de terminologia e contexto, pois ambos se referem aos valores de $x$ que satisfazem a condição $f(x)=0$.
A interpretação geométrica do zero de uma função são os pontos onde a curva intercepta o eixo dos $x$. Isso ocorre necessariamente quando $y=0$.
Vale observar que nem todas as funções possuem zeros. Isso ocorre em funções que não interceptam o eixo dos $x$, como por exemplo a função $f(x)=x^2+1$. Essa função não tem zeros, porque $x^2+1$ nunca será igual a zero, para $x \in \mathbb{R}$.
Por outro lado, existem funções que podem possui múltiplos zeros, como funções de graus maior que 2, ou ainda infinitos zeros, como algumas funções trigonométricas.
Comparação entre Expressão, Equação e Função
É muito importante entender a diferença entre expressões, equações e funções para facilitar o estudo da matemática. Enquanto as expressões são como blocos de construção que representam valores ou operações, as equações são ferramentas para resolver problemas que envolvem igualdades. Já as funções vão além, descrevendo relações entre variáveis e permitindo a modelagem de fenômenos complexos.
Expressão:
- Definição: Combinação de números, variáveis e operações.
- Sinal de igualdade: Não possui.
- Objetivo: Representar um valor ou operação matemática, mas não estabelece uma igualdade.
- Exemplo: $5x-2$
Equação:
- Definição: Igualdade entre suas expressões.
- Sinal de igualdade: Possui $(=)$
- Objetivo: Estabelece uma igualdade entre duas expressões e busca encontrar o valor da variável que satisfaz essa igualdade.
- Exemplo: $5x-2=13$
Função:
- Definição: Relação que associa entradas e saídas.
- Sinal de igualdade: Possui, Pode ser representada por $f(x)=$.
- Objetivo: Descreve uma relação entre variáveis, onde cada entrada corresponde a uma única saída.
- Exemplo: $f(x)=5x-2$
Postar um comentário