A função $\text{cis}(x)$ é uma notação matemática compacta que combina as funções trigonométricas seno e cosseno com funções exponenciais no plano complexo.
A notação $\text{cis}$ é a abreviação para a combinação das funções que aparecem no lado direito da Fórmula de Euler:
$$ e^{i\ x} = \text{cos}(x) + i\ \text{sen}(x) $$Sendo:
- $\large \color{blue}{\text{c}}$ de cosseno
- $\large \color{red}{\text{i}}$ da unidade imaginária
- $\large \color{green}{\text{s}}$ de seno
1. Definição
A função $\text{cis}(x)$ é definida como a soma do cosseno e do seno de um ângulo $x$, multiplicado pela unidade imaginária $i$, sendo expressa como:
$$ \text{cis}(x)=\text{cos}(x)+i\ \text{sin}(x) $$Onde:
- $\text{cos}(x)$ é a função cosseno
- $\text{sen}(x)$ é a função seno
- $i$ é a unidade imaginária, satisfazendo $i^2=-1$
- $x$ é o argumento do número complexo
2. Relação com a Fórmula de Euler
A função $\text{cis}(x)$ é diretamente derivada da Fórmula de Euler, substituindo a exponencial complexa $e^{i\ x}$ por $\text{cis}(x)$, assim:
$$ \text{cis}(x) = e^{i\ x} $$Sendo assim, a função $\text{cis}$ é uma notação abreviada conveniente para simplificar algumas expressões, como a soma das funções trigonométricas.
O argumento $x$ da função $\text{cis}(x)$ determina uma posição do número complexo no círculo unitário do plano complexo, definindo um ângulo em radianos formado entre o eixo real e o segmento que une a origem ao ponto.
No plano complexo, qualquer número na forma $\text{cis}(x)$ pode ser visto como um ponto no círculo unitário, onde:
- $\text{cos}(x)$ é a projeção no eixo dos $x$, representando a coordenada real
- $\text{sen}(x)$ é a projeção no eixo dos $y$, representando a coordenada imaginária.
Como consequência, o argumento $x$ pode ser interpretado como um ângulo de rotação, medido no sentido anti-horário a partir do eixo real e é uma das coordenadas que descrevem a posição do número complexo na forma polar.
Por exemplo:
- Se $x=0$, então $\text{cis}(0)=1$, pois está sobre o eixo real.
- Se $\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$, então $\displaystyle \text{cis}\left(\frac{\pi}{2}\right)=i$, pois está sobre o eixo imagninário.
3. Cálculo para o argumento
O ângulo formado entre o eixo real e o argumento pode ser expresso por sua tangente:
$$\text{tg}(x) = \frac{\text{Im}}{\text{Re}} = \frac{b}{a} $$Assim, dado um número complexo $z=a+bi$, o argumento $x$ pode ser calculado através da função arco tangente:
$$ x = \text{arc tg}\left(\frac{b}{a}\right) $$onde $a$ é a parte real e $b$ é a parte imaginária de $z$.
Exemplo 1:
Vamos calcular $\displaystyle \text{cis}\left(\frac{\pi}{3}\right)$.
Neste exemplo, o valor do argumento vale $\displaystyle x=\frac{\pi}{3}$. Sendo assim, a função é definida como:
$$ \text{cis}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \text{cos}\left(\frac{\pi}{3}\right) + i\ \text{sen}\left(\frac{\pi}{3}\right) $$Em seguida, calculamos o cosseno e o seno de $\pi/3$:
$$ \text{cos}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \\ \ \\ \text{sen}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $$Substituímos na função, obtendo:
$$ \text{cis}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} + i\ \frac{\sqrt{3}}{2} $$A razão entre a parte imaginaria e a real está relacionada com o ângulo que o número complexo faz com o eixo real no plano complexo. Neste caso, temos:
- Parte real: $\text{Re}=\displaystyle \frac{1}{2}$
- Parte imaginária: $\text{Im}=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$
A razão é dada por:
$$ \frac{b}{a} = \frac{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}{\displaystyle \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{1} = \sqrt{3} $$Assim, a razão entre a parte imaginária e a parte real da função $\displaystyle \text{cis}\left(\frac{\pi}{3}\right)$ vale $\sqrt{3}$.
Usando a função arco tangente, temos:
$$ x = \text{arc tg}\left( \sqrt{3} \right) = \frac{\pi}{3} $$Isso confirma que a razão $\displaystyle \frac{b}{a}=\sqrt{3}$ é igual à tangente do ângulo $\displaystyle x = \frac{\pi}{3}$.
Dado um número complexo $z=a+b\ i$, podemos representá-lo em sua forma polar como:
$$ z = r \cdot \text{cis}(x) = r\cdot e^{i\ x} $$onde:
- $r$ é o módulo ou magnitude do número complexo, dado por $r=\sqrt{a^2+b^2}$
- $x$ é o argumento ou ângulo do número complexo, dado por $\displaystyle x=\text{arc tg}\left(\frac{b}{a}\right)$
O argumento de $\displaystyle \text{cis}\left(\frac{\pi}{3}\right)$ é simplesmente o ângulo $\displaystyle x=\frac{\pi}{3}$. Para calcular o módulo, fazemos:
$$ r = \sqrt{\text{cos}^2\left(\frac{\pi}{3}\right) + \text{sen}^2\left(\frac{\pi}{3}\right)} $$Sabemos pela identidade trigonométrica fundamental que $\text{cos}^2(\theta)+\text{sen}^2(\theta)=1$, assim:
$$ r=1 $$Portanto, na forma polar, o número complexo $\displaystyle \text{cis}\left(\frac{\pi}{3}\right)$ é escrito como:
$$ \text{cis}\left(\frac{\pi}{3}\right) = r\cdot \text{cis}(x) = 1 \cdot \text{cis}\left(\frac{\pi}{3}\right) $$Ou:
$$ \text{cis}\left(\frac{\pi}{3}\right) = 1 \cdot e^{i\ \pi/3} = e^{i\ \pi/3} $$Este número complexo está localizado no primeiro quadrante do plano complexo, com um ângulo de $\pi/3$ (ou 60 graus) em relação ao eixo real.
4. Relação com a Fórmula de Euler Generalizada
Para $z \in \mathbb{C}$, a função $\text{cis}(z)$ é definida como:
$$ \text{cis}(z) = \text{cos}(z) + i\ \text{sen}(z) = \text{cis}(z) $$Onde:
- $\text{cos}(z)$ e $\text{sen}(z)$ são as funções cosseno e seno estendidas para o domínio dos complexos
- $i$ é a unidade imaginária, sendo $i^2=-1$
A fórmula de Euler para números reais estabelece que:
$$ e^{i\ x} = \text{cos}(x) + i\ \text{sen}(x) = \text{cis}(x) $$onde $x \in \mathbb{R}$.
Para números complexos $z \in \mathbb{C}$, a fórmula de Euler pode ser estendida de forma análoga:
$$ e^{i\ z} = \text{cos}(z) + i\ \text{sen}(z) = \text{cis}(z) $$Essa generalização é possível porque as funções $\text{cos}(z)$ e $\text{sen}(z)$ são definidas para números complexos por meio de suas expansões em série de Taylor ou usando a função exponencial complexa.
5. Cálculo para argumentos complexos
A função $\text{cis}(x)$ é tipicamente definida considerando $x$ um número real. No entanto, a função pode ser estendida para números complexos, sendo $z \in \mathbb{C}$, permitindo uma versão mais geral da Fórmula de Euler. Para um argumento complexo $z$, onde $z=x+i\ y$ e $x,y \in \mathbb{R}$, temos:
$$ \text{cis}(z) = e^{i\ z} = \text{cos}(z) + i\ \text{sen}(z) $$Onde:
- $\text{cos}(z)$ e $\text{sen}(z)$ são as funções cosseno e seno estendidas para o domínio dos complexos
- $i$ é a unidade imaginária, sendo $i^2=-1$
A exponencial de um número complexo $z=x+i\ y$ pode ser escrita como:
$$ e^z = e^{x+i\ y} = e^x\ e^{i\ y} $$Usando a Identidade de Euler $e^{i\ y} = \text{cis}(y)$, obtemos:
$$ e^z = e^x \text{cis}(y) = e^x \big(\text{cos}(y)+i\ \text{sen}(y)\big) $$Essa expressão mostra que a exponencial complexa pode ser vista como um fator de crescimento exponencial $e^x$ multiplicado por uma rotação $\text{cis}(y)$ no plano complexo.
Sabemos que as funções $\text{cos}(z)$ e $\text{sen}(z)$ são definidas para números complexos usando suas representações em termos da exponencial:
$$ \text{cos}(z) = \frac{e^{i\ z}+e^{-i\ z}}{2} \\ \ \\ \text{sen}(z) = \frac{e^{i\ z}-e^{-i\ z}}{2i} $$Portanto, a função $\text{cis}(z)$ para $z$ complexo, mantém as propriedades semelhantes às do caso real, mas com comportamento modificado devido à parte imaginária de $z$.
Exemplo 2:
Considere o número complexo $z=1+i$. Vamos calcular $\text{cis}(z)$.
A função $\text{cis}(z)$ é definida como:
$$ \text{cis}(z) = e^{i\ z} = \text{cos}(z) + i\ \text{sen}(z) $$Substituímos $z=1+i$:
$$ \text{cis}(1+i) = e^{i\ (1+i)} = \text{cos}(1+i) + i\ \text{sen}(1+i) $$Aplicando a propriedade distributiva no expoente, temos:
$$ \text{cis}(1+i) = e^i\ e^{i^2}\\ \ \\ \text{cis}(1+i) = e^{-1}\ e^i $$Pela Fórmula de Euler, sabemos que:
$$ e^i = \text{cos}(1) + i\ \text{sen}(1) $$Portanto:
$$ \text{cis}(1+i) = e^{i(1+i)} = e^{-1}\Big(\text{cos}(1)+i\ \text{sen}(1)\Big)\\ \ \\ \text{cis}(1+i) = e^{-1} \cdot \text{cis}(1) $$Para obtermos uma aproximação numérica, vamos considerar os seguintes valores:
- $e^{-1} \approx 0,3679$
- $\text{cos}(1) \approx 0,5403$
- $\text{sen}(1) \approx 0,8415$
Obtendo:
$$ \text{cis}(1+i) \approx 0,3679 \Big(0,5403 + i\ 0,8415 \Big)\\ \ \\ \text{cis}(1+i) \approx 0,1988 + i\ 0,3096 $$Para obtermos a razão entre a parte imaginária e a parte real, fazemos:
$$ \frac{\text{Im}\Big(\text{cis}(1+i)\Big)}{\text{Re}\Big(\text{cis}(1+i)\Big)} = \frac{0,3096}{0,1988} \approx 1,56 $$Esta razão representa a inclinação da reta que passa pela origem e pelo ponto $(a,b)$ no plano complexo. Em termos geométricos, representa a tangente do ângulo $x$ que o vetor $z$ faz com o eixo real.
$$ \frac{b}{a} = \text{tg}(x) $$O arco, cuja tangente vale $1,56$ (em radianos), aproximadamente, é o arco de $45°$.
Podemos visualizar de outra forma. Temos que:
- Parte real $(a)$: $e^{-1} \cdot \text{cos}(1)$
- Parte imaginária $(b)$: $e^{-1}\cdot \text{sen}(1)$
Assim:
$$ \frac{b}{a} = \frac{e^{-1}\cdot \text{sen}(1)}{e^{-1} \cdot \text{cos}(1)}\\ \ \\ \frac{b}{a} = \frac{\text{sen}(1)}{\text{cos}(1)} = \text{tg}(1) $$6. A Derivada da Função $\text{cis}(z)$
Para calcularmos a derivada da função $\text{cis}(z)$ em relação a $z$, vamos usar a definição da função e as propriedades das derivadas de funções complexas. A função $\text{cis}(z)$ é definida como:
$$ \text{cis}(z) = \text{cos}(z) + i\ \text{sen}(z) $$onde $z \in \mathbb{C}$.
A derivada de $\text{cis}(z)$ em relação a $z$ é dada por:
$$ \frac{d}{dz}\text{cis}(z) = \frac{d}{dz}\Big( \text{cos}(z)+i\ \text{sen}(z)\Big) $$Podemos derivar termo a termo:
$$ \frac{d}{dz}\text{cis}(z) = \frac{d}{dz}\text{cos}(z)+i\ \frac{d}{dz}\text{sen}(z) $$A derivada de $\text{cos}(z)$ é:
$$ \frac{d}{dz} \text{cos}(z) = -\text{sen}(z) $$A derivada de $\text{sen}(z)$ é:
$$ \frac{d}{dz}\text{sen}(z) = \text{cos}(z) $$Substituindo as derivadas de $\text{cos}(z)$ e $\text{sen}(z)$, obtemos:
$$ \frac{d}{dz}\text{cis}(z) = -\text{sen}(z) + i\ \text{cos}(z) $$Podemos reescrever a derivada de $\text{cis}(z)$ de forma mais compacta. Tomando o membro da direita da relação acima, reescrevemos como:
$$ -\text{sen}(z) + i\ \text{cos}(z) = i\ \Big(\text{cos}(z) + i\ \text{sen}(z)\Big) $$Pois, $i^2=-1$. Portanto:
$$ \frac{d}{dz}\text{cis}(z) = i\ \text{cis}(z) $$Ou:
$$ \frac{d}{dz}\text{cis}(z) = i\ e^{i\ z} $$Observando o resultado, podemos ver que a derivada da função $\text{cis}(z)$ é simplesmente a própria função multiplicada pela unidade imaginária $i$. Isso mostra que a função $\text{cis}(x)$ se comporta de maneira similar À função exponencial real, onde a derivada de $e^x$ é $e^x$.
7. A Integral da Função $\text{cis}(z)$
Para resolvermos a integral da função $\text{cis}(z)$, podemos utilizar as funções trigonométricas seno e cosseno ou através da exponencial. A escolha depende do contexto do problema e da conveniência matemática.
Se o problema já está expresso em termos de $\text{cos}(z)$ e $\text{sen}(z)$, talvez seja mais conveniente integrar utilizando as funções trigonométricas explicitamente. Mas se o problemas já está expresso em termos de exponenciais complexas, talvez seja mais simples manipular utilizando as propriedades da exponencial.
7.1. Integrando $\text{cis}(z)$ como $\text{cos}(z)+i\ \text{sen}(z)$
A função $\text{cis}(z)$ é definida como:
$$ \text{cis}(z) = \text{cos}(z) + i\ \text{sen}(z) $$Seja a integral:
$$ I = \int \Big( \text{cos}(z) + i\ \text{sen}(z) \Big)\ dz $$Integramos termo a termo:
$$ I = \int \text{cos}(z)\ dz + i \int \text{sen}(z)\ dz $$A integral de $\text{cos}(z)$ é:
$$ \int \text{cos}(z)\ dz = \text{sen}(z) + C_1 $$A integral de $\text{sen}(z)$ é:
$$ \int \text{sen}(z)\ dz = -\text{cos}(z) + C_2 $$Substituindo na integral original, temos:
$$ I = \text{sen}(z) - i\ \text{cos}(z) + C $$onde $C = C_1+C_2$ é a constante de integração combinada.
Podemos reescrever a integral de forma equivalente como:
$$ I = -i\ \Big( \text{cos}(z) + i\ \text{sen}(z) \Big) + C\\ \ \\ I = -i\ \text{cis}(z) + C $$7.2. Integrando $\text{cis}(z)$ como $e^{i\ z}$
A integral da função exponencial é dada por:
$$ \int e^{a\ z}\ dz = \frac{e^{a\ z}}{a}+C $$Substituindo $a$ por $i$, obtemos:
$$ I =e^{i\ z}\ dz\\ \ \\ I = \frac{e^{i\ z}}{i} + C $$Como $e^{i\ z} = \text{cis}(z)$, reescrevemos a integral como:
$$ I = \frac{\text{cis}(z)}{i}+C $$Como $\displaystyle \frac{1}{i} = -i$, temos:
$$ I = -i\ \text{cis}(z) + C $$Isso mostra que a função $\text{cis}(z)$ tem um comportamento análogo ao da exponencial real, mas com um fator $-i$ ao integrar.
8. Um Pouco de História
A notação $\text{cis}$ foi utilizada pela primeira vez por William Rowan Hamilton, em Elements of Quarternions (1866) e posteriormente usada por Irving Stringham em trabalhos como Uniplanar Álgebra (1893), James Harkness e Frank Morley em sua obra Theory of Analytic Functions (1898) ou por George Ashley Campbell, que também se referiu a ela como Cisoidal Oscillations em seus trabalhos sobre linhas de transmissão (1901) e integrais de Fourier (1928).
Em 1942, inspirado pela notação $\text{cis}$, Ralph Vinton Lyon Hartley introduziu a função $\text{cas}$ para cosseno e seno (em inglês: cosine-and-sine) como uma forma de simplificar cálculos envolvendo transformadas, especialmente em aplicações de processamento de sinais:
$$ \text{cas}(x) = \text{cos}(x) + \text{sen}(x) $$A função $\text{cis}(x)$ é uma notação derivada da Fórmula de Euler, permitindo uma representação mais compacta dos números complexos na forma polar. Sua extensão para argumentos complexos mantém suas propriedades fundamentais, relacionando funções trigonométricas e exponenciais. Sua derivada e integral refletem o comportamento esperado da exponencial complexa. Embora não seja muito utilizada em textos matemáticos, é uma ferramenta útil para simplificar expressões e facilitar cálculos envolvendo rotações no plano complexo.
Referências:
- https://en.wikipedia.org/wiki/Cis_(mathematics)
- Matemática em Nível IME/ITA - Caio dos Santos Guimarães V1: Números Compelxos e Polinômios
- https://mathworld.wolfram.com/Cis.html
- https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_formula
Postar um comentário