19/07/2010

Demonstração da Identidade de Euler

A Matemática, às vezes, pode parecer difícil, complicada, até mesmo fora da realidade. Mas também pode ser instigante e bela. Para nós que gostamos da Matemática, nem pensamos nisso, pois já faz parte de nossas vidas.

Uma Identidade Matemática é uma igualdade que permanece verdadeira para quaisquer que sejam os valores das variáveis que nela apareçam, diferentemente de uma Igualdade Matemática que pode ser verdadeira somente sob condições particulares.

A Identidade de Euler reúne, talvez, os cinco números mais importantes da Matemática $0$, $1$, $i$, $e$, $\pi$ em uma simples igualdade: $\displaystyle e^{i\ \pi}+1=0$.

A identidade de Euler

Para verificar esta igualdade, vamos fazer a demonstração da Identidade de Euler. Para isso, vamos considerar o exponencial ex em sua forma de série infinita:
\begin{equation}
e^x = 1+\frac{x}{1}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{x^n}{n!} \right)
\end{equation}
Usamos aqui um artifício que será muito útil para a dedução da identidade. Fazemos:
\begin{equation}
x = i\ z
\end{equation}
Substituindo $(2)$ em $(1)$:
\begin{equation}
e^{i\ z} = 1+\frac{i\ z}{1}+\frac{(i\ z)^2}{2!}+\frac{(i\ z)^3}{3!}+\frac{(i\ z)^4}{4!}+\cdots
\end{equation}
Do estudo sobre números complexos, sabemos que:
\begin{equation}
\begin{cases}
i&=&i\\
i^2&=&-1\\
i^3&=&-i\\
i^4&=&1
\end{cases}
\end{equation}
Substituindo $(4)$ em $(3)$, encontramos:
\begin{equation*}
e^{i\ z} = 1 + i\ z - \frac{z^2}{2!}-\frac{i\ z^3}{3!}+ \frac{z^4}{4!}+\frac{i\ z^5}{5!}-\frac{z^6}{6!}-\frac{i\ z^7}{7!}+\frac{z^8}{8!}+\cdots
\end{equation*}
\begin{equation}
e^{i\ z}=\left( 1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\frac{z^6}{6!}+\frac{z^8}{8!}-\cdots \right) + i \left( z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-\frac{z^7}{7!}+\cdots \right)
\end{equation}
Da relação $(5)$, podemos ver que as séries infinitas entre parênteses nos leva às conhecidas séries infinitas trigonométricas:
\begin{equation}
\cos(z) = \left( 1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\frac{z^6}{6!}+\frac{z^8}{8!}-\cdots \right)
\end{equation}
\begin{equation}
\text{sen}(z) = \left( z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-\frac{z^7}{7!}+\cdots \right)
\end{equation}
Substituindo $(6)$ e $(7)$ na relação $(5)$, obtemos:
\begin{equation}
e^{i\ z} = \cos(z) + i\ \text{sen}(z)
\end{equation}
Se fizermos $z = \pi$, obteremos:
\begin{equation}
e^{i\ \pi}=\cos(\pi) + i\ \text{sen}(\pi)
\end{equation}
No entanto, a trigonometria nos garante que $\cos(\pi)=-1$ e $\text{sen}(\pi)=0$. Substituindo na relação $(9)$, chegamos a:
\begin{equation*}
e^{i\ \pi}=-1+i\cdot 0
\end{equation*}
Ou seja:
\begin{equation*}
e^{i\ \pi}+1=0
\end{equation*}

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12 comentários:

  1. foi verificado pela expansão de taylor,mas não foi demonstrado,será que euler realmente usou a volta do teorema para prová-lo?

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    1. Talves ele tenha usado outro caminho, a fórmula de Moivre, mas nada indica que tem sido assim!

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  2. Olá amigo. Bem, não sei realmente com Euler fez a prova. Nos materiais que consultei não vi nada além do que coloquei aqui no blog, em formatos diferentes, mas não além. Se você tiver alguma referência e puder me passar, ficarei agradecido; se encontrar alguma coisa faço a correçao do post.

    Agradeço sua visita e seu interesse em questionar.

    Um abraço!

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    Respostas
    1. Kleber!! eu entendi passo a passo a tua dedução , aprendi como deduzir!! Obrigado!!

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  3. Boa tarde!

    tenho uma dúvida.
    Nas equações (5.) e (7.) não teria que ser z em vez de x o primeiro termo da série que corresponde ao seno? Porque o i já está em evidência.
    Att


    Giovana Higinio

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    1. Ele ja substituiu x por zi e pondo o i em evidencia.

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  4. Olá Giovana,
    Obrigado pela leitura atenta e por relatar o erro. Jó os corrigi.
    Abraços.

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  5. Tem um detalhe, estes cosseno e seno da identidade de Euler são HIPERBÓLICOS, e não circulares.

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    1. Não. Essa é uma identidade ligada a números complexos. Note o $$i$$, a unidade imaginária no expoente do $$e$$. Essa a qual você se refere não tem o $$i$$, que é a hiperbólica.

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  6. Uma outra identidade (se pode ser chamada assim) extremamente interessante é $$i^i$$. Esse valor não é um número imaginário puro, nem um complexo. É um número real! Prova-se com $$cos x + i sen x$$. Rende uma boa discussão.

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    Respostas
    1. Pela Wolfram:

      http://www.wolframalpha.com/input/?i=i^i

      Realmente acho que vale um post! :)

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  7. Bela demonstração da fórmula de Euler! Bela identidade! Esse é um ótimo vislumbre da beleza da matemática.

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