Demonstração da Identidade de Euler

A Matemática, às vezes, pode parecer difícil, complicada, até mesmo fora da realidade. Mas também pode ser instigante e bela. Para nós que gostamos da Matemática, nem pensamos nisso, pois já faz parte de nossas vidas.

Uma Identidade Matemática é uma igualdade que permanece verdadeira para quaisquer que sejam os valores das variáveis que nela apareçam, diferentemente de uma Igualdade Matemática que pode ser verdadeira somente sob condições particulares.

A Identidade de Euler reúne, talvez, os cinco números mais importantes da Matemática $0$, $1$, $i$, $e$, $\pi$ em uma simples igualdade: $\displaystyle e^{i\ \pi}+1=0$.

Imagem: Wallpaper matemático 14: Euler

Para verificar esta igualdade, vamos fazer a demonstração da Identidade de Euler. Para isso, vamos considerar o exponencial ex em sua forma de série infinita:

\begin{equation}
e^x = 1+\frac{x}{1}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{x^n}{n!} \right)
\end{equation}

Usamos aqui um artifício que será muito útil para a dedução da identidade. Fazemos:

\begin{equation}
x = i\ z
\end{equation}

Substituindo $(2)$ em $(1)$:

\begin{equation}
e^{i\ z} = 1+\frac{i\ z}{1}+\frac{(i\ z)^2}{2!}+\frac{(i\ z)^3}{3!}+\frac{(i\ z)^4}{4!}+\cdots
\end{equation}

Do estudo sobre números complexos, sabemos que:

\begin{equation}
\begin{cases}
i&=&i\\
i^2&=&-1\\
i^3&=&-i\\
i^4&=&1
\end{cases}
\end{equation}

Substituindo $(4)$ em $(3)$, encontramos:

\begin{equation*}
e^{i\ z} = 1 + i\ z - \frac{z^2}{2!}-\frac{i\ z^3}{3!}+ \frac{z^4}{4!}+\frac{i\ z^5}{5!}-\frac{z^6}{6!}-\frac{i\ z^7}{7!}+\frac{z^8}{8!}+\cdots
\end{equation*}
\begin{equation}
e^{i\ z}=\left( 1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\frac{z^6}{6!}+\frac{z^8}{8!}-\cdots \right) + i \left( z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-\frac{z^7}{7!}+\cdots \right)
\end{equation}

Da relação $(5)$, podemos ver que as séries infinitas entre parênteses nos leva às conhecidas séries infinitas trigonométricas:

\begin{equation}
\cos(z) = \left( 1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\frac{z^6}{6!}+\frac{z^8}{8!}-\cdots \right)
\end{equation}
\begin{equation}
\text{sen}(z) = \left( z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-\frac{z^7}{7!}+\cdots \right)
\end{equation}

Substituindo $(6)$ e $(7)$ na relação $(5)$, obtemos:

\begin{equation}
e^{i\ z} = \cos(z) + i\ \text{sen}(z)
\end{equation}
Se fizermos $z = \pi$, obteremos:
\begin{equation}
e^{i\ \pi}=\cos(\pi) + i\ \text{sen}(\pi)
\end{equation}

No entanto, a trigonometria nos garante que $\cos(\pi)=-1$ e $\text{sen}(\pi)=0$. Substituindo na relação $(9)$, chegamos a:

\begin{equation*}
e^{i\ \pi}=-1+i\cdot 0
\end{equation*}
Ou seja:
\begin{equation*}
e^{i\ \pi}+1=0
\end{equation*}

Link do artigo:

• https://www.obaricentrodamente.com/2010/07/demonstracao-da-identidade-de-euler.html
• http://bit.ly/Ident-Euler-eipi10 

Veja mais:

• Números complexos
• A mediana de Euler
• A identidade de Euler para poliedros convexos