23/07/2010

Torque


Torque

Do ponto de vista cinemático, podemos fazer uma analogia entre as grandezas lineares e angulares:

Deslocamento
linear
$$ \rightarrow $$ $$x$$ $$
\Longleftrightarrow
$$
$$\theta$$ $$ \leftarrow $$ Ângulo
de rotação
Velocidade
linear
$$ \rightarrow $$ $$v=\frac{dx}{dt}$$ $$
\Longleftrightarrow
$$
$$\omega$$ $$ \leftarrow $$ Velocidade
angular

Esta analogia é útil para se encontrar uma grandeza análoga à força na dinâmica das rotações. O análogo para a força para rotações é o torque. Utilizando o trabalho $W$ como forma de encontrar o análogo à força para rotações, temos que, para deslocamentos infinitesimais, numa grandeza linear o trabalho dado por:
$$
\Delta W= \overrightarrow{F\ }\cdot \Delta x \tag{1}
$$
onde:

  • $\Delta W$ é a variação do trabalho;
  • $\Delta x$ é o deslocamento;
  • $\overrightarrow{F\ }$ é a força aplicada.

Analogamente, para rotações, temos que:
$$
\Delta W = \overrightarrow{\tau \ } \cdot \Delta \theta \tag{2}
$$
onde:

  • $\Delta W$é a variação do trabalho;
  • $\Delta \theta$ é a rotação;
  • $\overrightarrow{\tau}$ é o torque.

Considerando a figura acima, o ponto $P$ gira em torno do centro $O$ a uma distância $r$ devido à aplicação de uma força $\displaystyle \overrightarrow{F\ }$ em $P$, formando um ângulo $\varphi$ com a direção de $\displaystyle \overrightarrow{\tau \ }$.

A distância da linha de ação $PQ$ da força em relação ao centro $O$ é chamado de braço de alavanca e é dado por $\overrightarrow{b\ }$.

Para um deslocamento infinitesimal de $P$ para $P^\prime$ é mais eficaz uma força $\displaystyle \overrightarrow{F\ }$ perpendicular a $r$ em $P$ para provocar uma rotação, pois se $b$ é tão pequena quanto se quira, a força $\displaystyle \overrightarrow{F\ }$ se projeta na direção de $\displaystyle \overrightarrow{r \ }$, tornado-se paralela e sem efeito na rotação.

A projeção de $\displaystyle \overrightarrow{F\ }$ na direção de $\displaystyle \overrightarrow{PP^\prime \ }$ é dada por:
$$
\overrightarrow{F\ } = \overrightarrow{F\ } \cdot \text{sen}(\varphi) \tag{3}
$$
O deslocamento infinitesimal $\displaystyle \overrightarrow{PP^\prime \ }$ se confunde com a tangente do círculo de raio $r$ em $P$, portanto:
$$
\overrightarrow{PP^\prime \ } \approx  \overrightarrow{r\ } \cdot \Delta \theta = \Delta x \tag{4}
$$
Substituindo $(3)$ e $(4)$ em $(1)$m temos que:
$$
\Delta W = \overrightarrow{F\ }\cdot \text{sen}(\varphi) \cdot  \overrightarrow{r\ } \cdot \Delta \theta \tag{5}
$$
Substituindo $(2)$ em $(5)$, temos:
$$
\overrightarrow{\tau \ } \cdot \Delta \theta = \overrightarrow{F\ } \cdot \text{sen}(\varphi) \cdot \overrightarrow{r\ } \cdot \Delta \theta
$$
Portanto:
$$
\overrightarrow{\tau \ } = \overrightarrow{F \ } \cdot \overrightarrow{r \ } \cdot \text{sen}(\varphi)
$$
Pela álgebra vetorial, temos que o produto vetorial entre dois vetores gera um terceiro vetor ortogonal aos dois primeiros, definido por:
$$
\left|\overrightarrow{w \ }\right| = \left| \overrightarrow{u \ } \wedge \overrightarrow{v \ }\right| =\left|\overrightarrow{u \ }\right| \cdot \left|\overrightarrow{v \ }\right| \cdot \text{sen}(\varphi) \tag{7}
$$
Comparando $(6)$ com $(7)$, temos que:
$$
\left|\overrightarrow{\tau \ }\right| = \left|\overrightarrow{F \ }\right| \cdot \left|\overrightarrow{r \ }\right| \cdot \text{sen}(\varphi)
$$
Portanto:
$$
\left|\overrightarrow{\tau \ }\right| = \left|\overrightarrow{F \ } \wedge \overrightarrow{r \ }\right| \tag{8}
$$
O vetor $\displaystyle \overrightarrow{\tau \ }$ definido em $(8)$ é o torque da força $\displaystyle \overrightarrow{F \ }$ em $P$ em relação ao centro $O$.

Portanto, torque é uma medida de quanto uma força age sobre um determinado corpo de modo a fazê-lo girar em torno de seu eixo.

A medida da eficiência de uma força, no que se refere à tendência de fazer um corpo girar em relação a um ponto fixo, chama-se momento da força em relação a esse ponto. O momento de força depende somente da intensidade da força e do braço de alavanca.

O conceito de momento de força, ou torque, é utilizado frequentemente em nosso cotidiano. Por exemplo, ao fechar uma porta, empurrando-a pela extremidade oposta ao eixo de rotação, a força aplicada será menor do que a aplicada em um ponto próximo ao eixo de rotação para obter o mesmo efeito. Então, quanto maior for a distância da força aplicada ao eixo de rotação, maior será o momento de força, ou seja, maior será o efeito que ela produz.

Referências:

  • Curso de Física Básica, Volume 1, Mecânica - Moyses Nessenzveig

Links para este artigo:


Veja mais:

COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: Torque. Publicado por Kleber Kilhian em 23/07/2010. URL: . Leia os Termos de uso.


Siga também o blog pelo canal no Telegram.
Achou algum link quebrado? Por favor, entre em contato para reportar o erro.
Leia a política de moderação do blog. Para escrever em $\LaTeX$ nos comentários, saiba mais em latex.obaricentrodamente.com.

5 comentários:

  1. Me ajude nessa questão. determine o vetor torque provocado pela força F= i-3j=k para mover uma alavanca de raio representado por r=j-2k.

    ResponderExcluir
  2. Muito bom! Parabéns!

    ResponderExcluir
  3. Voce poderia fazer um artigo para a precessão anual da Terra, que dá origem as estações do ano, para eu compartilhar na minha página. é igual a precessão de 26.000 anos, mais neste caso seria com tempo de 1 ano.

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Marcelo Azevedo , acho que você está confundindo a precessão com a translação, que é o movimento que dura cerca de 1 ano. O que causa as mudanças das estações não é exatamente o deslocamento da terra em sua órbita, mas a inclinação de seu eixo em cerca de 23,5°. Tem tem um artigo no blog sobre como calcular as velocidades de rotação e translação:
      https://www.obaricentrodamente.com/2010/02/as-velocidades-da-terra.html

      Excluir
  4. então, faça o cálculo da precessão de 26.000 mil anos que resultará na inversão das estações do ano, para eu compartilhar, e daí eu coloco o tempo de 1 ano e também dará certo.

    ResponderExcluir

Whatsapp Button works on Mobile Device only

Pesquise no blog