Números de Smith

Introdução

Um número de Smith é um número composto cuja soma S(N) dos algarismos deste número é igual à soma S_p(N) dos algarismos de seus fatores primos.

Por exemplo: dado o número N = 27, vamos verificar se este é um número de Smith.

Somamos os algarismos de 27:

O número 27 pode ser escrito na forma de produto entre seus fatores primos:

A soma de seus fatores primos será:

Verificamos que 27 é um número de Smith:

Albert Wilansky, da Universidade de Lehigh, observou esta propriedade no número de telefone de seu irmão Harold Smith. O número é 4937775:

O número 4937775 pode ser escrito na forma de produto entre seus fatores primos:

Portanto:

Wilansky constatou que existem 360 números de Smith menores que 10.000. No entanto, ele se enganou, pois na verdade, há 376 números de Smith menores que 10.000:

4, 22, 27, 58, 85, 94, 121, 166, 202, 265, 274, 319, 346, 355, 378, 382, 391, 438, 454, 483, 517, 526, 535, 562, 576, 588, 627, 634, 636, 645, 648, 654, 663, 666, 690, 706, 728, 729, 762, 778, 825, 852, 861, 895, 913, 915, 922, 958, 985, 1086, 1111, 1165, 1219, 1255, 1282, 1284, 1376, 1449, 1507, 1581, 1626, 1633, 1642, 1678, 1736, 1755, 1776, 1795, 1822, 1842, 1858, 1872, 1881, 1894, 1903, 1908, 1921, 1935, 1952, 1962, 1966, 2038, 2067, 2079, 2155, 2173, 2182, 2218, 2227, 2265, 2286, 2326, 2362, 2366, 2373, 2409, 2434, 2461, 2475, 2484, 2515, 2556, 2576, 2578, 2583, 2605, 2614, 2679, 2688, 2722, 2745, 2751, 2785, 2839, 2888, 2902, 2911, 2934, 2944, 2958, 2964, 2965, 2970, 2974, 3046, 3091, 3138, 3168, 3174, 3226, 3246, 3258, 3294, 3345, 3366, 3390, 3442, 3505, 3564, 3595, 3615, 3622, 3649, 3663, 3690, 3694, 3802, 3852, 3864, 3865, 3930, 3946, 3973, 4054, 4126, 4162, 4173, 4185, 4189, 4191, 4198, 4209, 4279, 4306, 4369, 4414, 4428, 4464, 4472, 4557, 4592, 4594, 4702, 4743, 4765, 4788, 4794, 4832, 4855, 4880, 4918, 4954, 4959, 4960, 4974, 4981, 5062, 5071, 5088, 5098, 5172, 5242, 5248, 5253, 5269, 5298, 5305, 5386, 5388, 5397, 5422, 5458, 5485, 5526, 5539, 5602, 5638, 5642, 5674, 5772, 5818, 5854, 5874, 5915, 5926, 5935, 5936, 5946, 5998, 6036, 6054, 6084, 6096, 6115, 6171, 6178, 6187, 6188, 6252, 6259, 6295, 6315, 6344, 6385, 6439, 6457, 6502, 6531, 6567, 6583, 6585, 6603, 6684, 6693, 6702, 6718, 6760, 6816, 6835, 6855, 6880, 6934, 6981, 7026, 7051, 7062, 7068, 7078, 7089, 7119, 7136, 7186, 7195, 7227, 7249, 7287, 7339, 7402, 7438, 7447, 7465, 7503, 7627, 7674, 7683, 7695, 7712, 7726, 7762, 7764, 7782, 7784, 7809, 7824, 7834, 7915, 7952, 7978, 8005, 8014, 8023, 8073, 8077, 8095, 8149, 8154, 8158, 8185, 8196, 8253, 8257, 8277, 8307, 8347, 8372, 8412, 8421, 8466, 8518, 8545, 8568, 8628, 8653, 8680, 8736, 8754, 8766, 8790, 8792, 8851, 8864, 8874, 8883, 8901, 8914, 9015, 9031, 9036, 9094, 9166, 9184, 9193, 9229, 9274, 9276, 9285, 9294, 9296, 9301, 9330, 9346, 9355, 9382, 9386, 9387, 9396, 9414, 9427, 9483, 9522, 9535, 9571, 9598, 9633, 9634, 9639, 9648, 9657, 9684, 9708, 9717, 9735, 9742, 9760, 9778, 9840, 9843, 9849, 9861, 9880, 9895, 9924, 9942, 9968, 9975, 9985.

Uma observação é que o suposto número da Besta 666 também é um número de Smith.

Os números de Smith podem ser classificados em vários tipos:

 

Número de Smith Semiprimo

Um número semiprimo ou biprimo é aquele que é composto pelo produto de dois números primos. Um número de Smith semiprimo são aqueles que obedecem à propriedade de um número de Smith e que são produtos entre dois números primos.

Por exemplo:

Todos os números de Smith semiprimos menores que 10⁴ são:

4, 22, 58, 85, 94, 121, 166, 202, 265, 274, 319, 346, 355, 382, 391, 454, 517, 526, 535, 562, 634, 706, 778, 895, 913, 922, 958, 985, 1111, 1165, 1219, 1255, 1282, 1507, 1633, 1642, 1678, 1795, 1822, 1858, 1894, 1903, 1921, 1966, 2038, 2155, 2173, 2182, 2218, 2227, 2326, 2362, 2434, 2461, 2515, 2578, 2605, 2614, 2722, 2785, 2839, 2902, 2911, 2965, 2974, 3046, 3091, 3226, 3442, 3505, 3595, 3622, 3649, 3694, 3802, 3865, 3946, 3973, 4054, 4126, 4162, 4189, 4198, 4279, 4306, 4369, 4414, 4594, 4702, 4765, 4855, 4918, 4954, 4981, 5062, 5071, 5098, 5242, 5269, 5305, 5386, 5422, 5458, 5485, 5539, 5602, 5638, 5674, 5818, 5854, 5926, 5935, 5998, 6115, 6178, 6187, 6259, 6295, 6385, 6439, 6457, 6502, 6583, 6718, 6835, 6934, 7051, 7078, 7186, 7195, 7249, 7339, 7402, 7438, 7447, 7465, 7627, 7726, 7762, 7834, 7915, 7978, 8005, 8014, 8023, 8077, 8095, 8149, 8158, 8185, 8257, 8347, 8518, 8545, 8653, 8851, 8914, 9031, 9094, 9166, 9193, 9229, 9274, 9301, 9346, 9355, 9382, 9427, 9535, 9571, 9598, 9634, 9742, 9778, 9895, 9985, ...

 

Número de Smith Palíndromo

Uma frase palíndroma, ou capicual, é aquela que lida da direita para esquerda ou vice-versa tem o mesmo sentido.

Os números, assim como letras, podem ser classificados como palíndromos. Dentre os números de Smith também são encontrados números de palíndromos. Por exemplo: 4, 22, 121, 202.

Todos os números de Smith Palíndromos menores que 10⁶ são:

4, 22, 121, 202, 454, 535, 636, 666, 1111, 1881, 3663, 7227, 7447, 9229, 10201, 17271, 22522, 24142, 28182, 33633, 38283, 45054, 45454, 46664, 47074, 50305, 51115, 51315, 54645, 55055, 55955, 72627, 81418, 82628, 83038, 83938, 90409, 95359, 96169, 164461, 173371, 239932, 256652, 262262, 294492, 362263, 373373, 445544, 454454, 505505, 515515, 535535, 545545, 635536, 704407, 717717, 832238, 841148, 864468, 951159, 956659, 974479 e 983389.

 

Números de Smith Reversíveis

Um número reverso é aquele obtido pela inversão de seus algarismos. Por exemplo: 123 e 321 são números reversos.

Um número de Smith reversível é aquele cujo reverso também é um número de Smith. Por exemplo: 58 e 85.

Todos os números de Smith reversíveis menores que 10⁴ são:

4, 22, 58, 85, 121, 202, 265, 319, 454, 535, 562, 636, 666, 913, 1111, 1507, 1642, 1881, 1894, 1903, 2461, 2583, 2605, 2614, 2839, 3091, 3663, 3852, 4162, 4198, 4369, 4594, 4765, 4788, 4794, 4954, 4974, 4981, 5062, 5386, 5458, 5539, 5674, 5818, 5926, 6295, 6439, 6835, 7051, 7227, 7249, 7438, 7447, 8158, 8185, 8347, 8518, 8545, 8874, 8914, 9229, 9346, 9355, 9382, 9427 e 9634.

Podemos perceber que os números palíndromos de Smith são casos particulares dos números de Smith reversíveis.

 

Números de Smith – Fibonacci

Os números de Fibonacci que também são números de Smith podem ser chamados de Números de Smith – Fibonacci. Durante os cálculos, foi observado que o menor número de Smith – Fibonacci é 1346369:

Temos que:

e

Logo:

Ainda há outros números de Smith – Fibonacci:

 

Números de Smith Abundantes

Um número abundante todo número natural n cuja soma dos seus divisores próprios é superior a n. O primeiro número abundante é o 12, porque sendo os seus divisores próprios 1, 2, 3, 4 e 6, a soma destes é 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 > 12.

Se um número de Smith tem esta característica é chamado de número de Smith Abundante. Por exemplo, o número 438 é um número abundante, pois:

Como vimos, a soma dos divisores de 438 é maior que ele próprio.

Todos os números de Smith abundantes menores que 10⁴ são:

378, 438, 576, 588, 636, 648, 654, 666, 690, 728, 762, 852, 1086, 1284, 1376, 1626, 1736, 1776, 1842, 1872, 1908, 1952, 1962, 2286, 2484, 2556, 2576, 2688, 2934, 2944, 2958, 2964, 2970, 3138, 3168, 3174, 3246, 3258, 3294, 3366, 3390, 3564, 3690, 3852, 3864, 3930, 4428, 4464, 4472, 4592, 4788, 4794, 4880, 4960, 4974, 5088, 5172, 5248, 5298, 5388, 5526, 5772, 5874, 5936, 5946, 6036, 6054, 6084, 6096, 6188, 6252, 6344, 6684, 6702, 6760, 6816, 6880, 7026, 7062, 7068, 7674, 7764, 7782, 7784, 7824, 7952, 8154, 8196, 8372, 8412, 8466, 8568, 8628, 8680, 8736, 8754, 8766, 8790, 8792, 8874, 9036, 9184, 9276, 9294, 9296, 9330, 9396, 9414, 9522, 9648, 9684, 9708, 9760, 9840, 9880, 9924, 9942 e 9968.

 

Números de Smith Deficientes

Um número deficiente é todo número natural n cuja soma dos seus divisores próprios é inferior a n. O número 10 é um número deficiente, porque sendo os seus divisores próprios 1, 2, e 5, a soma destes é 1 + 2 + 5 = 8 < 10.

Se um número de Smith tem esta característica é chamado de número de Smith Deficiente. Por exemplo, o número 22 é um número deficiente, pois:

Como vimos, a soma dos divisores de 22 é menor que ele próprio.

Todos os números de Smith deficientes menores que 10⁴ são:

4, 22, 27, 58, 85, 94, 121, 166, 202, 265, 274, 319, 346, 355, 382, 391, 454, 483, 517, 526, 535, 562, 627, 634, 645, 663, 706, 729, 778, 825, 861, 895, 913, 915, 922, 958, 985, 1111, 1165, 1219, 1255, 1282, 1449, 1507, 1581, 1633, 1642, 1678, 1755, 1795, 1822, 1858, 1881, 1894, 1903, 1921, 1935, 1966, 2038, 2067, 2079, 2155, 2173, 2182, 2218, 2227, 2265, 2326, 2362, 2366, 2373, 2409, 2434, 2461, 2475, 2515, 2578, 2583, 2605, 2614, 2679, 2722, 2745, 2751, 2785, 2839, 2888, 2902, 2911, 2965, 2974, 3046, 3091, 3226, 3345, 3442, 3505, 3595, 3615, 3622, 3649, 3663, 3694, 3802, 3865, 3946, 3973, 4054, 4126, 4162, 4173, 4185, 4189, 4191, 4198, 4209, 4279, 4306, 4369, 4414, 4557, 4594, 4702, 4743, 4765, 4832, 4855, 4918, 4954, 4959, 4981, 5062, 5071, 5098, 5242, 5253, 5269, 5305, 5386, 5397, 5422, 5458, 5485, 5539, 5602, 5638, 5642, 5674, 5818, 5854, 5915, 5926, 5935, 5998, 6115, 6171, 6178, 6187, 6259, 6295, 6315, 6385, 6439, 6457, 6502, 6531, 6567, 6583, 6585, 6603, 6693, 6718, 6835, 6855, 6934, 6981, 7051, 7078, 7089, 7119, 7136, 7186, 7195, 7227, 7249, 7287, 7339, 7402, 7438, 7447, 7465, 7503, 7627, 7683, 7695, 7712, 7726, 7762, 7809, 7834, 7915, 7978, 8005, 8014, 8023, 8073, 8077, 8095, 8149, 8158, 8185, 8253, 8257, 8277, 8307, 8347, 8421, 8518, 8545, 8653, 8851, 8864, 8883, 8901, 8914, 9015, 9.031, 9.094, 9.166, 9.193, 9.229, 9.274, 9.285, 9.301, 9.346, 9.355, 9.382, 9.386, 9.387, 9.427, 9.483, 9.535, 9.571, 9.598, 9.633, 9.634, 9.639, 9.657, 9.717, 9.735, 9742, 9778, 9843, 9849, 9861, 9895, 9975 e 9985.

 

Números de Smith Quadrados

Um número de Smith que é um quadrado perfeitos pode ser denominado como número de Smith quadrado.

Todos os números de Smith quadrados menores que 10⁷ são:

4, 121, 576, 729, 6084, 10201, 17424, 18496, 36481, 51529, 100489, 124609, 184041, 195364, 410881, 559504, 674041, 695556, 732736, 887364, 896809, 966289, 988036, 1038361, 1190281, 1238769, 1726596, 1852321, 2166784, 2975625, 3407716, 3613801, 3663396, 3849444, 3888784, 3892729, 4088484, 4309776, 4330561, 4809249, 4875264, 4888521, 5031049, 5225796, 5391684, 5438224, 5461569, 5527201, 5978025, 6517809, 6630625, 6635776, 6780816, 6864400, 6969600, 7059649, 7273809, 7717284, 7868025, 7946761, 8048569, 8567329, 8573184, 8608356, 9150625, 9455625, 9678321 e 9960336.

 

Números de Smith Cúbicos

Um número de Smith que é um cubo perfeito pode ser denominado como número d Smith cúbico.

Todos os números de Smith cúbicos menores que 10¹⁰ são:

27, 729, 19683, 474552, 7077888, 7414875, 8489664, 62099136, 112678587, 236029032, 246491883, 257259456, 279726264, 345948408, 463684824, 567663552, 638277381, 721734273, 766060875, 988047936, 1177583616, 1412467848, 2131746903, 2493326016, 2714704875, 3023464536, 3215578176, 3294646272, 3951805941, 4443297984, 4843965888, 4895680392, 6158676537, 8266914648, 8340725952, 8792838144 e 8831234763.

 

Números de Smith Triangulares

Um número triangular é um número natural que pode ser representado na forma de triângulo. Foi desenvolvido por Gauss em 1788 quando tinha apenas 10 anos.

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Os primeiros números triangulares são: 1, 3, 6, 10, 15, 21, ...

O n-ésimo número triangular é dado por:

Os números de Smith também apresentam características triangulares e são denominados números de Smith triangulares.

Todos os números de Smith triangulares menores que 10⁷ são:

378, 666, 861, 2556, 5253, 7503, 10296, 16653, 27261, 28920, 29890, 32896, 46056, 72771, 84255, 85905, 92235, 94395, 120786, 132870, 141778, 157641, 215496, 328455, 345696, 385881, 386760, 396495, 424581, 529935, 533028, 588070, 654940, 682696, 683865, 723003, 778128, 866586, 885115, 897130, 941878, 959805, 977901, 993345, 1082656, 1134771, 1234806, 1398628, 1457778, 1466328, 1495585, 1528626, 1570878, 1597578, 1633528, 1680861, 1792671, 1875016, 1876953, 1925703, 1931595, 1983036, 2087946, 2089990, 2137278, 2273778, 2351196, 2396955, 2458653, 2692360, 2828631, 2859636, 2890810, 2924571, 2968266, 3296028, 3378700, 3383901, 3451878, 3467661, 3579150, 3654456, 3733278, 3757911, 3904615, 3935415, 4119885, 4444671, 4710915, 4887501, 4925091, 5492955, 5586153, 5592840, 5815755, 6725278, 6984453, 7051890, 7486515, 7505875, 7536903, 7583565, 7850703, 7858630, 8090253, 8158780, 8211378, 8280415, 8284485, 8341570, 8390656, 8398851, 8485140, 8501626, 8982441, 9281586, 9359301, 9541896, 9651421 e 9677800.

 

Números de Smith Repdigit

Todos os números de Smith que possuem todos os algarismos iguais são denominados como números de Smith Repdigit. Todos os números de Smith repdigit menores que 10⁶⁰ são:

4, 22, 666, 1111, 6666666, 4444444444, 44444444444444444444, 555555555555555555555555555, 55555555555555555555555555555555 e 4444444444444444444444444444444444444444444444444444444.

 

Números de Smith Consecutivos

Os números de Smith que são consecutivos também podem ser denominados como números de Smith consecutivos. Por exemplo: o par de números 728 e 729.

Todos os números de Smith consecutivos menores que 10⁵ são:

(728, 729), (2964, 2965), (3864, 3865), (4959, 4960), (5935, 5936), (6187, 6188), (9386, 9387), (9633, 9634), (11.695 , 11696), (13764, 13765), (16536, 16537), (16591, 16592), (20784, 20785), (25428, 25429), (28808, 28809), (29623, 29624), (32696, 32697 ), (33632, 33633), (35805, 35806), (39585, 39586), (43736, 43737), (44733, 44734), (49027, 49028), (55344, 55345), (56336, 56337), (57663, 57664), (58305, 58306), (62634, 62635), (65912, 65913), (65974, 65975), (66650, 66651), (67067, 67068), (67728, 67729), (69.279 , 69280), (69835, 69836), (73615, 73616), (73616, 73617), (74168, 74169), (74298, 74299), (76495, 76496), (76911, 76912), (77385, 77386 ), (78744, 78745), (82488, 82489), (82640, 82641), (83744, 83745), (83928, 83929), (83937, 83938), (84759, 84760), (84882, 84883), (85135, 85136), (87362, 87363), (87855, 87856), (89743, 89744), (89904, 89905), (90228, 90229), (90872, 90873), (91255, 91256), (91.364 , 91365), (91488, 91489), (93275, 93276), (93471, 93472), (94094, 94095), (94184, 94185), (94584, 94585), (95277, 95278), (95984, 95985 ), (96151, 96152), (96921, 96922), (97915, 97916), (98022, 98023) e (98.900, 98.901).

Existem 615.885 números de Smith consecutivos menores que 10⁹.

 

Números de Smith Triplos

Quando há três números de Smith que são consecutivos também podem ser denominados como números de Smith triplos. Por exemplo: o terno de números (73.615; 73.616; 73.617). Todos os números de Smith triplos menores que 10⁶ são:

(73615, 73616, 73617), (209065, 209066, 209067), (225951, 225952, 225953), (283745, 283746, 283747), (305455, 305456, 305457), (342879, 342880, 342881), (656743, 656744, 656745), (683670, 683671, 683672), (729066, 729067, 729068), (747948, 747949, 747950), (774858, 774859, 774860), (879221, 879222, 879223) e (954590, 954591, 954592).

Existem 15.955 números de Smith triplos menores que 10⁹.

 

Números de Smith Quádruplos

Quando há quatro números de Smith que são consecutivos também podem ser denominados como números de Smith quádruplos. O menor conjunto de números de Smith quádruplos é:

(4463535, 4463536, 4463537, 4463538)

Abaixo estão somente os menores números dos conjuntos de números de Smith quádruplos menores que 10⁸ são:

4463535, 6356910, 8188933, 9425550, 11148564, 15966114, 18542654, 21673542, 22821992, 23767287, 28605144, 36615667, 39227466, 47096634, 47395362, 48072396, 54054264, 55464835, 57484614, 57756450, 57761165, 58418508, 61843387, 62577157, 64572186, 65484066, 66878432, 67118680, 71845857, 75457380, 77247606, 78432168, 88099213, 89653781, 90166567 e 92656434.

Existem 384 números de Smith quádruplos menores que 10⁹.

 

Números de Smith Quíntuplos

Quando há cinco números de Smith que são consecutivos também podem ser denominados como números de Smith quíntuplos. O menor conjunto de números de Smith quádruplos é:

(15966114, 15966115, 15966116, 15966117, 15966118)

Abaixo estão somente os menores números dos conjuntos de números de Smith quíntuplos menores que 10⁹:

15966114, 75457380, 162449165, 296049306, 296861735, 334792990, 429619207, 581097690, 581519244, 582548088, 683474015, 809079150, 971285861 e 977218716.

Existem 14 números de Smith quíntuplos menores de 10^9.

 

Números de Smith Quíntuplos

Quando há cinco números de Smith que são consecutivos também podem ser denominados como números de Smith quíntuplos. O menor conjunto de números de Smith quádruplos é:

(15966114, 15966115, 15966116, 15966117, 15966118)

 

Números de Smith – k

Se existir k números de Smith consecutivos, estes podem ser denominados como números de Smith – k.

Você é capaz de encontrar o menor conjunto dos números de Smith – 6?

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