Área em Coordenadas Polares

Houve uma revolução na matemática depois de Descartes, onde foi possível escrever e resolver equações em coordenadas cartesianas; denotar um ponto por meio de um par ordenado $(x, y)$ e assim a construção de gráficos para ilustrar as curvas. Em algumas situações é mais conveniente usar um outro sistema de coordenadas, como as coordenadas polares.

[Figura 1]

Antes de continuar a leitura deste artigo, sugiro que leiam sobre O Sistema de Coordenadas Polares escrito pelo Professor Mestre Paulo Sérgio, explanando brilhantemente sobre o assunto.

Para estabelecermos um sistema de coordenadas polares no plano, primeiro denotemos um ponto fixo $O$ que será o pólo e um raio $r$, que é uma semirreta orientada com origem em $O$, que chamamos de eixo polar. Um ângulo na posição padrão tem vértice no pólo e o eixo polar como seu lado inicial.

Seja $P$ um ponto genérico no plano e seja $r$ a distância entre $P$ e o pólo. Assim:
\begin{equation*}
r = |\overline{OP}|
\end{equation*}
Se $P \neq 0$, então P pertence a uma única semi-reta com origem em $O$ constituindo o lado terminal do ângulo. Este ângulo é denotado por $\theta$ e poderá ser em graus ou em radianos. Assim, o par ordenado do ponto $P$ em coordenadas polares é indicado como:
\begin{equation*}
P = (r, \theta)
\end{equation*}
As coordenadas polares estabelecem a posição de um ponto $P$ em relação a uma grade, formada por círculos concêntricos com centro no pólo e semirretas partindo de $O$. O valor de $r$ localiza $P$ num círculo de raio $r$; o valor de $\theta$ localiza $P$ numa semirreta que é o lado terminal do ângulo $\theta$; e $P$ é determinado pela intersecção do círculo com a semirreta.

O gráfico de uma equação polar consiste em todos os pontos $P$ do plano que tem pelo menos um par de coordenadas polares $(r,\theta)$ satisfazendo a equação.

Da mesma forma que podemos determinar a área de uma região sob a curva num plano cartesiano aplicando o conceito de integral definida, podemos determinar a área de uma região plana em coordenadas polares compreendia entre as semirretas que determinam o ângulo $\theta$.

Considere a figura abaixo, cuja equação polar é $r = f (\theta)$, onde $f$ é uma função contínua. Quando $\theta$ cresce de $\theta = \alpha$ para $\theta = \beta$, o ponto $P = (f (\theta), \theta)$ se desloca ao longo da curva polar de $(f (\alpha), \alpha)$ para $(f (\beta), \beta)$ e o segmento de reta $OP$ percorre uma região plana. Esta é a região compreendida pela curva polar entre as semirretas que determinam o ângulo $\theta$, ou seja, entre $\theta = \alpha$ e $\theta = \beta$.

[Figura 2]

A região polar mais simples, talvez, seja o setor circular compreendido pelo círculo de raio $r$ entre $\theta=\alpha$ e $\theta = \beta$:

[Figura 3]

Sabemos que a área de um círculo de raio $r$ é dada por:
\begin{equation*}
A_C = \pi ~ r^2
\end{equation*}
Assim, a área do setor ocupa a fração $\cfrac{\beta - \alpha}{2\pi}$ de todo o círculo e a área do setor será:
\begin{equation}
A = \pi ~ r^2 \frac{(\beta - \alpha)}{2\pi} = \frac{1}{2} r^2 (\beta - \alpha)
\end{equation}
Geralmente, mesmo que a curva polar não seja um círculo, quando o ângulo cresce de $\theta$ para $\theta + d\theta$, ou seja, tem uma variação infinitesimal, o segmento $OP$ percorrerá uma região infinitesimal que podemos tomá-la como um setor infinitesimal de um círculo de raio $r = f (\theta)$:

[Figura 4]

Quando $\Delta \theta$ for infinitesimal, então a área infinitesimal do setor será dada por:
\begin{equation}
dA = \frac{1}{2}\left| r^2 \right| d\theta = \frac{1}{2}r^2 d\theta = \frac{1}{2} \left[f(\theta)\right]^2 d\theta
\end{equation}
Para que tenhamos a área total da região desejada, devemos somar estes infinitésimos, isto é, integramos as áreas de todos estes setores infinitesimais, desde $\theta = \alpha$ a $\theta = \beta$. Assim, teremos:
\begin{equation}
A = \int _{\alpha}^{\beta}dA = \int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{2} \left[ f(\theta) \right]^2 d\theta = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} \left[ f(\theta) \right]^2 d\theta
\end{equation}
Podemos representar esta fórmula sob a forma:
\begin{equation}
\frac{1}{2} \int _{\alpha}^{\beta} r^2 d\theta
\end{equation}

Exemplo $1$:

Encontrar a área do hemisfério superior da região compreendida pela curva polar cardioide, cuja equação é $r = 3(1+\cos (\theta))$.

[Figura 5]

Quando $\theta$ varia de $0$ a $\pi$, o segmento $OP$ percorre o hemisfério superior da região interior à cardioide. Portanto, a área $A$  da região será dada por:
\begin{equation*}
A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2 d\theta = \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\left[3\left(1+\cos(\theta)\right)\right]^2 d\theta\\
\ \\
A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} 9 \left(1+2 \cos(\theta) + \cos^2(\theta)\right) d\theta\\
\ \\
A = \frac{9}{2} \int_{\alpha}^{\beta}\left(1+2\cos(\theta) + \cos^2(\theta) \right) d\theta\\
\ \\
A = \frac{9}{2} \left[\left(\theta + 2~\text{sen}(\theta) + \frac{\theta}{2} + \frac{\text{sen}(2\theta)}{4}\right)\right]_0^{\pi}\\
\ \\
A = \frac{9}{2} \left(\pi + 0 + \frac{\pi}{2} + 0\right)\\
\ \\
A = \frac{27 \pi}{4}~\text{unidades de área}
\end{equation*}

Exemplo $2$:

Encontrar a área da região compreendida pela lemniscata de equação $r^2 = 4 \cos(2 \theta)$.

[Figura 6]

Vamos considerar somente $1/4$ da lemniscata, já que é simétrica em relação ao pólo devido ao grau $2$ de $r$. Assim, vamos considerar a porção da lemniscata para a qual:
\begin{equation*}
r = 2~\sqrt{\cos(2\theta)}
\end{equation*}
Quando $\theta = 0$ e $r = 2$, e como $\theta$ cresce, o ponto $P=(r,\theta)$ se desloca para a esquerda ao longo da parte superior da lemniscata até chegar ao pólo $O$, quando $\theta = \pi/4$. Assim, o segmento $OP$ percorre um quarto da área:
\begin{equation*}
A = 4 \left( A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2 d\theta\right) = 2\int_{\alpha}^{\beta} r^2 d \theta\\
\ \\
A = 2 \int_0^{\pi /4} \left(2 \sqrt{\cos(2\theta)}\right)^2 d\theta = 2\int_0^{\pi/4} 4\cos(2\theta) d\theta\\
\ \\
A= \left[ 4~\text{sen}(2\theta)\right]_0^{\pi/4} = 4~\text{unidades de área}
\end{equation*}
Este exemplo mostra que devemos saber o comportamento da curva para que possamos definir os limites de integração.

Quando utilizamos a fórmula $\displaystyle \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} r^2 d\theta$ para encontrar a área de uma região compreendida por uma curva polar $r = f (\theta)$ num intervalo $\Delta \theta$, devemos estar certos que $\alpha \leq\beta$ e que o segmento de reta radial $OP$, percorre apenas uma vez cada ponto no interior da região. Por exemplo, se quisermos determinar a área total no interior do limaçon $r = 2 – 3~\text{sen}(\theta)$, seria incorreto integrar de $0$ a $2\pi$, pois quando $\theta$ vai de $0$ a $2\pi$, o segmento $OP$ percorre duas vezes todos os pontos pertencentes ao laço interior.

Exemplo $3$:

Encontrar a área do laço interior ao limaçon de equação $r=2-3~\text{sen}(\theta)$.

[Figura 7]

Quando $theta = 0$, $r = 2$, o ponto $P (r, \theta) = (2, 0)$ se encontra no eixo polar. Quando $\theta$ começa acrescer, $r = 2 – 3~\text{sen}(\theta)$ começa a decrescer, atingindo $0$ quando $\theta = \text{sen}^{–1}\left(\frac{2}{3}\right)$, que é aproximadamente $41,8°$. Neste ponto, o segmento $OP$ inicia o percurso da região desejada. Quando $\theta$ atinge o valor de $\pi /2$, então $r = –1$ e o segmento de reta $OP$, cujos pontos se movem para baixo, percorre exatamente metade a área desejada. Desta forma, a área da região será:
\begin{equation*}

A = 2 \left[\frac{1}{2} \int_{\displaystyle \text{sen}^{-1}\left(2/3 \right)}^{\displaystyle \pi/2} \left( 2-3~\text{sen}(\theta)\right)^2 d\theta \right]\\
\ \\
A = \int_{\displaystyle \text{sen}^{-1}\left(2/3 \right)}^{\displaystyle \pi/2} \left(4-12~\text{sen}(\theta)+9~\text{sen}^2(\theta) \right) d\theta\\
\ \\
 A = \left[4\theta + 12\cos (\theta)+\frac{9}{2}\theta - \frac{9}{4}\text{sen}(2\theta)  \right]_{\displaystyle \text{sen}^{-1}\left(2/3\right)}^{\displaystyle \pi/2}\\
\ \\
\small A = \frac{17 \pi}{4}-\left[ \frac{17}{2}\text{sen}^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)+12\cos\left( \text{sen}^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\right) -\frac{9}{4}\text{sen}\left(2~\text{sen}^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\right) \right]\\

\end{equation*}
sendo:
\begin{equation*}
\cos\left(\text{sen}^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\right) = \frac{\sqrt{5}}{3}
\end{equation*}
e
\begin{equation*}
 \text{sen}\left( 2~\text{sen}^{-1}\left(2/3\right) \right) = 2~\text{sen}\left( \text{sen}^{-1}\left(2/3\right) \right)\cos\left( \text{sen}^{-1}\left(2/3\right) \right)=\frac{4\sqrt{5}}{9}
\end{equation*}
Também ocorre com frequência a necessidade de encontrarmos a área de uma região plana compreendida por duas curvas, como por exemplo $r=f(\theta)$ e $r=g(\theta)$ entre dois pontos sucessivos de intersecção $P_1$ e $P_2$, onde $P_1=(r_1,\alpha)$ e $P_2=(r_2,\beta)$:

[Figura 8]

Se a região compreendida pela curva $r=g(\theta)$ entre $P_1$ e $P_2$ está contida na região compreendida pela curva $r=f(\theta)$ entre $P_1$ e $P_2$, então a área desejada $A$ é apenas a diferença de áreas das duas regiões:
\begin{equation*}
A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} \left[ f(\theta)\right]^2 d\theta - \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} \left[g(\theta)\right]^2  d\theta\\
\ \\A=\frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} \left[ \left[ f(\theta)\right]^2 - \left[ g(\theta)\right]^2 \right] d\theta
\end{equation*}

Exemplo $4$:

Encontrar a área da região interior ao círculo $r=4\cos(\theta)$, que seja exterior ao círculo $r=2$.

[Figura 9]

Os dois círculos se interceptam em $P_1=(2, -\pi/3)$ e $P_2=(2,\pi/3)$. A área $A$ da região procurada é dada por:
\begin{equation*}
A = \frac{1}{2} \int_{-\pi/3}^{\pi/3} \left[ \left( 4\cos(\theta) \right)^2 \right] d\theta\\
\ \\
A = \frac{1}{2} \int_{-\pi/3}^{\pi/3}\left[ 16\cos^2(\theta)-4 \right] d\theta\\
\ \\
A = \frac{1}{2} \int_{-\pi/3}^{\pi/3} \left[ \frac{16}{2}\left( 1+\cos(2\theta)-4 \right) \right] d\theta\\
\ \\
A = \frac{1}{2} \int_{-\pi/3}^{\pi/3} \left[ 4+8\cos(2\theta)  \right] d\theta\\
\ \\
A = \left[ 2\left( \theta + 2~\text{sen}(2\theta) \right) \right]_{-\pi/3}^{\pi/3}\\
\ \\
A = 2\left[ \left( \frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2} \right) - \left( \frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \right]\\
\  \\
A = \frac{4\pi}{3}+2\sqrt{3}~\text{unidades de área}
\end{equation*}

Referências:

[1] Cálculo V1 - Munem-Foulis

Veja mais:

O cálculo integral
O sistema de coordenadas polares
Construção da espiral de Arquimedes com régua e compasso