As funções compostas são composições de funções, ou seja, é um método que permite combinar duas ou mais funções, de modo que a saída de uma função (contradomínio) seja a entrada da outra função (domínio). São utilizadas quando for possível relacionar duas ou mais grandezas através de uma mesma função.
Considerando as duas funções $g: \ A \longrightarrow B$ e $f: \ B \longrightarrow C$, onde o domínio da função $g$ está no conjunto $A$ e seu contradomínio está no conjunto $B$; e o domínio da função $f$ está no conjunto $B$ (que é o contradomínio da função $g$) e seu contradomínio está no conjunto $C$. Fazendo a composição de $f$ com $g$, obtemos a função composta $f \circ g$ que tem seu domínio no conjunto $A$ e seu contradomínio no conjunto $C$.
O que a composição faz é partir do conjunto $A$ diretamente ao conjunto $C$ sem precisar passar pelo conjunto $B$.
Definição:
Se $f$ e $g$ são funções, a função composta $f \circ g$ (lê-se $f$ composta com $g$, ou $f$ de $g$ de $x$) é definida por:
\begin{equation*}\left( f \circ g \right) ( x) = f \left( g(x) \right)
\end{equation*}
O domínio de $f \circ g$ consiste nos números $x$ no domínio de $g$ para os quais $g(x)$ fica no domínio de $f$.
A definição implica que $f \circ g$ pode ser formada quando o contradomínio de $g$ fica no domínio de $f$. Para determinar $\left( f \circ g \right)(x)$, primeiro devemos determinar $g(x)$ e em seguida determinar $f\left( g(x) \right)$.
Duas funções podem ser compostas em $x$ sempre que o valor de uma função em $x$ estiver no domínio da outra.
Simbolicamente:
\begin{equation*}
D(f \circ g) = \left\{ x \in D(g) \ : \ g(x) \in D(f) \right\}
\end{equation*}
Quando calculamos $(f \circ g)(x)$, primeiro aplicamos a função $g$ a $x$ e, então, a função $f$ a $g(x)$.
Para avaliar a função composta $g \circ f$ (quando definida), determinamos $f(x)$ primeiro e em seguida $g\left(f(x)\right)$. O domínio de $g \circ f$ é o conjunto dos números $x$ no domínio de $f$, de modo que $f(x)$ fica no domínio de $g$.
As composições $f \circ g$ e $g \circ f$ costumam ser bem diferentes uma da outra. Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 1:
Seja $f(x) = \sqrt{x}$ e $g(x)=x+1$. Vamos determinar a função composta $(f \circ g)(x)$ e depois $g \circ f$ e seus domínios.
Para calculamos $f \circ g$, substituímos $g(x)$ na função $f(x)$ sempre que $x$ aparecer:
\begin{equation*}(f \circ g)(x) = f\left( g(x) \right)\\
\ \\
(f \circ g)(x) = \sqrt{g(x)}\\
\ \\
(f \circ g)(x) = \sqrt{x+1}
\end{equation*}
O domínio desta composição é $[-1, \infty)$.
Agora calculamos $g \circ f$:
\begin{equation*}(g \circ f)(x) = g\left(f(x)\right)\\
\ \\
(g \circ f)(x) = f(x)+1\\
\ \\
(g \circ f)(x) = \sqrt{x}+1
\end{equation*}
O domínio desta composição é: $[0, \infty)$.
Para entendermos por que o domínio de $f \circ g$ é $[-1, \infty)$, devemos observar que $g(x)=x+1$ é definida para qualquer $x$ real, mas pertence ao domínio de $f$ somente se $x+1 \geq 0$, ou seja, quando $x \geq -1$.
Exemplo 2:
Seja $f(x)=x^2$ e $g(x)=\sqrt{x}$. Vamos determinar a função composta $f \circ g$ e seu domínio.
\begin{equation*}(f \circ g)(x) = f\left(g(x)\right)\\
\ \\
(f \circ g)(x) = \left( \sqrt{x}\right)^2\\
\ \\
(f \circ g)(x) =x
\end{equation*}
O domínio de $f \circ g$ é $[0,\infty)$ e não $(-\infty, \infty)$, uma vez que $\sqrt{x}$ exige que $x \geq 0$.
Exemplo 3:
Seja $f(x)=\sqrt{x}$ e $g(x)=2x-3$. Vamos determinar a função composta $f \circ g$ e seu domínio.
\begin{equation*}(f \circ g)(x) = f\left(g(x)\right)\\
\ \\
(f \circ g)(x) = \sqrt{g(x)} \\
\ \\
(f \circ g)(x) = \sqrt{2x-3}
\end{equation*}
O domínio de $g$ é $(-\infty, \infty)$ e o domínio de $f$ é $[0,\infty)$. Logo, o domínio de $f \circ g$ é p conjunto de todos os números reais de modo que $2x-3 \geq 0$, ou ainda $[ 3/2 , \infty )$.
Exemplo 4:
Seja $f(x) = x^2-2x$ e $g(x)=x+4$. Vamos determinar a função composta $f \circ g$.
\begin{equation*}(f \circ g)(x) = f \left(g(x)\right)\\
\ \\
(f \circ g)(x) = \left(g(x)\right)^2 - 2\left(g(x)\right)\\
\ \\
(f \circ g)(x) = (x+4)^2 - 2(x+4)\\
\ \\
(f \circ g)(x) = x^2 + 8x + 16 - 2x -8\\
\ \\
(f \circ g)(x) = x^2 + 6x + 8
\end{equation*}
O domínio desta composição é $(-\infty , \infty)$.
Podemos ainda calcular a composição em um ponto $x$ específico. Neste caso, procedemos da mesma forma e depois substituímos o valor de $x$. Vejamos mais um exemplo.
Exemplo 5:
Seja $f(x) = 2^x$ e $g(x)=x-1$. Vamos determinar a função composta $f \circ g$ no ponto $x=3$. Representamos da seguinte forma: $(f \circ g)(3)$.
Primeiro determinamos a composição:
\begin{equation*}(f \circ g)(x) = f(g(x))\\
\ \\
(f \circ g)(x) = 2^{g(x)}\\
\ \\
(f \circ g)(x) = 2^{x-1}\\
\end{equation*}
Agora calculamos a composição no ponto $x=3$. Basta substituirmos o valor de $x$ por $3$:
\begin{equation*}(f \circ g)(3) = 2^{3-1}\\
\ \\
(f \circ g)(3) = 2^2\\
\ \\
(f \circ g)(3) = 4
\end{equation*}
Referências:
- Cálculo V1 - George B. Thomas
- Cálculo com Geometria Analítica V1 - Louis Leithold
- Cálculo A - Diva Marília Flemming, Miriam Buss Gonçalves
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