24/01/2019

A quadratura do círculo pelos egípcios

A Geometria elementar possibilita calcular o perímetro e área de qualquer triângulo e a partir deste, qualquer polígono, uma vez que podemos decompor um polígono de lado maior que 3 em triângulos. Mas quando nos deparamos com formas curvas, esse método é inútil, como por exemplo o círculo.

Atualmente sabemos que a fórmula para o perímetro do círculo é $P=2\pi r$ e para a área é $A=\pi r^2$. Parecem simples fórmulas, mas o fato de conter a constante $\pi$ nas fórmulas as tornam um pouco mais complicadas de encontrar, já que $\pi$ é um número irracional, ou seja, impossível escrevê-lo sob a forma de uma fração.

      🔗 Veja o artigo sobre uma breve cronologia de $\pi$.

Durante o decorrer da história, inúmeros matemáticos se ocupavam em tentar obter uma forma que fosse possível transformar a área do círculo em um quadrado, o que conhecemos hoje com problema da quadratura do círculo, um dos três problemas clássicos que são impossíveis de resolver com régua e compasso. A saber: A quadratura do círculo, a duplicação do cubo e a trissecção do ângulo.

No entanto, Arquimedes já usava a fração $22/7$ como uma aproximação para $\pi$ em seus trabalhos corriqueiros, no entanto, há mais de 1400 anos antes dele, os egípcios já obtinham o valor de $\pi$ com notável precisão.


A quadratura do círculo pelos egípcios

Um texto egípcio datado de $1650\ a.C.$, o Papiro do Rhind (nome dado em homenagem ao egiptólogo escocês A. Henry Rhind, que o obteve em 1858), traz a declaração de que um círculo contém a mesma área de um quadrado cujo lado tenha $8/9$ do diâmetro do círculo.

      🔗 Veja uma outra forma de obter uma aproximação de $\pi$ utilizando um octógono.

Se $d$ é o diâmetro do círculo, a fórmula para sua área se torna:
\begin{equation*}
A_C = \pi r = \pi \left( \frac{d}{2} \right)^2 = \frac{\pi}{4} d^2
\end{equation*}
E para a área do quadrado, cujo lado mede $8/9$ do diâmetro do círculo, obtemos a relação:
\begin{equation*}
A_Q = \left( \frac{8}{9} d \right)^2 = \frac{64}{81}d^2
\end{equation*}
Então, se podemos aproximar a área do círculo, como o papiro diz, usando um quadrado, temos que:
\begin{equation*}
A_C \approx A_Q\\
\ \\
\frac{\pi}{4} d^2 \approx \frac{64}{81}d^2\\
\ \\
\frac{\pi}{4} \approx \frac{64}{81}\\
\ \\
\pi \approx \frac{256}{81}\\
\ \\
\pi \approx 3,16049
\end{equation*}
O erro deste resultado é de 0,6% do valor verdadeiro de $\pi$ (3,14159, aproximado para 5 casas decimais). É extraordinário para um cálculo realizado há 4 mil anos!


Referências:

  • e, a história de um número - Eli Maor

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Veja mais:

COMO REFERENCIAR ESSE ARTIGO: Título: A quadratura do círculo pelos egípcios. Publicado por Kleber Kilhian em 24/01/2019. URL: . Leia os Termos de uso.


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