22/07/2018

22 de julho: Dia de uma aproximação para pi

O dia do $\pi$ passou a ser comemorada em 14 de março de 1988 (3/14 na notação estadunidense), uma analogia à aproximação de $\pi$ em duas casas decimais: $3,14$.

Criado por Larry Shaw, a primeira comemoração ocorreu quando o público e funcionários marcharam em torno de um dos espaços circulares do museu Exploratorium, de São Francisco, e depois consumiram tortas de frutas. No ano seguinte o museu acrescentou pizza ao menu do Dia do $\pi$.

Se considerarmos $\pi$ com uma aproximação igual a $3,14159265358$, o segundo do $\pi$ teria sido em $14$ de março de $1592$, às $6h\ 53min\ 58s$.

22 de julho: Dia de uma aproximação para pi


Aproximação de $\pi$ por Arquimedes

Como $\pi$ é irracional, ou seja, não pode ser representado sob a forma de uma fração, é possível que haja muitas aproximações. Hoje, dia $22$ de julho $(22/7)$ pode ser considerada uma dessas aproximações, já que este quociente remete ao valor $3,142857142857143\cdots$, que aproxima $\pi$ em duas casas decimais.

Arquimendes de Siracusa, $(287a.C - 212a.C.)$ utilizava a fração $22/7$ como uma aproximação para $\pi$ em trabalhos corriqueiros e foi quem fez a primeira tentativa científica de calcular $\pi$.

Suponhamos um círculo de diâmetro unitário. Então o comprimento do círculo situa-se entre o perímetro de qualquer polígono regular inscrito e a de qualquer polígono regular circunscrito. Uma vez que é uma questão simples calcular os perímetros dos hexágonos regulares inscritos e circunscritos, facilmente se obtém limites para $\pi$.

Mas há fórmulas que nos dizem, a partir de um par dado de polígonos regulares inscritos e circunscritos, como se podem obter os perímetros dos polígonos regulares inscrito e circunscrito com o dobro de número de lados. Por aplicações sucessivas desse processo, podemos calcular os perímetros dos polígonos regulares inscrito e circunscrito de doze, vinte e quatro, quarenta e oito, noventa e seis lados, e dessa forma, obter limites cada vez mais próximos de $\pi$.

Foi essencialmente isso que Arquimedes fez, chegando a conclusão de que $\pi$ está entre $\displaystyle \frac{233}{71}$ e $\displaystyle \frac{22}{7}$ ou que, até a segunda casa decimal, $\pi$ é dado por $3,14$. Esse método utilizado por Arquimedes, baseado nos polígonos regulares inscritos e circunscritos é conhecido como método clássico de cálculo de $\pi$.

Método clássico para cálculo de pi


Esse trabalho se encontra num tratado de Arquimedes, constituído de três preposições apenas e que se intitula A medida de um círculo. Esse tratado não chegou até nós em sua forma original e pode tratar-se apenas de um fragmento de uma discussão mais ampla. Considerando-se as limitações enormes do sistema de numeração de sua época, uma conclusão inevitável é que Arquimedes era um exímio calculista e, senão, o maior de sua época. Encontram-se no trabalho algumas aproximações racionais de raízes quadradas irracionais verdadeiramente notáveis.

Outras aproximações

  • 26 de abril: Nesta data, a Terra completa $2$ radianos de sua órbita (ou dia $25$ em anos bissextos). A órbita completa, dividida pela distância percorrida é igual a $\pi$.
  • 10 de novembro: Este dia é o $314°$ dia do ano (ou dia $9$ em anos bissextos).
  • 21 de dezembro: Este dia é o $355°$ dia do ano e às $1h13min$, fornece a aproximação chinesa $\displaystyle \pi = \frac{355}{113}$.

Cronologia de $\pi$

Depois de Arquimedes houve muitas tentativas para calcular aproximações de $\pi$. Para ler sobre as grandes descobertas dos cálculos que aproximavam $\pi$ pelos séculos, sugiro a leitura do artigo Uma breve cronologia de pi:


Uma breve cronologia de pi

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